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  • 2021-06-12 发布

【数学】广东省湛江市第二十一中学2020届高三6月热身考试试题(理)(解析版)

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广东省湛江市第二十一中学2020届高三6月热身考试 数学试题(理)‎ 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.已知集合A={x|x2﹣x﹣2≥0},B={x||x﹣1|≤2},则A∩B=(  )‎ A.{﹣1}∪[2,3] B.[2,3] C.[1,3] D.{﹣1}∪[1,3]‎ ‎2.已知(a+2i)2(a∈R)是纯虚数,则|a+i|=(  )‎ A. B. C.3 D.5‎ ‎3.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》,共17卷,是中国古代数学名著,明朝数学家程 大位著.书中有这样一道著名的题目:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一 个,大、小和尚各几丁?”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图,则图中①②可分 别填入(  )‎ A.;n=100? B.;n=100? ‎ C.;s=100? D.;s=100?‎ ‎4.已知实数a满足:a2﹣1≤0.命题P:函数y=x2﹣4ax﹣1在[﹣1,1]上单调递减.则命 题P为真命题的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知{an}是各项不相等的等差数列,若a1=4,且a2,a4,a8成等比数列,则数列{an}的 前8项和S8=(  )‎ A.112 B.‎144 ‎C.288 D.110‎ ‎6.函数f(x)=的图象大致为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(1﹣x)(1+2x)4展开式中x2的系数为(  )‎ A.﹣24 B.﹣‎8 ‎C.16 D.24‎ ‎8.已知为不共线的两个单位向量,且在上的投影为,则||=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知如图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的棱的长度中,最大的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.将函数f(x)=sin2x+2图象向右平移个单位,再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则下列说法中正确的是(  )‎ A.g(x)的周期为π ‎ B.g(x)是偶函数 ‎ C.g(x)的图象关于直线对称 ‎ D.g(x)在上单调递增 ‎11.已知双曲线C:,以P(b,0)为圆心,a为半径作圆P,圆P与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点,且PM⊥PN,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上,PA⊥底面ABCD,且AB=AD=1,BC=CD=2,若球O的表面积为36π,则PA=(  )‎ A.2 B. C. D.‎ 二.填空题(共4小题)‎ ‎13.若曲线y=x3﹣x2在点P处的切线l与直线y=﹣x垂直,则切线l的方程为   .‎ ‎14.公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,a2=2,S4﹣5S2=0,则S6﹣S3的值为   .‎ ‎15.为了积极稳妥疫情期间的复学工作,市教育局抽调5名机关工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务,每个学校至少去1人,若甲、乙两人不能去同一所学校,则不同的分配方法种数为   .‎ ‎16.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点,O为坐标原点,直线OA、OB与抛物线的准线分别相交于点P,Q,则|PQ|的最小值为   .‎ 三.解答题(共7小题)‎ ‎17.已知三角形ABC中,三个内角A、B、C的对应边分别为a,b,c,且a=5,b=7.‎ ‎(1)若B=,求c;‎ ‎(2)设点M是边AB的中点,若CM=3,求三角形ABC的面积 ‎18.如图,四边形ABCD为正方形,PA∥CE,AB=CE=PA,PA⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明:PE⊥平面DBE;‎ ‎(2)求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小.‎ ‎19.某公司为加强对销售员的考核与管理,从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额,该小组各组员2019年度的月均销售额(单位:万元)‎ 分别为:3.35,3.35,3.38,3.41,3.43,3.44,3.46,3.48,3.51,3.54,3.56,3.56,3.57,3.59,3.60,3.64,3.64,3.67,3.70,3.70.‎ ‎(Ⅰ)根据公司人力资源部门的要求,若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%,则对该销售小组给予奖励,否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励;‎ ‎(Ⅱ)在该销售小组中,已知月均销售额最高的5名销售员中有1名的月均销售额造假,为找出月均销售额造假的组员,现决定请专业机构对这5名销售员的月均销售额逐一进行审核,直到能确定出造假组员为止.设审核次数为X,求X的分布列及数学期望.‎ ‎20.已知椭圆的左右焦点为F1,F2,离心率为,过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线y=kx+m(k>0)交椭圆E于点C,D两点,与线段F‎1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M,N,且|CM|=|DN|,求|CD|的最小值.‎ ‎21.已知函数f(x)=lnx﹣mx2(m∈R).‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)若f(x)有两个不同的零点x1,x2,且x1<2<x2,求证:ln(x22﹣x12+1)﹣.(其中e=2.71828…是自然对数的底数)‎ ‎(选做题22-23)‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)在极坐标系中,M,N是曲线C上的两点,若∠MON=,求|OM|+|ON|的最大值.‎ ‎23.函数f(x)=|x+a|+|x﹣b|+c,其中a>0,b>0,c>0.‎ ‎(1)当a=b=c=1时,求不等式f(x)>4的解集;‎ ‎(2)若f(x)的最小值为3,求证:.‎ 参考答案 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.【答案】A ‎【解析】∵集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2},‎ B={x||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3},‎ ‎∴A∩B={x|x=﹣1或2≤x≤3}={﹣1}∪[2,3].‎ 故选:A.‎ ‎2.【答案】B ‎【解析】(a+2i)2=a2﹣4+4ai,‎ ‎∵(a+2i)2(a∈R)是纯虚数,‎ ‎∴,即a=±2,‎ 则,‎ 故选:B.‎ ‎3.【答案】D ‎【解析】由程序框图可知,n表示小僧人数,m表示大僧人数,‎ 根据“大僧三个更无争,小僧三人分一个”,‎ 设馒头数为s,则,‎ 所以①中填入,‎ 当s=100时结束程序,输出n.‎ 所以②中应该为:s=100?.‎ 故选:D.‎ ‎4.【答案】A ‎【解析】因为a2﹣1≤0⇒﹣1≤a≤1;‎ 若P为真命题:则有对称轴‎2a≥1⇒a≥;‎ ‎∴命题P为真命题的概率为:=;‎ 故选:A.‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】{an}是各项不相等的等差数列,设公差为d,d≠0,‎ 若a1=4,且a2,a4,a8成等比数列,‎ 可得a‎2a8=a42,‎ 即(4+d)(4+7d)=(4+3d)2,‎ 解得d=4(0舍去),‎ 则数列{an}的前8项和S8=8×4+×8×7×4=144.‎ 故选:B.‎ ‎6.【答案】A ‎【解析】由题知f(x)为奇函数,排除D;‎ 因为,排除C;‎ 又因为,所以排除B,‎ 故选:A.‎ ‎7.【答案】C ‎【解析】含x2的项为1ו(2x)2+(﹣x)•2x=16x2,‎ 所以,x2的系数等于16,‎ 故选:C.‎ ‎8.【答案】D ‎【解析】∵为不共线的两个单位向量,且在上的投影为,‎ 故•=||•||cosθ=﹣;则||====.‎ 故选:D.‎ ‎9.【答案】B ‎【解析】几何体可以看作长方体的一部分,‎ 也可以看作是正三棱柱去掉一个三棱锥的几何体,如图所示;‎ 则该几何体的棱长为:AE=AD=2,‎ AC=BC=BE=ED=DC=AC=BC=2.‎ 所以该几何体的棱长最大的是2.‎ 故选:B.‎ ‎10.【答案】D ‎【解析】函数f(x)=sin2x+2=sin2x+=2,‎ 把函数图象向右平移个单位,得到y=2sin[2(x﹣)+]=,‎ 再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),‎ 得到g(x)=2sin(x+).‎ ‎①故函数的最小正周期为2π,故选项A错误.‎ ‎②函数g(x)≠g(﹣x),不为偶函数,故选项B错误.‎ ‎③当x=时,g()=≠2,故选项C错误.‎ ‎④由于x∈(﹣),所以,故函数g(x)单调递增.故选项D正确.‎ 故选:D.‎ ‎11.【答案】A ‎【解析】由题意可得渐近线的方程bx﹣ay=0,所以圆心(b,0),圆心到渐近线的距离d==,‎ 再由PM⊥PN,PM=PN=a,所以可得d=a,‎ 即=a,而b2=c2﹣a2,所以可得c2﹣=a2=0,即e2﹣e﹣=0,‎ 解得e=或e=﹣(舍),‎ 故选:A.‎ ‎12.【答案】C ‎【解析】设底面四边形ABCD的外接圆为圆M,如图所示:‎ ‎,‎ ‎∵AB=AD,BC=CD,AC=AC,‎ ‎∴△ADC≌△ABC,‎ ‎∴∠ADC=∠ABC,‎ 又因为圆内接四边形对角互补,∴∠ADC=∠ABC=90°,‎ ‎∴底面四边形ABCD的外接圆的圆心M为AC的中点,‎ ‎∵AD=1,CD=2,∠ADC=90°,∴AC=,即面四边形ABCD的外接圆的半径r=,‎ 过点M作底面ABCD的垂线,则球O的球心O在垂线上,如图所示:‎ ‎,‎ 过球心O作ON⊥PA于点N,故四边形AMON为矩形,‎ ‎∵球O的表面积为36π,∴4πR2=36π,∴R=3,‎ 在Rt△OAM中:AM=r=,OA=R=3,∴OM==,‎ 在Rt△PON中:ON=AM=r=,OP=R=3,∴PN==,‎ ‎∴PA=PN+AN=PN+OM=,‎ 故选:C.‎ 二.填空题(共4小题)‎ ‎13.【解析】 y=x﹣1或 ‎ ‎【解析】据题意设P,且y=x3﹣x2在点P处的切线斜率为1,y′=3x2﹣2x,‎ ‎∴,解得,或1,‎ ‎∴,或P(1,0),‎ ‎∴切线l的方程为或y=x﹣1.‎ 故答案为:或y=x﹣1.‎ ‎14.【答案】56 ‎ ‎【解析】∵公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,a2=2,S4﹣5S2=0,显然,公比q≠1.‎ ‎∴,解得,‎ 则S6﹣S3=﹣=56,‎ 故答案为:56.‎ ‎15.【答案】 114 ‎ ‎【解析】根据题意,分2步进行分析:‎ ‎①将5人分成3组,要求甲乙不在同一组,‎ 若分成3、1、1的三组,有C53﹣C31=7种分组方法,‎ 若分成2、2、1的三组,有﹣C32=12种分组方法,‎ 则有7+12=19种分组方法;‎ ‎②将分好的三组全排列,对应3所不同的学校,有A33=6种情况,‎ 则有19×6=114种安排方法;‎ 故答案为:114.‎ ‎16.【答案】 4 ‎ ‎【解析】根据题意,作出如下所示的图形,‎ 由题可知,焦点F(1,0),设点A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为x=my+1,‎ 联立,得y2﹣4my﹣4=0,∴,,‎ ‎∵直线OA的方程为,‎ ‎∴令x=﹣1,则,∴P(﹣1,),‎ 同理可得,Q(﹣1,),‎ 记抛物线的准线与x轴的交点为D,则有|PD|•|QD|=,‎ 由|PQ|=|PD|+|QD|≥=4,可知|PQ|的最小值为4.‎ 故答案为:4.‎ 三.解答题(共7小题)‎ ‎17.解:(1)△ABC中,a=5,b=7,B=,‎ 由余弦定理得,b2=a2+c2﹣2accosB,‎ 即49=25+c2﹣2×5×c×cos,‎ 整理得c2﹣‎5c﹣24=0,‎ 解得c=8或c=﹣3(不合题意,舍去),‎ 所以c=8;‎ ‎(2)如图所示,‎ 点M是边AB的中点,CM=3,‎ ‎=(+),‎ 所以=(+2•+),‎ 即9=×(49+2×7×5×cos∠ACB+25),‎ 解得cos∠ACB=﹣,‎ 所以sin∠ACB==,‎ ‎△ABC的面积S△ABC=CA•CB•sin∠ACB=×7×5×=6.‎ 故答案为:6.‎ ‎18.(1)证明:连结AC,∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC,‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,PA⊥AD,‎ ‎∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面APEC,‎ ‎∵PE⊂平面APEC,∴BD⊥PE,‎ 设AB=1,则AD=1,PA=2,∴PD=,‎ 同理解得DE=,要梯形PACE中,解得PE=,‎ ‎∴PE2+DE2=PD2,∴PE⊥DE,‎ ‎∵BD∩DE=D,∴PE⊥平面DBE.‎ ‎(2)解:以A为原点,AD,AB,AP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,‎ 令AB=1,则CE=,AP=2,‎ ‎∴P(0,0,2),E(1,1,1),D(1,0,0),B(0,1,0),‎ ‎=(﹣1,﹣1,1),=(﹣1,0,2),=(0,﹣1, 2),=(1,﹣1,0),‎ 设平面DPE的法向量=(x,y,z),‎ 则,取z=1,得=(2,﹣1,1),‎ 设平面BPD的法向量=(a,b,c),‎ 则,取c=1,得=(2,2,1),‎ 设二面角B﹣PD﹣E的平面角为θ,‎ 则cosθ==,‎ ‎∴二面角B﹣PD﹣E的正弦值sinθ==.‎ ‎19.解:(Ⅰ)由题意,该小组共有11名销售员2019年度的月均销售额超过了3.52万元,‎ 故月均销售额超过了3.52万元的销售员占该小组的比例是=55%<65%,‎ 故不需要对抽取的销售小组发放奖励;‎ ‎(Ⅱ)X的所有可能的取值为:1,2,3,4,‎ 则P(X=1)==,‎ P(X=2)==,‎ P(X=3)==,‎ P(X=4)==,‎ 故X的分布列是:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P(X)‎ ‎∴E(X)=1×+2×+3×+4×=.‎ ‎20.解:(Ⅰ)由题可知:,,‎ 所以a=2,b=1,‎ 则椭圆E的方程为;‎ ‎(Ⅱ)把y=kx+m(k>0)代入得(1+4k2)x2+8kmx+‎4m2‎﹣4=0,‎ 设D(x1,y1),C(x2,y2),则,,‎ 又,N(0,m),‎ 因|CM|=|DN|,所以xM﹣x1=x2﹣xN,即xM+xN=x1+x2,‎ 所以,‎ 因为y=kx+m(k>0)与线段F‎1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M,N,‎ 所以m≠0,又k>0,‎ 则,‎ 故x1+x2=﹣‎2m,,‎ 因为直线y=kx+m(k>0)与线段F‎1F2及椭圆的短轴分别交于不同两点,‎ 所以,即,且m≠0,‎ 所以 ‎=,‎ 因为,且m≠0,‎ 所以当或时,|CD|的最小值为.‎ ‎21.解:(1)=,‎ m≤0时,f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 当m>0时,由f′(x)>0可得,0,由f′(x)<0可得x,‎ 所以f(x)在(0, )上单调递增,在(,+∞)上单调递减,‎ 证明:(2)由题意可得=0即m=,‎ 令t=x2>2,则g(t)=,‎ 所以,‎ 当时,g′(t)>0,g(t)单调递增,当t时,g′(t)<0,g(t)单调递减,‎ ‎∵,∴m,‎ ‎∵f(1)=﹣m<0,f()=ln﹣2m=0,‎ ‎∴,‎ 令s=则s>4﹣2+1=3,‎ 由(1)可知,当m=时,f(x)在(,+∞)上单调递减,‎ 所以f(s)=lns﹣<f(3)=ln3﹣=,‎ ‎∴ln(x22﹣x12+1)﹣.‎ ‎22.解:(1)曲线C的参数方程为(α为参数),转换为直角坐标方程为,‎ 根据,整理得,转换为极坐标方程为.‎ ‎(2)设M(ρ1,θ),N(),‎ 所以|MM|=ρ1+ρ2====2,‎ 当sin()=1时,.‎ ‎23.解:(1)当a=b=c=1时,不等式f(x)>4化为|x+1|+|x﹣1|+1>4,‎ 即|x+1|+|x﹣1|>3.‎ 当x≥1时,化为x+1+x﹣1>3,解得;‎ 当﹣1<x<1时,化为x+1﹣(x﹣1)>3,此时无解;‎ 当x≤﹣1时,化为﹣(x+1)﹣(x﹣1)>3,解得.‎ 综上可得,不等式f(x)>4的解集为:;‎ 证明:(2)∵a>0,b>0,c>0,‎ ‎∴由绝对值不等式得f(x)=|x+a|+|x﹣b|+c≥|(x+a)﹣(x﹣b)|+c=a+b+c=3.‎ 由基本不等式得:‎ ‎,,,‎ 当且仅当a=b=c=1时,上面三式等号成立.‎ 三式相加得:,‎ 整理即得.‎ 故.‎

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