高中数学选修1-2：2_2_2同步练习 3页

高中数学人教A版选修1-2 同步练习 ‎1.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是(　　)‎ A．三个内角中至少有一个钝角 B．三个内角中至少有两个钝角 C．三个内角都不是钝角 D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角 解析：选B.“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故假设为“至少有两个”．‎ ‎2.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)‎ A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 解析：选B.“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．‎ ‎3.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．‎ 解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.‎ 答案：0‎ ‎4.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：‎ ‎①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．‎ ‎②所以一个三角形不能有两个直角．‎ ‎③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．‎ 解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.‎ 答案：③①②‎ ‎[A级　基础达标]‎ ‎1.下列命题错误的是(　　)‎ A．三角形中至少有一个内角不小于60°‎ B．四面体的三组对棱都是异面直线 C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点 D．设a、b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b中至少有一个为奇数 解析：选D.a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数．故D错误．‎ ‎2.(2012·东北师大附中高二检测)用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为(　　)‎ A．a，b，c，d全都大于等于0‎ B．a，b，c，d全为正数 C．a，b，c，d中至少有一个正数 D．a，b，c，d中至多有一个负数 解析：选A.至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a，b，c，d全都大于等于0.‎ ‎3.“M不是N的子集”的充要条件是(　　)‎ A．若x∈M，则x∈N B．若x∈N，则x∈M C．存在x1∈M且x1∈N，又存在x2∈N且x2∈M D．存在x0∈M且x0∉N 解析：选D.假设M是N的子集，则M中的任一个元素都是集合N的元素，所以，要使M不是N的子集，只需存在x0∈M且x0∉N.‎ ‎4.设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．‎ 解析：假设a、b、c都小于，则a＋b＋c＜1与a＋b＋c＝1矛盾．故a、b、c中至少有一个不小于.‎ 答案： ‎5.已知p3＋q3＝2，用反证法证明p＋q≤2时，得出的矛盾为________．‎ 解析：假设p＋q>2，则p>2－q.‎ ‎∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，‎ 将p3＋q3＝2代入得6q2－12q＋6<0，‎ ‎∴(q－1)2<0这不可能．∴p＋q≤2.‎ 答案：(q－1)2<0‎ ‎6.已知a，b，c∈(0，1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.‎ 证明：假设三个式子同时大于，‎ 即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，‎ 三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，　①‎ 又因为0‎0”‎是“P、Q、R同时大于零”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0且P、Q、R不都大于零，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b>0矛盾，故P、Q、R都大于零．‎ 设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)‎ A．至少有一个不大于2‎ B．都小于2‎ C．至少有一个不小于2‎ D．都大于2‎ 解析：选C.若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，显然①②矛盾，所以C正确．‎ 完成反证法证题的全过程．‎ 设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－‎ ‎7)为偶数．‎ 证明：反设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．‎ 因奇数个奇数之和为奇数，故有 奇数＝________________①‎ ‎ ＝________________②‎ ‎ ＝0.‎ 但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．‎ 解析：将a1－1，a2－2，…，a7－7相加后，再分组结合计算．‎ 答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)‎ ‎(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)‎ (2012·佛山高二检测)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．‎ 证明：假设f(x)＝0有整数根n，‎ 则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，‎ 而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则a，b，c同时为奇数或a，b同时为偶数，c为奇数，当n为奇数时，an2＋bn为偶数；当n为偶数时，an2＋bn也为偶数，即an2＋bn＋c为奇数，与an2＋bn＋c＝0矛盾．‎ ‎∴f(x)＝0无整数根．‎ (创新题)已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则OP⊥OQ.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则·＝－1，∴(ax1－1)(ax2－1)＝－x1·x2，即(1＋a2)x1·x2－a(x1＋x2)＋1＝0.由题意得(1－‎2a2)x2＋4ax－3＝0，∴x1＋x2＝，x1·x2＝.∴(1＋a2)·－a·＋1＝0，即a2＝－2，这是不可能的．∴假设不成立．故不存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.‎