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- 2021-06-12 发布
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梅河口五中高三下学期模拟考试
数学(文科)
1、已知集合 A = {1, 2, 3}, B = {x (x + 1) (x - 2 ) £ 0 } ,则 A Ç B 等于( ) A. {1}
B. {1, 2}
C. {0,1, 2, 3}
D. {-1, 0,1, 2, 3}
2、已知复数 z 在复平面内对应点是 (1, -2) , i 为虚数单位,则 z + 2 = ( )
z - 1
A. -1 - i
B. 1+ i
3
C. 1 - i
2
D. 1 + 3 i
2
3、命题"
"x Î R, x 3 - x 2 + 1 £ 0 "的否定是( )
4、已知向量 a = (4, -1), b = (-5, 2) ,且 (a + b) / /(ma - b) ,则实数 m = ( )
A. 1 B. -1 C. 7
5
D. - 7
5
2
ç ÷
5、已知 a = 21.2 , b = æ 1 ö
è ø
-0.8
, c = 2 log5 2 ,则 a, b, c 的大小关系为( )
A. c < b < a B. c < a < b C. b < a < c D. b < c < a
6、数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长四尺,竹长两尺,松日自半,竹
日自倍,松竹何日而长等.如图,是源于其思想的一个程序框图.若输入的 a, b 分别为 8, 2 , 则输出的 n = ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7、在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 A = 30°, b2 = 2ac ,则 b sin B =
c
( )
A. 1 B. 2 C. 1
2
D. 3
2
8、在区间[- π , π ] 上随机取一个数 x ,则sin 2x 的值介于 0 到 3 之间的概率为
4 4 2
( )
A. 3
4
D. 1
3
B. 2
3
C. 1
2
9、已知直线 y = kx(k ¹ 0) 与双曲线 x
2 y 2
-
= 1(a > 0, b > 0) 交于 A, B 两点,以 AB 为直
a2 b2
径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ,若△ABF 的面积为 4a 2 ,则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
10、设函数 f ( x) 的定义域 D ,如果存在正实数 m ,使得对任意 x Î D ,都有
f ( x + m) > f ( x) ,则称 f ( x) 为 D 上的“ m 型增函数”,已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的
奇函数,且当 x > 0 时, f ( x) =
x - a - a ( a Î R ).若 f ( x) 为 R 上的“20 型增函数”,
则实数 a 的取值范围是( )
A. a > 0
B. a < 5
C. a < 10
D. a < 20
11、已知过球面上三点 A, B, C 的截面到球心距离等于球半径的一半,且
AC = BC = 6, AB = 4 ,则球面面积为( )
A. 42p B. 48p C. 54p
D. 60p
12、已知直线 l : y = -2 x - m(m > 0) 与圆 C : x 2 + y 2 - 2x - 2 y - 23 = 0 ,直线 l 与圆 C 相
交于不同两点 M , N .若| MN |£ 2 | CM + CN | ,则 m 的取值范围是( )
A. [ 5, 5) B. [2, 5 5 - 3)
C. (5, 5 5 ) D.
( 3, 2)
13、设曲线 y = ax2 在点 (1, a) 处的切线与直线 x + 2 y - 6 = 0 垂直,则 a = .
ì x - 2 y £ 0
í
14、已知 x, y 满足约束条件 ï2 x + y - 4 £ 0 ,则 z = x + y 的最小值为 .
î
ï x ³ 1
15、已知正数 x, y 满足 3x + 4 y = xy ,则 x + 3 y 的最小值为 .
16、△ ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 a = b cos C + c sin B ,且 b = 2 ,
则△ ABC 面积的最大值是 .
17、已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S2 = 8,a3 + a8 = 2a5 + 2 .
(1)求 an ;
(2)设数列{ 1 } 的前 n 项和为T ,求证T < 3 .
S
4
n n
n
18、如图,在三棱柱 ABC - A1 B1C1 ,侧棱垂直于底面, AB ^ BC, E, F 分别是 A1C1 , BC 的中点.
(1).求证:平面 ABE ^ 平面 B1 BCC1 ;
(2).求证: C1 F / / 平面 ABE .
19、如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PD ^ 平面 ABCD ,
AB / /CD, AB ^ BC, AB = BC = 4, CD = 2CE = 2 .
(1)证明:平面 PAD ^ 平面 PDE ;
(2)若△PAB 的面积为 2 21 ,求三棱锥 P - ADE 的体积.
2
20、在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : x
y 2
+ = 1 的左顶点为 A,右焦点为 F,P,
4 3
Q 为椭圆 C 上两点,圆 O : x2 + y2 = r 2 (r > 0) .
(1)若 PF ^ x 轴,且满足直线 AP 与圆 O 相切,求圆 O 的方程;
(2)若圆 O 的半径为 2,点 P,Q 满足 k
值.
21、设函数 f ( x ) = ln x - 1 ax 2 - bx .
2
OP × kOQ
= - 3 ,求直线 PQ 被圆 O 截得弦长的最大
4
(1)若 x = 1 是 f ( x ) 的极大值点,求 a 的取值范围;
(2)当 a = 0 , b = - 1 时,方程 x2 = 2mf ( x) (其中 m > 0 )有唯一实数解,求 m 的值.
22、选修 4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系
ìï x =
中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程为 í
3 - t
( t 为参数),曲线 C 的极坐标
æ p ö
3
方程为 r= 4 sin çq+ ÷ .
è ø
ïî y = 1 + 3t
(1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;
(2)若直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点,求△MON 的面积.
23、已知函数 f (x) = x - 3 - 2 x . (1)求不等式 f ( x) £ 2 的解集;
(2)若 f ( x) 的最大值为 m,正数 a, b, c 满足 a + b + c = m ,求证: a2 + b2 + c2 ³ 3 .
1 答案及解析:
答案:B
解析:∵集合 A = {1, 2, 3}, B = {x (x + 1) (x - 2 ) £ 0}= {x -1 £ x £ 2 } ,
∴ A Ç B = {1, 2} .故选 B.
2 答案及解析: 答案:D
解析: z + 2 = 3 - 2i = 1 + 3 i ,故选 D.
z - 1
-2i 2
3 答案及解析:
答案:C
解 析 : 由 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 可 得 命 题 "x Î R,x3 - x 2 + 1 £ 0
的 否 定 是
“ 3 2
$x0 Î R,x0
- x0
+ 1 > 0 ”,故选 C.
4 答案及解析:
答案:B
解析:易知 a + b = (-1,1), ma - b = m(4, -1) - (-5, 2) = (4m + 5, -m - 2) ,因为
(a + b) / /(ma - b) ,所以 (-1) ´ (-m - 2) - 1´ (4m + 5) = 0 ,解得: m = -1, 故选 B.
5 答案及解析: 答案:A
2
ç ÷
解析:∵ a = 21.2 > 2 , b = æ 1 ö
è ø
-0.8
5 5
= 20.8 < 21 = 2 , c = log 4 < log 5 = 1 ,
∴ c < b < a .故选 A.
6 答案及解析:
答案:D
解析:输入的 a, b 分别为 8, 2, n = 1
第一次执行循环体后 a = 12, b = 4, 不满足退出循环的条件,
第二次执行循环体后 n = 2, a = 18, b = 8, 不满足退出循环的条件, 第三次执行循环体后 n = 3, a = 27, b = 16, 不满足退出循环的条件,
第四次执行循环体后 n = 4, a = 81 , b = 32 ,不满足退出循环的条件,
2
第五次执行循环体后 n = 5, a = 243 , b = 64 ,满足退出循环的条件,
4
故输出的 n = 5 ,故选 D.
7 答案及解析: 答案:A
解析:因为 b2 = 2ac ,由正弦定理,得 sin 2 B = 2 sin A sin C = 2 sin 30o sin C = sin C ,所
b sin B
以
c
sin 2 B
= = 1,
sin C
故选 A.
8 答案及解析: 答案:D
π π π 3
解析:所有的基本事件构成的区间长度为
- (-
) = ,由 0 £ sin 2 x £ ,解得:
4 4 2 2
0 £ 2 x £ π ,则 0 £ x £ π ,所以由几何概型的概率公式得 sin 2x 的值介于 0 到 3 之间的
3 6 2
π - 0
6 1
概率为 P = π = 3 ,
2
故选:D.
9 答案及解析: 答案:D
∵AB 为圆的直径
∴ÐAFB = 90°
根据双曲线、圆的对称性可知:四边形 AFBF ' 为矩形
∴S = 1 S = S
△ABF 2 AFBF ' △FBF '
2
又 b 2 2 2 2
S△FBF
' = = b
tan 45°
= 4a
,可得: c
= 5a
∴e2 = 5 Þ e =
5 .故选 D.
10 答案及解析:
答案:B
解析:若 a £ 0 :当 x > 0 时, f ( x) =| x - a | -a =| x |= x , 又∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,∴ f ( x) = x ,符合题意;
ì- x, 0 < x < a
若 a > 0 :当 x > 0 时, f ( x) =| x - a | -a = í ,
î x - 2a, x ³ a
又∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,根据题意可知 f ( x + 20) > f ( x) 对于任意 x Î R 恒成
立,∴问题等价于将 f ( x) 的图象向左平移 20 个单位后得到的新的函数 f ( x + 20) 图象恒在
f ( x) 图象上方,可知 4a < 20 ,即 0 < a < 5 ,综上实数 a 的取值范围是 (-¥, 5) ,故选 B.
11 答案及解析: 答案:C
1 2 2
Rt△ACD 中,
cosA = ,则 sinA = .
3
在△ABC 中,由正弦定理得 6 sin A
3
= 2r, r = 9
4
2 ,△ABC 外接圆的半径
r = 9 2 =
3 R Þ R2 = 27 ,S= 4pR2 = 54p .故选:C.
4 2 2
12 答案及解析:
答案:B
解析:圆 C 方程可化为: ( x -1)2 + ( y -1)2 = 25 Þ C (1,1) ,圆 C 半径 r = 5
| MN |£ 2 | CM + CN |=| MN |2 £ 4 | CM + CN |2
即| MN |2 £ 4 | CM |2 +4 | CN |2 +8CM × CN
∴| MN |2 £ 100 + 100 + 8 | CM | × | CN | cos ÐMCN
uuuur
2 uuuur
Þ| MN |2 £ 100 + 100 + 200 ´ 25 + 25- | MN |
50
Þ| MN |£ 4 5
设圆心 C 到直线 y = -2 x - m 的距离为 d
则 2 r 2 - d 2 = 2 25 - (| 3 + m |)2 £ 4 5 Þ m ³ 2
5
又直线 y = -2 x - m 与圆 C 相交,可得 d < r
| 3 + m |
即
5
< 5 Þ m < 5 5 - 3
综上所述: m Î[2, 5 5 - 3)
故选 B.
13 答案及解析: 答案:1
解析: y ' = 2ax ,所以切线的斜率 k = 2a ,
又切线与直线 x + 2 y - 6 = 0
垂直得 2a ´ æ - 1 ö = -1 ,解得 a = 1.
ç 2 ÷
è ø
14 答案及解析:
答案: 3
2
ì x - 2 y £ 0
í
解析:作出 x,y 满足约束条件 ï2 x + y - 4 £ 0 对应的平面区域如图:
î
ï x ³ 1
由 z = x + y 得 y = -x + z 表示,斜率为-1 纵截距为 z 的一组平行直线,
平移直线 y = -x + z 当直线 y = -x + z 经过点 A 时,直线 y = -x + z 的截距最小,此时 z
最小,
ì x = 1 1
由 í Þ A(1, ) ,
î x - 2 y = 0 2
z = 1 + 1 = 3 .
此时 min 2 2
3
故答案为: .
2
15 答案及解析:
答案:25
解析:由正数 x,y 满足 3x+4y=xy,∴.
∴x+3y==13+≥13+2=25,当且仅当 x=2y=10 时, 取等号.
∴x+3y 的最小值为 25. 故答案为:25.
16 答案及解析:
答案:
2 + 1
2
解析:由 a = b cos C + c sin B 及正弦定理得,
sin A = sin B cos C + sin C cos B ,即 sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C sin B , 又 sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C sin B ,于是可得 sin B = cos B ,
即 tan B = 1, B = 45° .
在△ ABC 中,由余弦定理得 a2 + c2 = 2ac cos 45° = 2 ,即 a2 + c2 -
2ac = 2 ,
又因为 a2 + c2 ³ 2ac ,
∴ 2 = a2 + c2 -
2ac ³ (2 -
2 ) ac ,
由此可得 ac £ 2
2 -
= 2 +
2
2 ,当且仅当 a = c 时等号成立,
△ ABC 面积 S = 1 ac sin B =
2 (2 +
2 ) =
2 +1 ,
2 4 2
故△ ABC 面积 S 最大值为 2 +1 .
2
17 答案及解析:
í
答案:(1)设公差为 d,由题意有 ì
2a1 + d = 8 ,
î2a1 + 9d = 2a1 + 8d + 2
解得 a1 = 3, d = 2 ,
所以 an = 2n + 1 .
(2)由(1)知, Sn
= n (3 + 2n + 1) = n2 + 2n ,
2
则 1 = 1
= 1 ( 1 -
1 ) ,
Sn n(n + 2) 2
n n + 2
所以T
= 1 [(1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + (1 - 1 ) + × × × + ( 1
- 1 ) + ( 1 -
1 )]
n 2 3 2 4 3 5
n - 1
n + 1
n n + 2
= 1 (1 + 1 - 1 -
1 ) < 3 .
2 2 n + 1
n + 2 4
18 答案及解析:
答案:(1).在三棱柱 ABC - A1 B1C1 中, BB1 ^ 底面 ABC
所以 BB1 ^ AB
又因为 AB ^ BC
BC Ç BB1 = B
BC, BB1 Ì 平面 B1 BCC1
所以 AB ^ 平面 B1 BCC1
又 AB Ì 平面 ABE
所以平面 ABE ^ 平面 B1 BCC1
(2).证明: AB 取的中点 G,连接 EG, FG
因为 E, F 分别是 A1C1 , BC 的中点
所以 FG / / AC ,且 FG = 1 AC
2
因为 AC / / A1C1 ,且, AC = A1C1 ,所以 FG / / EC1 ,且 FG = EC1 ,所以四边形为 FGEC1 平行 四边形
所以 C1 F / / EC
又因为 EG Ì 平面 ABE , C1 F Ë 平面 ABE
所以 C1 F / / 平面 ABE
19 答案及解析:
答案:(1)在直角梯形 ABCD 中, AB =
BC =
4 ,CD =
2 ,CE = 1,Ð ABE = Ð ECD
DE =
CE 2 + CD2 =
5 , AB =
BE 2 +
AB2 = 5
AD =
(AB - CD)2 +
BC 2 = 2 5
DE 2 +
AE 2 =
AD2 ,
AD ^ DE
Q PD ^ 平面 ABCD , DE Ì 平面 ABCD ,
PD ^
DE ,又 AD I PD = D
DE ^ 平面 PAD ,又 DE Ì 平面 PDE ,
平面 PAD ^ 平面 PDE
(2)设 PD =
h , BD =
CD2 +
BC 2 =
2 5 , AD = 2 5
PA =
PB =
h2 + 20
S
ΔPAB =
1 鬃AB PA2 - ( 1 AB)2 =
2 2
2×h2 + 16 =
2 21
h = 5
又 S△ADE =
1 AD ×DE = 5
2
1 5 5
VP- ADE =
S△ADE ×h =
3 3
20 答案及解析:
x2
答案:(1)因为椭圆 C 的方程为
2
y
+ = 1 ,所以 A (-2, 0) , F (1.0) .
4 3
因为 PF ^ x 轴,所以 P æ1, ± 3 ö ,而直线 AP 与圆 O 相切,
ç 2 ÷
è ø
ç
2
è
÷
根据对称性,可取 P æ1, 3 ö ,
ø
则直线 AP 的方程为 y = 1 ( x + 2) ,即 x - 2 y + 2 = 0 .
2
2 4
由圆 O 与直线 AP 相切,得 r = ,所以圆 O 的方程为 x2 + y 2 = .
5 5
(2)易知,圆 O 的方程为 x2 + y 2 = 3 .
①当 PQ ^ x 轴时, k × k
= -k
2 = - 3 ,所以 k = ± 3 ,
OP OQ OP 4
OP 2
此时得直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 2 2 .
②当 PQ 与 x 轴不垂直时,设直线 PQ 的方程为 y = kx + b ,P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ( x1 x2 ¹ 0) ,
首先由 k × k
= - 3 ,得 3x x
+ 4 y y
= 0 ,
OP OQ 4
1 2 1 2
2 2
即 3x1 x2 + 4 (kx1 + b) (kx2 + b) = 0 ,所以 (3 + 4k
) x1 x2 + 4kb ( x1 + x2 ) + 4b
= 0 (*)
ì y = kx + b
ï
联立 í x2
ï
y 2
+ = 1
,消去 x,得 (3 + 4k 2 ) x2 + 8kbx + 4b2 - 12 = 0 ,在 D > 0 时
î 4 3
8kb
4b 2 -12
)式,得 2b2 = 4k 2
3 + 4k 2
代入(*
3 + 4k 2
x1 + x2 = -
, x1 x2 =
+ 3 .
由于圆心 O 到直线 PQ 的距离为 d =
b
,
k 2 + 1
所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 l = 2 4 - d 2 =
8 + 2
k 2 + 1
,故当 k = 0 时,l 有最大值
为 10 .
综上,因为 10 > 2 2 ,所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长的最大值为 10 .
21 答案及解析:
答案:(1)由题意,函数 f ( x) 的定义域为 (0, +¥) ,则导数为 f '( x) = 1 - ax - b x
由 f (1) = 0 ,得 b = 1 - a ,
∴ f '( x) = 1 - ax + a - 1 = -(ax + 1)( x - 1)
x x
①若 a ³ 0 ,由 f '( x) = 0 ,得 x = 1 .
当 0 < x < 1时, f '( x) > 0 ,此时 f ( x) 单调递增; 当 x > 1 时, f '( x) < 0 ,此时 f ( x) 单调递减.
所以 x = 1 是 f ( x) 的极大值点
②若 a < 0 ,由 f '( x) = 0 ,得 x = 1 ,或 x = - 1 .
a
因为 x = 1 是 f ( x) 的极大值点,所以 - 1 > 1 ,解得 -1 < a < 0
a
综合①②:a 的取值范围是 a > -1
(2)因为方程 2mf ( x) = x 2 有唯一实数解,所以 x2 - 2m ln x - 2mx = 0 有唯一实数解
2 x2 - 2mx - 2m
设 g ( x) = x 2 - 2m ln x - 2mx ,则 g '( x) = ,
x
令 g '( x) = 0 ,即 x2 - mx - m = 0 .
m -
因为 m > 0 , x > 0 ,所以 x1 =
m2 + 4m
2
m +
< 0 (舍去), x2 =
m2 + 4m
2
当 x Î (0, x2 ) 时, g '( x) < 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减,
当 x Î (x2 , +¥) 时, g '( x) > 0 , g ( x) 在 ( x2 , +¥) 单调递增 当 x = x2 时, g '( x) = 0 , g ( x) 取最小值 g ( x2 )
ï
ìg ( x ) = 0 ì x 2
则 2 ,即 2
- 2m ln x2 - 2mx2 = 0
,
í
îg '( x2 ) = 0
í 2
ïî x2
- mx2 - m = 0
所以 2m ln x2 + mx2 - m = 0 ,因为 m > 0 ,所以 2 ln x2 + x2 -1 = 0(*)
设函数 h( x) = 2 ln x + x - 1,
因为当 x > 0 时, h( x) 是增函数,所以 h( x) = 0 至多有一解
m +
因为 h(1) = 0 ,所以方程 (*) 的解为 x2 = 1 ,即
m2 + 4m
2
= 1 ,解得 m = 1
2
22 答案及解析:
ìï x =
答案:(1)由 í
3 - t
,消去参数 t 得 3x + y = 4 ,直线 l 的普通方程为 3x + y - 4 = 0 .
ïî y = 1 + 3t
2
æ p ö
由 r= 4 sin çq+ ÷ = 2 sinq+ 2 3 cosq 得, r = 2rsinq+ 2 3rcosq,
è 3 ø
即 x2 + y 2 = 2 y + 2 3x ,
∴曲线 C 的直角坐标方程是圆: ( x -
3)2 + ( y - 1)2 = 4 .
-4
(2)∵原点 O 到直线 l 的距离 d = = 2 .
( 3)2 + 12
直线 l 过圆 C 的圆心 ( 3,1) ,∴ MN
= 2r = 4 ,
所以△MON 的面积 S = 1 MN ´ d = 4 .
2
解析:
23 答案及解析:
答案:(1)当 x £ 0 时, f ( x ) = x - 3 - 2 x = (3 - x ) + 2x = x + 3 ,由 f ( x) ³ 2 ,得 x + 3 ³ 2 , 解得 x ³ -1 ,此时 -1 £ x £ 0 ;
当 0 < x < 3 时, f ( x ) = x - 3 - 2 x = (3 - x ) - 2x = 3 - 3x ,由 f ( x) ³ 2 ,得 3 - 3x ³ 2 ,
解得 x £ 1 ,此时 0 < x £ 1 ;
3 3
当 x ³ 3 时, f ( x ) = x - 3 - 2 x = ( x - 3) - 2x = -x - 3 £ -6 ,此时不等式 f ( x ) ³ 2 无解.
综上所述,不等式 f ( x ) ³ 2 的解集为 é-1, 1 ù ;
ê 3 ú
ë û
ì x + 3, x £ 0
í3
(2)由 1 可知 f ( x ) = ï - 3x, 0 < x < 3 .
ï- x - 3, x ³ 3
当 x £ 0 时, f ( x ) = x + 3 £ 3 ;当 0 < x < 3 时, f ( x ) = 3 - 3x Î (-6, 3) ;当 x ³ 3 时,
f ( x ) = -x - 3 £ -6 .
所以,函数 y = f ( x) 的最大值为 m = 3 ,则 a + b + c = 3 .
由柯西不等式可得 (1 + 1 + 1)(a2 + b2 + c2 ) ³ (a + b + c )2 ,即 3(a2 + b2 + c2 ) ³ 32 , 即 a2 + b2 + c2 ³ 3 ,当且仅当 a = b = c = 1 时,等号成立.
因此, a2 + b2 + c2 ³ 3 .