数学理卷·2018届湖北省宜昌市第一中学高三上学期12月月考（2017 9页

宜昌一中2018届高三12月月考试卷 理科数学 ‎(限时120分钟 满分150分)‎ ‎ 命题人：徐惠 做题人：吴清华 覃明富 ‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．‎ ‎1．已知集合,,则 （　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 （　　）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎4．已知是实数，则且是 的 （　 　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．当时，设命题:函数在区间上单调递增；命题不等式对任意都成立．若 是真命题，则实数的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知函数的图象与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点的坐标分别为和，则该函数图象距离轴最近的一条对称轴方程是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法 （　　）‎ A．6 B．12 C．18 D．24‎ ‎8．设正实数分别满足，则的大小关系为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9． 若二面角为，直线，则所在平面内的直线与 所成角的取值范围是（ ） ‎ A．（0， B．[， C． D．‎ ‎10. 平面内，点在以为顶点的直角内部，分别为两直角边上两点，已知，，，则当最小时， ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数在上可导，其导函数为，若满足，关于直线对称，则不等式的解集是 （　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 12. 动曲线Γ1的初始位置所对应的方程为：，一个焦点为F1（﹣c，0），曲线Γ2：的一个焦点为，其中．现将Γ1沿x轴向右平行移动．给出以下三个命题：‎ ‎①Γ2的两条渐近线与Γ1的交点个数可能有3个；‎ ‎②当Γ2的两条渐近线与Γ1的交点及Γ2的顶点在同一直线上时，曲线Γ1平移了个单位长度；‎ ‎③当F1与F2重合时，若Γ1，Γ2的公共弦长恰为原两顶点之间距离的4倍，则Γ1的离心率为3．‎ 其中正确的是 （　　）‎ A． ‎②③ B．①②③ C．①③ D．②‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。‎ ‎13．若的展开式中的常数项是 ．‎ ‎14.已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则b＝ ．‎ ‎15.用黑白两种颜色随机地给如图所示的表格中6个格子染色，每个格子染一种颜色，在所有的不同的染色方法中，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率为　 　．‎ ‎16．设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是　 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分）,‎ ‎（1）求的最小正周期、最小值、图象对称轴方程；‎ ‎（2）若,，，求的值．‎ 18． ‎（本小题满分12分）‎ 已知等比数列的公比，且满足：，且是的等差中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，n，求使成立的正整数的最小值．‎ 19． ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱台中，平面平面，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值．‎ 20． ‎（本小题满分12分）‎ 已知曲线，曲线，且与的焦点之间的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设与在第一象限的交点为，过点斜率为的直线与的另一个交点为，过点与垂直的直线与的另一个交点为．问的外接圆的圆心能否在轴上？若能，求出此时的圆心坐标，否则说明理由．‎ 21． ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数在区间上的最大值；‎ ‎（2）若是函数图像上不同的三点，且，试判断与之间的大小关系，并证明．‎ 请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ 22． ‎（本小题满分10分）‎ 已知圆锥曲线C：（θ为参数）和定点，是此圆锥曲线的左、右焦点．‎ ‎（Ⅰ）以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点，且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点，求的值．‎ 23． ‎（本小题满10分）‎ 已知函数 ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围．‎ 宜昌一中2018届高三12月月考试卷 理科数学(参考答案)‎ 一、选择题：‎ C B A B B D C C D B CD 二、 填空题：‎ ‎13． 14. 15． 16． ‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：（1）∵=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin ‎=sinx﹣cosx﹣cosx+sinx=（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣），‎ ‎∴的最小正周期T=2π，min=﹣2，‎ 由x﹣=kπ﹣（k∈Z）得，图象对称轴方程x=kπ﹣（k∈Z）；‎ ‎（2）∵=4×=2（1﹣sin2β）．‎ 又cos（α﹣β）=，0＜α＜β≤，∴﹣≤α﹣β＜0，∴sin（α﹣β）=﹣，‎ 又0＜α+β＜π，cos（α+β）=﹣，∴sin（α+β）=，‎ ‎∴sin2β=sin（α+β）cos（α﹣β）﹣cos（α+β）sin（α﹣β）=×﹣（﹣）（﹣）=0，∴=2，∴﹣2=0．‎ 18． 解：（1）∵由a3+2是a2、a4的等差中项，得a2+a4=2（a3+2），‎ 因为a2+a3+a4=28，所以a2+a4=28﹣a3，所以2（a3+2）=28﹣a3，解得a3=8，‎ 所以a2+a4=20，所以 ，解得或，‎ 又{an}为递增数列，所以q＞1．所以a1=2，q=2，所以an=2n．‎ （2） ‎∵bn=anlogan=2n．nlog2n═﹣n•2n．‎ （3） Sn=b1+b2+…+bn=﹣（1×2+2×22+…+n×2n）①‎ 则2Sn=﹣（1×22+2×23+…+n×2n+1）②‎ ‎②﹣①，得Sn=（2+22+…+2n）﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1‎ 即数列{bn}的前项和Sn=2n+1﹣2﹣n•2n+1，‎ 则Sn+n•2n+1=2n+1﹣2＞62，所以n＞5，即n的最小值为6．‎ 19． 解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK；‎ ‎∴BF⊥AC；又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；‎ ‎∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；‎ ‎∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；∴BF⊥平面ACFD；‎ ‎（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；‎ ‎∵F为CK中点，且DF∥AC；‎ ‎∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；∴； 又；‎ ‎∴在Rt△BFD中，，cos；‎ 即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为 20． 解：（Ⅰ）曲线C1的焦点坐标为，曲线C2的焦点坐标为，由C1与C2的焦点之间的距离为2，得，解得p=2，∴C2的方程为x2=4y．‎ ‎（Ⅱ）由，解得A（2，1），‎ ‎∴直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），即y=kx﹣2k+1，‎ 由，得（2k2+1）x+4k（1﹣2k）x+2（1﹣2k）2﹣6=0‎ 则，∵xA=2，∴，‎ 直线AC的方程为，即，，得，则，∵xA=2，∴，‎ ‎∵△ABC为直角三角形且BC为斜边，若三角形ABC的外接圆的圆心能在y轴上，‎ 则BC边的中点M为圆心，且M在y轴上，即，‎ ‎，化简得3k2+k+1=0（*），∵△=1﹣4×3×1＜0，∴方程（*）无实数解，‎ 所以三角形ABC的外接圆的圆心不能在y轴上．‎ 21． 解：（1） ．‎ 当时，，；‎ 当时，， ；‎ 当时，由，得，又，则有如下分类：‎ ‎①当，即时，在上是增函数，所以．‎ ‎②当，即时，在上是增函数，在上是减函数，‎ 所以．‎ ‎③当，即时，在上是减函数，所以．‎ 综上，函数在上的最大值为．‎ ‎（2）由题意得 ‎，，‎ ‎，‎ ‎．令，，，所以在内是增函数，又，‎ 当时，，，，故；‎ 当时，，，，故．‎ 综上知：．‎ 22． 解：（Ⅰ）圆锥曲线C：（θ为参数），消去参数可得C：，轨迹为椭圆，其焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），，‎ 把x=ρcosα，y=ρsinα代入得到，‎ 即…（5分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），∵l⊥AF2，∴l的斜率为，倾斜角为30°，‎ ‎∴l的参数方程为（t为参数）代入椭圆C的方程中，得：∵M、N在F1的异侧，∴…（10分）‎ 23． 解：（1）f（x）=，…（2分）‎ 当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；‎ 当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；‎ 当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；‎ 综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（5分）‎ ‎（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0‎ ‎⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立 ‎⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…（10分）‎