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- 2021-06-12 发布
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小题专练·作业(十三)
一、选择题
1.(2016·唐山期末)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=22,则a3+a7+a8=( )
A.18 B.12
C.9 D.6
答案 D
解析 由题意得S11===22,即a1+5d=2,所以a3+a7+a8=a1+2d+a1+6d+a1+7d=3(a1+5d)=6,故选D.
2.(2016·河北三市二模)古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,若要使织布的总尺数不少于30,该女子所需的天数至少为( )
A.7 B.8
C.9 D.10
答案 B
解析 设该女子第一天织布x尺,则=5,得x=,∴前n天所织布的尺数为(2n-1).由(2n-1)≥30,得2n≥187,则n的最小值为8.
3.(2016·广州模拟)各项均为正数的等差数列{an}中,a4a9=36,则前12项和S12的最小值为( )
A.78 B.48
C.60 D.72
答案 D
解析 S12=6(a1+a12)=6(a4+a9)≥6×2=72,当且仅当a4=a9=6时等号成立.
4.(2016·山西质检)已知an=logn+1(n+2)(n∈N*),观察下列算式:a1·a2=
log23·log34=·=2;a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log78=··…·=3,…;若a1·a2·a3·…·am=2 016(m∈N*).则m的值为( )
A.22 016+2 B.22 016
C.22 016-2 D.22 016-4
答案 C
解析 由于a1·a2·a3·…·am=···…·==2 016,可得lg(m+2)=2 016lg2=lg22 016,可得m+2=22 016,解得m=22 016-2.
5.(2016·浙江)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=
|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则( )
A.{Sn}是等差数列 B.{Sn2}是等差数列
C.{dn}是等差数列 D.{dn2}是等差数列
答案 A
解析 由题意,过点A1,A2,A3,…,An,An+1,…分别作直线B1Bn+1的垂线,高分别记为h1,h2,h3,…,hn,hn+1,…,根据平行线的性质,得h1,h2,h3,…,hn,hn+1,…成等差数列,又Sn=×|BnBn+1|×hn,|BnBn+1|为定值,所以{Sn}是等差数列.故选A.
6.(2016·福建质检)已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1,前n项积为Tn,且a2a4=a3,则使得Tn>1的n的最小值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
答案 C
解析 通解:设等比数列{an}的公比为q(q>1),因为a2a4=a3,所以a32=a3,又an>0,所以a3=1,所以等比数列{an}的前n项积Tn=a1·a2·a3·a4·…·an=··a3·a3q·…·a3qn-3=q=q,则使得Tn>1的n的最小值为6,故选C.
优解:设等比数列{an}的公比为q(q>1),因为a2a4=a3,所以a32=a3,又an>0,所以a3=1,所以T4=a1·a2·a3·a4=··a3·a3q=<1,排除A;T5=·a3q2=1,排除B;T6=T5·a3q3=q3>1,故选C.
7.(2016·长沙调研)已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),a1=,且对任意正整数n,都有an+1+SnSn+1=0,则a1+a20=( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由条件可得an+1=-SnSn+1,即Sn+1-Sn=-SnSn+1,所以-=1,则数列{}是公差为1的等差数列,故=+(n-1)×1=2+n-1=n+1,故
Sn=,则a20=S20-S19=-=-,故a1+a20=-=.
8.(2016·郑州预测)正项等比数列{an}中的a1、a4 031是函数f(x)=x3-4x2+6x-3的极值点,则loga2 016=( )
A.1 B.2
C. D.-1
答案 A
解析 因为f′(x)=x2-8x+6,且a1、a4 031是方程x2-8x+6=0的两根,所以a1·a4 031=a2 0162=6,即a2 016=,所以loga2 016=1,故选A.
9.(2015·洛阳调研)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=6,S5=,则数列{}的前n项和为( )
A.1- B.2-
C.2- D.2-
答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+d,因为S3=6,S5=,所以解得所以an=n+1,=,设数列{}的前n项和为Tn,则Tn=+++…++,Tn=+++…++,两式相减得Tn=+(++…+)-=+(1-)-,所以Tn=2-.
10.在等差数列{an}中,a1=-2 017,其前n项和为Sn,若-=2,则S2 017的值等于( )
A.-2 016 B.-2 017
C.-2 015 D.-2 018
答案 B
解析 ∵-=2,∴-=2,故a12-a10=4.
∴2d=4,d=2,
∴S2 017=2 017a1+×d
=2 017×(-2 017)+2 017×2 016
=-2 017.
11.(2016·长沙四校)已知函数f(x+)为奇函数,g(x)=f(x)+1,即an=
g(),则数列{an}的前2 013项和为( )
A.2 014 B.2 013
C.2 012 D.2 011
答案 B
解析 因为f(x+)为奇函数,所以函数y=f(x)的图像关于点(,0)对称,则函数y=g(x)的图像关于点(,1)对称,故函数g(x)满足g(x)+g(1-x)=2.
设S=g()+g()+…+g(),
倒序后得S=g()+g()+…+g(),
两式相加后得2S=[g()+g()]+[g()+g()]+…+[g()+g()]=2 013×2,
所以S=2 013.
12.(2016·太原模拟)等比数列{an}中,若a1=1,公比q=2,前n项和为Sn,则下列结论正确的是( )
A.∃n0∈N*,an0+an0+2=2an0+1
B.∀n∈N*,an·an+1≤an+2
C.∀n∈N*,Sn