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- 2021-06-12 发布
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2019-2020学年河南省平顶山市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1.已知集合,或,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先求得,再求得
【详解】
或,,.
故选:B
【点睛】
本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算,属于基础题.
2.已知直线平面,直线平面,则下列结论一定不正确的是( )
A.相交 B.异面 C. D.
【答案】C
【解析】根据线面垂直的概念,判断与不平行.
【详解】
由平面的垂线的定义可知,在平面内肯定不存在与直线平行的直线.
故选:C
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的知识,属于基础题.
3.已知函数则( )
A.3 B. C. D.
【答案】A
【解析】根据分段函数解析式,先求得的值,再求得的值.
【详解】
由题可知.
故选:A
【点睛】
本小题主要考查分段函数求函数值,属于基础题.
4.已知,,直线.若点到直线的距离等于点到直线的距离,则( )
A.或6 B. C.0 D.0或
【答案】D
【解析】利用点到直线的距离公式列方程,解方程求得的值.
【详解】
由题可知,解得或.
故选:D
【点睛】
本小题主要考查点到直线的距离公式,属于基础题.
5.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据偶次方根的被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式,解不等式求得函数的定义域.
【详解】
要使函数有意义,需使,即,解得.所以函数的定义域为.
故选:D
【点睛】
本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法,属于基础题.
6.已知,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用“分段法”结合对数函数的单调性、指数运算,比较出三者的大小关系.
【详解】
由题意,根据对数函数的单调性可得,即,故,又,所以.
故选:B
【点睛】
本小题主要考查指数式、对数式比较大小,属于基础题.
7.已知且,则函数与的大致图象是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】首先判断出
,根据指数型函数的单调性、对数型函数的单调性,由此判断出正确选项.
【详解】
由于且,所以.当时,函数单调递增,函数与函数的图象关于轴对称,当时,函数调递减,函数与函数的图象关于轴对称,结合选项可知选C.
故选:C
【点睛】
本小题主要考查函数图象的识别,考查指数型、对数型函数的单调性,属于基础题.
8.如果圆上所有点到原点的距离都不小于3,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设是圆上任意一点,利用到原点的距离不小于列不等式,解不等式求得的取值范围.
【详解】
圆的圆心为,半径.设圆心到原点的距离为,则.设圆上任一点为,可知,由题意可知,解得或(舍去),故实数的取值范围是.
故选:B
【点睛】
本小题主要考查点和圆的位置关系,属于基础题.
9.若函数在上为增函数,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据分段函数在
上递增,结合二次函数、一次函数的单调性列不等式组,解不等式组求得的取值范围.
【详解】
在上为增函数,,解得.∴实数的取值范围是.
故选:C
【点睛】
本小题主要考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围,属于基础题.
10.有一个棱长为,悬空放置的正方体框架,将一个圆气球放在框架内,再向气球内充气,当圆气球恰好与框架12条棱均相切时,如果不计气球的厚度,则气球内气体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据球恰好与正方体框架12条棱均相切,计算出球的半径,进而计算出求得体积.
【详解】
设球心为,正方体上底面中心为,上底面一边的中点为,在中,,,则,即气球的半径.
故选:A
【点睛】
本小题主要考查几何体与球体的位置关系,考查球的体积计算,属于基础题.
11.知函数是上的减函数,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将分成三种情况,结合分段函数的解析式,求得的解析式,由此确定正确选项.
【详解】
①当时,,由单调性可知,此时;
②当时,,此时;
③当时,,由单调性可知,此时.
综上,可知.
故选:D
【点睛】
本小题主要考查复合函数解析式的求法,考查分段函数的性质,属于基础题.
12.已知函数是定义在上的奇函数,对任意的都有,当时,,则( )
A.1 B.2 C. D.
【答案】A
【解析】首先根据求得的周期,由此化简,利用为奇函数,以及时的解析式,求得的值,由此求得的值.
【详解】
函数满足对任意的都有,则,所以,.由函数是定义在上的奇函数,知.当时,,则
,则,故.
故选:A
【点睛】
本小题主要考查函数的周期性、奇偶性,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.
二、填空题
13.函数(且)的图象恒过定点的坐标为______.
【答案】(5,0)
【解析】根据,求得图象所过定点.
【详解】
令,解得,所以函数(且)的图象恒过定点的坐标为(5,0)
故答案为:
【点睛】
本小题主要考查对数型函数过定点问题,属于基础题.
14.扇形的圆心角为90°,半径,则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为___________.
【答案】
【解析】根据旋转体的概念判断出旋转所得几何体为半球,由此求得半球的表面积.
【详解】
由已知可得,以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球,半球的半径为故半球的表面积为.
故答案为:
【点睛】
本小题主要考查旋转体的结构判断,考查半球表面积有关计算,属于基础题.
15.《九章算术》卷第五——商功中记载有几何体“方亭”,一“方亭”的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是全等的等腰梯形.则其侧棱与底面所成的角为_______.
【答案】60°
【解析】画出“方亭”的对角面,根据线面角的定义,判断出侧棱与底面所成的角,解三角形求出这个角.
【详解】
由三视图可知“方亭”实质为上下底面均为正方形的棱台,上底面边长为1,下底面边长为3,高为.画出“方亭”的对角面,如图所示,为上底为,下底为的等腰梯形,过点分别作,,易知底面,所以是侧棱与底面所成的角.,又,所以,所以,所以侧棱与底面所成的角为60°.
故答案为:
【点睛】
本小题主要考查棱台侧棱与底面所成角的计算,考查中国古代数学文化,属于基础题.
16.已知圆的圆心在轴上,若直线与圆相切于点,则圆的标准方程为___.
【答案】
【解析】设出圆心的坐标,判断出在直线上,将的坐标代入直线方程,求得的值为.根据圆心和切点的连线与直线垂直列方程,由此求得的值,利用两点间的距离公式求得圆的半径,进而求得圆的标准方程.
【详解】
设圆的圆心坐标为.直线与圆相切于点,显然点在该直线上,即,解得.又圆心和切点的连线与直线垂直,所以,解得.根据两点间的距离公式,可得圆的半径.故圆的标准方程为.
故答案为:
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查圆的标准方程的求法,考查圆的几何性质,属于基础题.
三、解答题
17.计算:(Ⅰ);
(Ⅱ).
【答案】(Ⅰ)-2(Ⅱ)-8
【解析】(I)利用指数运算,化简求得表达式的值.
(II)利用对数运算,化简求得表达式的值.
【详解】
(Ⅰ)
.
(Ⅱ)
.
【点睛】
本小题主要考查指数运算和对数运算,属于基础题.
18.已知三点,,.
(Ⅰ)求线段的中垂线方程;
(Ⅱ)求线段的中点到直线的距离.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】(I)首先求得线段的斜率,由此求得中垂线的斜率,然后求得线段中点的坐标,由此求得中垂线的方程.
(II)求得直线的方程,求得线段中点的坐标,根据点到直线的距离公式,求得线段的中点到直线的距离.
【详解】
(Ⅰ)由题得,
所以线段的中垂线斜率.
又线段的中点坐标为,
所以线段的中垂线方程为,即.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得直线的方程为,即.
线段的中点为,
所以线段的中点到直线的距离为.
【点睛】
本小题主要考查直线方程的求法,考查点到直线的距离公式,考查中点坐标公式,属于基础题.
19.已知幂函数为偶函数,且在区间上单调递增.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)设函数,若对任意恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】(I)根据幂函数的奇偶性和在区间上的单调性,求得的值,进而求得的解析式.
(II)先求得的解析式,由不等式分离常数得到,结合函数在区间上的单调性,求得的取值范围.
【详解】
(Ⅰ)∵幂函数为偶函数,且在区间上单调递增,
,且为偶数.
又,解得,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知.
当时,由得.
易知函数在上单调递减,
.
∴实数的取值范围是.
【点睛】
本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性,考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略,属于中档题.
20.为保障城市蔬菜供应,某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入2万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜.根据以往的经验,发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与大棚投入分别满足,.设甲大棚的投入为,每年两个大棚的总收入为.(投入与收入的单位均为万元)
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)试问:如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使年总收人最大?并求最大年总收入.
【答案】(Ⅰ)39万元(Ⅱ)甲大棚投入18万元,乙大棚投入2万元时,最大年总收入为44.5万元.
【解析】(I)根据题意求得的表达式,由此求得的值.
(II)求得的定义域,利用换元法,结合二次函数的性质,求得的最大值,以及甲、乙两个大棚的投入.
【详解】
(Ⅰ)由题意知,
所以(万元).
(Ⅱ)依题意得.
故.
令,则,,
显然在上单调递增,
所以当,即时,取得最大值,.
所以当甲大棚投入18万元,乙大棚投入2万元时,年总收入最大,且最大年总收入为44.5万元.
【点睛】
本小题主要考查函数在实际生活中的应用,考查含有根式的函数的最值的求法,属于中档题.
21.如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面平面,,,,.
(Ⅰ)设分别为的中点,求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
【解析】(I)连接,利用平行四边形的性质,结合三角形的中位线,证得,由此证得平面.
(II)取棱的中点,连接,根据等腰三角形的性质证得,根据面面垂直的性质定理证得平面,由此证得,再由证得平面.
(III)连接,结合(II)中证得的平面,判断出为直线与平面所成的角,解三角形求得线面角的正弦值.
【详解】
(Ⅰ)如图,连接.
易知,.
又由,
可知.
因为平面,平面,
所以平面.
(Ⅱ)如图,取棱的中点,连接.
依题意,得,
又因为平面平面,平面平面,
所以平面,又平面,
故.
又因为,,
所以平面.
(Ⅲ)如图,连接.
由(Ⅱ)中平面,可知为直线与平面所成的角.
因为,,且为中点,
所以.
又,在中,,
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明,考查线面垂直的证明,考查线面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.
22.已知函数其中.
(Ⅰ)当时,求函数的零点个数;
(Ⅱ)当函数的零点恰有3个时,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)零点3个. (Ⅱ)
【解析】(I)当时,由,结合分段函数解析式,求得函数的零点,由此判断出的零点的个数.
(II)令,解得(根据分段函数解析式可知,故舍去.)或.结合分段函数解析式,求得的根,结合分段函数
的分段点,求得的取值范围.
【详解】
(Ⅰ)当时,
令,得,
则或.
解,得或,
解,得或(舍).
所以当时,函数的零点为,,10,共3个.
(Ⅱ)令,得或.
由题易知恒成立.
所以必须有3个实根,即和共有3个根.
①解,得或(舍),故有1个根.
②解,得或,
要使得两根都满足题意,则有.
又,所以.
所以实数的取值范围为.
【点睛】
本小题主要考查分段函数零点个数的判断,考查根据函数零点个数求参数的取值范围,属于中档题.