2017-2018学年四川省双流中学高二4月月考数学（理）试题 Word版 10页

‎2017-2018学年四川省双流中学高二4月月考 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．点M的直角坐标为化为极坐标为（ ）‎ A．（2，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）‎ ‎3．化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）‎ A．x2+y2=0或y=2 B．x=‎2 ‎C．x2+y2=0或x=2 D．y=2‎ ‎4.函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.点()在圆的内部，则的取值范围( )‎ ‎ A．－1<<1 B． 0<<‎1 C．–1<< D．－<<1‎ ‎6．f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )‎ A．5 B．‎4 C．3 D．2‎ ‎7.直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，且，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎8.若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ）‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ‎9.若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )‎ A． B． C．[－，] D． ‎12．过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p＞0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是（ ）．‎ A．1 B.2 C.1或2 D.-1或2‎ 第Ⅱ卷（90分）‎ 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）‎ ‎13.动圆过点，且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____________.‎ ‎14.函数在处的切线方程为____________.‎ ‎15.已知函数在与时都取得极值，若对，不等式 恒成立，则c的取值范围为______。‎ ‎16.已知函数，对于任意都有恒成立，则的取值范围是 .‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4．‎ ‎(Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)讨论f(x)的单调性．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某校进行文科、理科数学成绩对比，某次考试后，各随机抽取100名同学的数学考试成绩进行统计，其频率分布表如下.‎ 分组 频数 频率 分组 频数 频率 ‎8‎ ‎0.08‎ ‎4‎ ‎0.04‎ ‎17‎ ‎0.17‎ ‎18‎ ‎0.18‎ ‎40‎ ‎0.4‎ ‎37‎ ‎0.37‎ ‎21‎ ‎0.21‎ ‎31‎ ‎0.31‎ ‎12‎ ‎0.12‎ ‎7‎ ‎0.07‎ ‎2‎ ‎0.02‎ ‎3‎ ‎0.03‎ 总计 ‎100‎ ‎1‎ 总计 ‎100‎ ‎1‎ ‎ 理科 文科 ‎（Ⅰ）根据数学成绩的频率分布表，求理科数学成绩的中位数的估计值；‎ ‎（Ⅱ）请填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为数学成绩与文理科有关：‎ 数学成绩分 数学成绩分 合计 理科 文科 合计 ‎200‎ ‎（Ⅲ）设文理科数学成绩相互独立，记表示事件“文科、理科数学成绩都大于等于120分”，估计的概率.‎ 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．‎ ‎(Ⅰ)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 设为坐标原点，动点在椭圆：上，过作轴的垂线，‎ 垂足为，点满足.‎ ‎(Ⅰ)求点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线 过的左焦点.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎(Ⅰ)当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。‎ ‎22.选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)解不等式；‎ ‎（Ⅱ）记函数的最小值为，若，，均为正实数，且，求的最小值.‎ ‎2018年春期四川省双流中学高二年级四月月考 数学（理科）答案 ‎1-6 ABCDDB 7-12 ACBDBC ‎13.; 14.; 15. 16. ‎ ‎17..解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4， ‎ 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8． ‎ 从而a＝4，b＝4． ‎ (2) 由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，‎ f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·． ‎ 令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2． ‎ 当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0． ‎ 故f(x)在 (－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． ‎ ‎18.解：（Ⅰ）理科数学成绩的频率分布表中，成绩小于105分的频率为0.35<0.5，‎ 成绩小于120分的频率为0.75>0.5，‎ 故理科数学成绩的中位数的估计值为分． ‎ ‎（Ⅱ）根据数学成绩的频率分布表得如下列联表：‎ 数学成绩分 数学成绩分 合计 理科 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 文科 ‎22‎ ‎78‎ ‎100‎ 合计 ‎47‎ ‎153‎ ‎200‎ ‎，‎ 故没有90%的把握认为数学成绩与文理科有关． ‎ ‎（Ⅲ）记B表示“文科数学成绩大于等于120分”，C表示“理科数学成绩大于等于120分”，‎ 由于文理科数学成绩相互独立，‎ 所以A的概率． ‎ ‎19.( 本小题满分12分)解　(1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e，‎ 等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是[2e，＋∞)，‎ 因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有实根．‎ ‎(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋ (x>0)的图象．‎ ‎∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.‎ 其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.‎ 故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，‎ g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．‎ ‎∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．‎ ‎20.解：（1）设，，则 由得 ‎ 因为在上，所以. 因此点的轨迹方程为 ‎（2）由题意知 设，则 ‎，‎ 由得 又由（1）知，故 所以，即.‎ 又过点存在唯一直线垂直于，‎ 所以过点且垂直于的直线过的左焦点.‎ ‎21.解：（1）由，得.‎ 整理，得恒成立，即.‎ 令.则.‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎∴函数的最小值为.‎ ‎∴，即.‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎（2）∵为数列的前项和，为数列的前项和.‎ ‎∴只需证明即可.‎ 由（1），当时，有，即.‎ 令，即得.‎ ‎∴.‎ 现证明，‎ 即. ‎ 现证明.‎ 构造函数，‎ 则.‎ ‎∴函数在上是增函数，即.‎ ‎∴当时，有，即成立.‎ 令，则式成立.‎ 综上，得.‎ 对数列，，分别求前项和，得 ‎.‎ ‎22.解：（1）∵直线的极坐标方程为，即.‎ 由，，可得直线的直角坐标方程为.‎ 将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为.‎ ‎（2）设.‎ 点的极坐标化为直角坐标为.‎ 则.‎ ‎∴点到直线的距离.‎ 当，即时，等号成立.‎ ‎∴点到直线的距离的最大值为.‎ ‎23.解：（1）.‎ ‎∴等价于或或.‎ 解得或.‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎（2）由（1），可知当时，取最小值，即.‎ ‎∴.‎ 由柯西不等式，有.‎ ‎∴.‎ 当且仅当，即，，时，等号成立.‎ ‎∴的最小值为.‎