2017-2018学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版） 14页

‎2017-2018学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，抛物线y=4x2的标准方程为x2=，‎ 其焦点在y轴正半轴上，且p=，‎ 则其准线方程为y=﹣；‎ 故选：D．‎ ‎2．函数的导函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的导函数是 故选：C ‎3．下列说法错误的是（ ）‎ A. 对于命题： ，使得，则： ，均有 B. 若为真命题，则为真命题 C. 若命题“若则”为真命题，则其否命题也可能为真命题 D. 命题“若方程无实数根，则”的逆否命题为：“若，则方程有实数根”‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于A，对于命题： ，使得，则： ，均有，正确；‎ 对于B，若p∨q为真命题，则p、q至少有一个为真命题即可．不一定p、q均为真命题，故B错误；‎ 对于C，若命题“若则”为真命题，则其否命题也可能为真命题，正确；‎ 对于D，命题“若方程无实数根，则”的逆否命题为：“若，则方程有实数根”，正确.‎ 故选：B ‎4．盒中装有9个乒乓球，其中6个白色球，3个红色球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红色球的条件下，第二次也摸出红色球的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设第一次摸出红球为事件A，第二次摸出红球为事件B，‎ 则P（A）=，P（AB）=．‎ ‎∴P（B|A）=．‎ 故选： ‎ 点睛：本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝ ,求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.‎ ‎5．如图所示的程序框图的算法思想来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的，则输入的， 不可能是（ ）‎ A. 12，18 B. 6，6 C. 24，32 D. 30，42‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，执行程序后输出的a=6，‎ 则执行该程序框图前，输人a、b的最大公约数是6，‎ 分析选项中的四组数，满足条件的是选项C．‎ 故选：C．‎ ‎6．某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个编号分别为053，098，则样本中最大的编号为（ ）‎ A. 853 B. 854 C. 863 D. 864‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵样本中相邻的两个编号分别为053，098，‎ ‎∴样本数据组距为98﹣53=45，则样本容量为=20，‎ 则对应的号码数x=53+45（n﹣2），当n=20时，x取得最大值为x=53+45×18=863，‎ 故选：C．‎ ‎7．函数在处导数存在且记为，则“是是的极值点”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】x=x0是f（x）的极值点，可得：f′（x0）=0；反之不成立，例如f（x）=x3，f′（0）=0，但是0不是函数f（x）的极值点．‎ ‎∴“是是的极值点”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎8．在正方体中，点、分别是棱、的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】取D的中点为M，连接MB，易知：MB ‎ ‎∴∠MBF即为异面直线与所成角 设正方体棱长为2，在△MBF中，MB=3，BF，MF=‎ ‎∴∠MBF ‎∴异面直线与所成角的正弦值为 故选：A 点睛：本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．‎ ‎9．如图，矩形的四个顶点依次为， ， ， ，记线段， 以及的图象围成的区域（图中阴影部分）为，若向矩形内任意投一点，则点落在区域内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】阴影部分的面积是： =，‎ 矩形的面积是： ，‎ ‎∵点M落在区域Ω内的概率： ，‎ 故选：D．‎ ‎10．现有， ， ， ， 五位同学全部保送到清华、北大和武大3所大学，若每所大学至少保送1人，且同学必须保送到清华，则不同的保送方案共有（ ）‎ A. 36种 B. 50种 C. 75种 D. 100种 ‎【答案】B ‎【解析】先将五人分成三组，只有2,2,1或者3,1,1，共有种分组方法.有A的那组去清华，剩下的两组去北大和武大，全排列有2种方法，故共有25×2=50种方法 故选：B ‎11．将二项式展式式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】二项式展开式通项为： ，知当r=0，2，4，6时为有理项，则二项式展开式中有4项有理项，3项无理项，所以基本事件总数为，无理项互为相邻有，所以所求概率P=，‎ 故选：A．‎ ‎12．设是函数的导函数，且， （为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】可构造函数F（x）=，‎ F′（x）==，‎ 由，可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．‎ 不等式即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．‎ 即有F（）==1，即为F（lnx）＜F（），‎ 由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．‎ 故不等式的解集为（0， ），‎ 故选：C．‎ 点睛：点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.‎ 二、填空题 ‎13．二项式展开式中含项的系数为__________（用数字作答）．‎ ‎【答案】-10‎ ‎【解析】展开式的通项为=（﹣1）rC5rx10﹣3r 令10﹣3r=1得r=3‎ ‎∴展开式中含x项的系数T4=﹣C53=﹣10‎ 故答案为：﹣10‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ ‎14．设随机变量，随机变量，则的方差__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由随机变量可知： ‎ ‎∴‎ 故答案为： ‎ ‎15．设：函数在区间上单调递减； ：方程表示焦点在轴上的椭圆.如果为真命题， 为假命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴，‎ 当x∈时，f′（x）0，函数为减函数，‎ 当p为真命题时， ，‎ 解得： ‎ ‎（2）若q为真命题，则：‎ ‎9﹣m＞m﹣1＞0，‎ 解得：1＜m＜5‎ 若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，‎ 故，或 解得： 或1＜m＜3‎ 故答案为： ‎ ‎16．已知函数 ，若对任意的，且 ‎，有恒成立，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设条件对任意的，且，有,‎ 即恒成立，所以在 上单调递增，所以,故对恒成立，所以，得 故答案为： ‎ 三、解答题 ‎17．某数学兴趣小组共有12位同学，下图是他们某次数学竞赛成绩（满分100分）的茎叶图，其中有一个数字模糊不清，图中用表示，规定成绩不低于80分为优秀.‎ ‎（1）已知该12位同学竞赛成绩的中位数为78，求图中的值；‎ ‎（2）从该12位同学中随机选3位同学，进行竞赛试卷分析，设其中成绩优秀的人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1) ；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据茎叶图，分两种情况，求出图中的值；‎ ‎（2）因该12位同学竞赛成绩为优秀的有4人，故的所有可能取值为0，1，2，3，‎ 算出相对应的概率值，从而得到的分布列及数学期望.‎ 试题解析：‎ ‎（1）若，则中位数，不符合；若，则中位数，得，符合，所以.‎ ‎（2）因该12位同学竞赛成绩为优秀的有4人，故的所有可能取值为0，1，2，3，且， ， ， ，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望为.‎ ‎18．如图1，在直角梯形中， ， ，且.现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直， 为的中点，如图2.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）取EC中点N，连结MN，BN．由三角形中位线的性质证得MN∥AB，且MN=AB．由此可得四边形ABNM为平行四边形．得到BN∥AM．再由线面平行的判定得答案；‎ ‎（2）以为坐标原点， ， ， 分别为， ， 轴，建立空间直角坐标系，求出平面与的法向量，代入公式，即可求出二面角的余弦值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：取中点，连结， .‎ 在中， ， 分别为， 的中点，所以，‎ 且.由已知， ，‎ 所以，且.所以四边形为平行四边形.‎ 所以.又因为平面，且平面，所以平面.‎ ‎（2）在正方形中，又平面与平面垂直，且交线为，所以平面，以为坐标原点， ， ， 分别为， ， 轴，建立空间直角坐标系，如图，则， ， ， ，所以， ， ，设平面的法向量为，则，所以，取，得， ，所以，同理可求平面的一个法向量为，从而 ，‎ 由图易知二面角为钝角，故其余弦值为.‎ 点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎19．某食品店为了了解气温对某食品销售量的影响，记录了该店1月份中某5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位： ）的数据，如下表：‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎（1）求与之间的线性回归方程，并预测最低气温为时的日销售量；‎ ‎（2）设该地1月份的日最低气温，其中近似为样本平均数， 近似为样本方差，试求.‎ 附：① ， ；‎ ‎②， ，若，则， ， .‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)0.84.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程，将代入回归方程计算预测值；‎ ‎（2）求出样本的方差，根据正态分布知识得P（3.8＜X＜）= +P（10.2＜X＜13.4）．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得，‎ ‎，‎ 所以 ，‎ ‎，故回归方程是，‎ 将代入回归方程可预测该店当日的销售量千克，从而所求回归方程是，预测最低气温为的销售量为12.92千克.‎ ‎（2）由（1）知， ，‎ ‎∴，‎ 所以 ‎ ‎ ，‎ 即.‎ 点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎20．某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费（百万元），可增加的销售额为（百万元）.‎ ‎（1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）‎ ‎（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.‎ ‎【答案】(1)当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）根据收益为销售额与投放的差可建立收益模型为：f（t）=（﹣t2+5t）﹣t=﹣t2+4t，再由二次函数法求得最大值．‎ ‎（2）根据题意，若用技术改造的资金为x（百万元），则用于广告促销的资金为（3﹣x）（百万元），则收益模型为：g（x）=x3+x2+3x）+[﹣（3﹣x）2+5（3﹣x）]﹣3=x3+4x+3（0≤x≤3），因为是高次函数，所以用导数法研究其最大值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设投入广告费（百万元）后由此增加的收益为（百万元），则 ， .所以当时， ，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大.‎ ‎（2）设用于技术改造的资金为（百万元），则用于广告促销的费用为（百万元），则由此两项所增加的收益为 .‎ 对求导，得，令，得或（舍去）.当时， ，即在上单调递增；当时， ，即在上单调递减，∴当时， .‎ 故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为百万元.‎ ‎21．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个300元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图.以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数， 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎（1）求的分布列；‎ ‎（2）若要求，试确定的最小值；‎ ‎（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)19；(3)应选用.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．‎ ‎（2）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．‎ ‎（3）由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．‎ 试题解析：‎ ‎（1）每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，记事件为第一台机器3年内换掉个零件，记事件为第二台机器3年内换掉个零件，由题知 ， ，则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22，且；‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎；‎ 从而的分布列为 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎（2）要，∵， ，‎ 则的最小值为19；‎ ‎（3）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当时，费用的期望为元，当时，费用的期望为元，若要费用最少，所以应选用.‎ ‎22．已知函数（其中），（其中为自然对数的底数）.‎ ‎（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的单调区间和极值；‎ ‎（2）若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）， 算出m值，然后求出的单调区间和极值；‎ ‎（2）因为对任意，总存在使得，‎ 即成立，分别求与的最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域为， ，‎ 在处的切线斜率为，由，∴，‎ ‎∴， ，令，得，当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增.从而的单调递减区间为，单调递增区间为，当时， ‎ 有极小值， 没有极大值；‎ ‎（2）由， ，当时， ， 单调递增，故有最小值，‎ 因为对任意，总存在使得，‎ 即成立，所以对任意，都有，‎ 即，‎ 也即成立，从而对任意，都有成立，‎ 构造函数 ，则，令，得，当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减，∴的最大值为，∴，综上，实数的取值范围为.‎