数学文卷·2019届四川省成都七中高二上学期第一次月考（2017-10） 10页

四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期第一次月考 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎2.在复平面，复数对应的点在（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3. 我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）‎ A. 164 石 B. 178 石 C. 189 石 D. 196 石 ‎4. 下列选项中说法正确的是（ ）‎ A. 命题“为真”是命题“为真”的必要条件 B. 若向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若，则 D．“”的否定是“”‎ ‎5．设为等差数列的前项和，，则（ ）‎ A． B． C. D．2 ‎ ‎6. 已知双曲线的离心率为，且抛物线的焦点为，点在此抛物线上，为线段的中点，则点到该抛物线的准线的距离为（ ）‎ A． B．2 C. D．1‎ ‎7.某产品的广告费用与销售额的统计数据如表：‎ 根据上表可得线性回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）‎ A. 63.6 万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D 72.0万元 ‎8. 按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则处条件可以是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.曲线在点处得切线与直线和围成的三角形的面积为（ ）‎ A． B． C. D．1‎ ‎10. —个三棱锥的三视图如图所示，其中正方形的边都是1，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量 (为实数），则的最大值是（ ）‎ A．2 B．3 C.5 D．6‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知点的坐标满足条件，则的最大值为 ．‎ ‎14. 已知数列满足，则 ．‎ ‎15. 已知四面体的每个顶点都在球的球面上，底面，,则球的表面积为 ．‎ ‎16. 已知函数，且是函数的极值点.给出以下几个命题：‎ ‎① ；②；③；④ .‎ 其中正确的命题是 .(填写所有正确命题的序号）.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知，其中.‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）在中，角所对的边分别为，，且向量与共线，求边长和的值.‎ ‎18.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500‎ 元，未售出的产品，每亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.以表示下一个销售季度内的市场需求量，(单位: 元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.‎ ‎（1）将表示为的函数；‎ ‎（2）根据直方图估计利润不少于57000元的概率.‎ ‎19.如图，四边形是菱形，，平面，，，为中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）线段上是否存在一点，使平面？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.‎ ‎20.已知抛物线，过定点（常数）的直线与曲线相交于两点.‎ ‎（1）若点的坐标为，求证：；‎ ‎（2）若，以为直径的圆的位置是否恒过一定点？若存在，求出这个定点，若不存在，请说明理由.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）设函数，若在区间上单调，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎22.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数).‎ ‎（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，若点，直线与交与，求.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BBCAA 6-10: ABCBB 11、12：DC 二、填空题 ‎13. 10 14. 255 15. 16.①③‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题意知.‎ ‎∵在上单调递减，‎ ‎∴令，得 ‎∴的单调递减区间 ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，即 ‎∵，由余弦定理得 ‎①‎ 因为向量与共线，‎ 所以，‎ ‎∴.②‎ 由①②解得 ‎∴‎ ‎18.解：（1） 当时，‎ 当时 ‎，‎ 所以 ‎（2）由（1）知利润不少于57 000元当且仅当.‎ 由直方图知需求量的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润不少于57000元的槪率的估计值为0.7.‎ ‎19．（1）证明：连结 所以 为中点 所以 又因为平面，‎ 所以 因为 所以平面，‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎（2）当点位于三分之一点（靠近点）时，平面 连结交于点 ‎,所以相似于 又因为，所以 从而在中，‎ 而 所以 而平面 平面 所以平面.‎ ‎20.（1）(a)当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性有，；‎ ‎（b）当直线与轴不垂直时，依题意，‎ 可设直线的方程为 ‎，则两点的坐标满足方程组 消去并整理，得 ‎∴‎ 设直线和的斜率分别为，则 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 综合（a）(b)可知.‎ ‎（2）以为直径的圆恒过定点。提示：证明.‎ ‎21.解：（1）由题意得，所以，因为，‎ 所以 若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以.‎ 若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，所以.‎ 综上，实数的取值范围为.‎ ‎（2）设 则，设，则，所以在上单调递增，‎ 由得，存在唯一的使得，‎ 所以在上有，在上有 所以在上单调递减，在递增 所以，故，.‎ ‎22.解：（1）的普通方程为，；‎ ‎（2）伸缩变换后的方程为，即，‎ 直线的参数方程(为参数），‎ 带入椭圆：，‎ 化简得：，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎.‎