2020年浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题一　1 第1讲　集合、常用逻辑用语 18页

第1讲　集合、常用逻辑用语 集合的概念及运算 ‎[核心提炼]‎ ‎1．集合的运算性质及重要结论 ‎(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；‎ ‎(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；‎ ‎(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U；‎ ‎(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.‎ ‎2．集合运算中的常用方法 ‎(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；‎ ‎(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；‎ ‎(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．‎ ‎[典型例题]‎ ‎ (1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝(　　)‎ A．∅ B．{1，3}‎ C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}‎ ‎(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则∩B＝(　　)‎ A．{－1} B．{0，1}‎ C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}‎ ‎(3)(2019·金华模拟)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，则S∩(∁UT)＝________，集合S共有________个子集．‎ ‎【解析】　(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，‎ 所以∁UA＝{2，4，5}，故选C.‎ ‎(2)由题意可得∁UA＝{－1，3}，则(∁UA)∩B＝{－1}．故选A.‎ ‎(3)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，‎ S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，‎ 所以∁UT＝{1，4，5}，‎ 所以S∩(∁UT)＝{1，5}，‎ S＝{1，2，5}的子集的个数为23＝8.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A　(3){1，5}　8‎ 集合的运算与不等式相结合问题求解策略 解决此类问题的思路主要有两个：一是直接法，即先化简后运算，也就是先解不等式求出对应集合，然后利用数轴表示，从而求得集合运算的结果；二是间接法，由于此类问题多以选择题的形式进行考查，故可根据选项的差异性选取特殊元素进行验证，排除干扰项从而得到正确选项．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2019·宁波市高考模拟)已知全集U＝A∪B＝，A∩(∁UB)＝，则B＝(　　)‎ A. ‎ B. C. ‎ D. 解析：选C.因为U＝A∪B＝，‎ 又因为A∩(∁UB)＝，‎ 所以B＝，故选C.‎ ‎2．(2019·温州二模)已知集合A＝{x||x－1|≤2}，B＝{x|049成立，则当k≥8时，均有f(k)0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】　(1)通解：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b>4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.‎ 优解：在同一直角坐标系内作出函数b＝4－a，b＝的图象，如图所示，则不等式a＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b＝ 及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a＋b≤4成立时，ab≤4成立，而当ab≤4成立时，a＋b≤4不一定成立．故选A.‎ ‎(2)若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)A 判断充分、必要条件时应关注的三点 ‎(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.‎ ‎(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．‎ ‎(3)要注意转化：¬p是¬q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；¬p是¬q的充要条件⇔p是q的充要条件．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4 ＋ S6＞2S5”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5，故选C.‎ ‎2．(2019·高三“吴越联盟”)已知a，b∈R，则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．|a|＋|b|≥4　　　　　　　 B．|a|≥4‎ C．|a|≥2且|b|≥2 D．b<－4‎ 解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4，但由|a|＋|b|>4得不到b<－4，如a＝1，b＝5.‎ ‎3．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：“＋＞＋”是“|a－b|＜|c－d|”的充要条件．‎ 证明：充分性：‎ 因为＋＞＋，‎ 则(＋)2＞(＋)2，‎ 即a＋b＋2＞c＋d＋2.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，‎ 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.‎ 因此|a－b|＜|c－d|.‎ 必要性：‎ 因为|a－b|＜|c－d|，‎ 则(a－b)2＜(c－d)2，‎ 即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，‎ 所以(＋)2＞(＋)2，‎ 即＋＞＋.‎ 综上，“＋＞＋”是“|a－b|＜|c－d|”的充要条件．‎ 专题强化训练 ‎[基础达标]‎ ‎1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝(　　)‎ A．[2，3] B．(－2，3]‎ C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)‎ 解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，∁RQ＝{x|－2＜x＜2}，故得P∪(∁RQ)＝{x|－2＜x≤3}．故选B.‎ ‎2．(2019·金华模拟)已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞2}，B＝{y|y＝，x＜1}，则A∩B＝(　　)‎ A．(1，＋∞) B. C. D. 解析：选A.法一：因为A＝{y|y＝log2x，x＞2}＝{y|y＞1}，B＝{y|y＝，x＜1}＝{y|y＞}，所以A∩B＝{y|y＞1}，故选A.‎ 法二：取2∈A∩B，则由2∈A，得log2x＝2，解得x＝4＞2，满足条件，同时由2∈B，得＝2，x＝－1，满足条件，排除选项B，D；取1∈A∩B，则由1∈A，得log2x＝1，解得x＝2，不满足x＞2，排除C，故选A.‎ ‎3．(2019·温州市统一模拟考试)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．1或2‎ 解析：选B.当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅，故a的值为2，选B.‎ ‎4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知a，b为两个非零向量，设命题p：|a·b|＝|a||b|，命题q：a与b共线，则命题p是命题q成立的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.|a·b|＝|a||b|⇔|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝±1⇔a∥b，故是充要条件，选C.‎ ‎5．(2019·衢州质检)已知全集U为R，集合A＝{x|x2<16}，B＝{x|y＝log3(x－4)}，则下列关系正确的是(　　)‎ A．A∪B＝R B．A∪(∁UB)＝R C．(∁UA)∪B＝R D．A∩(∁UB)＝A 解析：选D.因为A＝{x|－44}，‎ 所以∁UB＝{x|x≤4}，所以A∩(∁UB)＝A，故选D.‎ ‎6．“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)‎ A．m＞ B．0＜m＜1‎ C．m＞0 D．m＞1‎ 解析：选C.若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0，故选C.‎ ‎7．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的(　　)‎ A．充要条件 ‎ B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 解析：选C.由题意得，an＝a1qn－1(a1>0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q<0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件，故选C.‎ ‎8．下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题 B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若tan x＝，则x＝”的逆否命题 解析：选B.对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若tan x＝，则x＝”的逆否命题为“若x≠，则tan x≠”，易知当x＝时，tan x＝，故选项D为假命题．综上可知，选B.‎ ‎9．(2019·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列命题不正确的是(　　)‎ A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为 B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变 C．与所有12条棱都相切的球的体积为π D．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是 解析：选D.A.因为AB1∥DC1，AC∥A1C1，‎ 且AC∩AB1＝A，‎ 所以平面ACB1∥平面A1C1D，‎ 正方体的体对角线BD1＝，‎ 设B到平面ACB1的距离为h，‎ 则VBAB1C＝××1×1×1＝××××h，即h＝，‎ 则平面ACB1与平面A1C1D的距离d＝－2h＝－2×＝，故A正确．‎ B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，‎ C．与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C＝，则2R＝，R＝，则球的体积V＝πR3＝×π×()3＝π，故C正确．‎ D．设正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球的球心为O′，‎ 则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球O′的一个小圆，‎ 因为点M在正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，‎ 所以线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径，‎ 因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，‎ 所以线段MN长度的最小值是－.故D错误．故选D.‎ ‎10．设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有(　　)‎ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 解析：选C.由36－x2>0可解得－63(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：记P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}＝{x|(x－m)·(x－m－3)>0}＝{x|xm＋3}，Q＝{x|x2＋3x－4<0}＝{x|(x＋4)(x－1)<0}＝{x|－41；‎ ‎④若Sn为数列{an}的前n项和，则此数列的通项公式an＝Sn－Sn－1(n>1)．‎ 解析：命题①：由数列{an}是等差数列，设其公差为d，则an－an－1＝d(n≥2)(ⅰ)，又数列{an}是等比数列，设其公比为q，则an＝qan－1(n≥2)(ⅱ)，把(ⅱ)代入(ⅰ)得：qan－1－an－1＝(q－1)an－1＝d(n≥2)，要使(q－1)·an－1＝d(n≥2)对数列中“任意项”都成立，则需q－1＝d＝0，也就是q＝1，d＝0.‎ 所以数列{an}为非零常数列，故不正确；‎ 命题②：由正弦定理可把sin2A＋sin2B＝sin2C转化为a2＋b2＝c2，由余弦定理得 cos C＝＝0，所以三角形为直角三角形，故正确；‎ 命题③：若A、B是锐角三角形的两内角，‎ 则tan A>0，tan B>0，π>A＋B>，‎ 则tan(A＋B)＝<0，‎ 得tan A·tan B>1，故正确；‎ 命题④：若Sn为数列{an}的前n项和，‎ 则此数列的通项公式an＝，故不正确．‎ 故正确的命题为：②③.‎ 答案：②③‎