【数学】2020届一轮复习人教B版高考中的三角函数与解三角形问题学案 10页

高考专题突破三　高考中的三角函数与解三角形问题 题型一　三角函数的图象和性质 例1已知函数f(x)＝5sinxcosx－5cos2x＋(其中x∈R)，求：‎ ‎(1)函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)函数f(x)的单调区间；‎ ‎(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．‎ 解　(1)因为f(x)＝sin2x－(1＋cos2x)＋ ‎＝5＝5sin，‎ 所以函数的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．‎ 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为 (k∈Z)．‎ ‎(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，‎ 得x＝＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．‎ 由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．‎ 思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解．‎ 跟踪训练1(2018·“七彩阳光联盟”期初联考)已知f(x)＝2cos2x＋sin2x－＋1(x∈R)，求：‎ ‎(1)f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的值域．‎ 解　由题意得f(x)＝sin2x＋(2cos2x－1)＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin＋1.‎ ‎(1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)∵x∈，∴2x＋∈，‎ ‎∴sin∈，∴f(x)∈[0,3]．‎ 故f(x)的值域为[0,3]．‎ 题型二　解三角形 例2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.‎ ‎(1)求角A和边长c；‎ ‎(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．‎ 解　(1)∵sinA＋cosA＝0，‎ ‎∴tanA＝－，‎ 又00，所以b＝3.‎ ‎1．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.‎ ‎(1)求sinC的值；‎ ‎(2)若a＝7，求△ABC的面积．‎ 解　(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，‎ 所以由正弦定理得 sinC＝＝×＝.‎ ‎(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得 ‎72＝b2＋32－2b×3×，‎ 解得b＝8或b＝－5(舍去)．‎ 所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×3×＝6.‎ ‎2．(2018·温州适应性测试)已知函数f(x)＝4cosx·cos＋1.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ 解　(1)f＝4coscos＋1‎ ‎＝4coscos＋1‎ ‎＝4××＋1＝－2.‎ ‎(2)f(x)＝4cosxcos＋1‎ ‎＝4cosx＋1‎ ‎＝－2cos2x－sin2x＋1‎ ‎＝－sin2x－cos2x ‎＝－2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期为π，‎ 当＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，‎ 即＋kπ≤x≤＋kπ，(k∈Z)时，f(x)单调递增，‎ 即f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎3．(2018·浙江省金华市名校第二次统练)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，S为△ABC的面积，且2S＝c2.‎ ‎(1)证明：＋＝；‎ ‎(2)若＝，求tanB.‎ ‎(1)证明　根据三角形的面积公式及2S＝c2得，‎ absinC＝c2，‎ ‎∴根据正弦定理得，sinAsinB＝sinC.‎ 又在△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ ‎∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，‎ ‎∴sinAsinB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，‎ 两边同时除以sinAsinB，得＋＝1.①‎ 根据正弦定理＝＝，‎ 得sinA＝，sinB＝，代入①化简得，‎ ＋＝.‎ ‎(2)解　由＝，得c2－a2＝bc－b2，根据余弦定理得，cosA＝＝，‎ 又A∈(0，π)，∴sinA＝，‎ 又由(1)知sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，‎ ‎∴sinB＝cosB＋sinB，‎ 故tanB＝.‎ ‎4．(2018·浙江省六校协作体期末联考)已知f(x)＝cosx·sin＋1.‎ ‎(1)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间；‎ ‎(2)在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(B)＝，sinAsinC＝sin2B，求a－c的值．‎ 解　f(x)＝cosxsin＋1‎ ‎＝cosx＋1‎ ‎＝sin2x－×＋1‎ ‎＝sin2x－cos2x＋ ‎＝sin＋.‎ ‎(1)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 又x∈[0，π]，‎ ‎∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间是和.‎ ‎(2)由f(B)＝sin＋＝，‎ 得sin＝1.‎ 又B是△ABC的内角，∴2B－＝，B＝，‎ 由sinAsinC＝sin2B及正弦定理可得ac＝b2.‎ 在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，‎ 得ac＝(a－c)2＋2ac－ac，则a－c＝0.‎ ‎5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋asinC－b－c＝0.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若AD为BC边上的中线，cosB＝，AD＝，求△ABC的面积．‎ 解　(1)acosC＋asinC－b－c＝0，‎ 由正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC＝sinB＋sinC，‎ 即sinAcosC＋sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC，‎ 亦即sinAcosC＋sinAsinC ‎＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinC，‎ 则sinAsinC－cosAsinC＝sinC.‎ 又sinC≠0，所以sinA－cosA＝1，所以sin(A－30°)＝.‎ 在△ABC中，0°0)，‎ 则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB，‎ 即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，‎ 解得x＝1(负值舍去)，所以a＝7，c＝5，‎ 故S△ABC＝acsinB＝10.‎ ‎6．已知函数f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＋t(ω>0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点(0,0)．‎ ‎(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间；‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若函数F(x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．‎ 解　(1)f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＋t ‎＝2sin＋t，‎ f(x)的最小正周期为＝，∴ω＝2，‎ ‎∵f(x)的图象过点(0,0)，‎ ‎∴2sin＋t＝0，‎ ‎∴t＝－1，即f(x)＝2sin－1.‎ 令2kπ－≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 求得－≤x≤＋，k∈Z，‎ 故f(x)的单调增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得 y＝2sin－1＝2sin－1的图象，‎ 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin－1的图象．‎ ‎∵x∈，∴2x－∈，‎ ‎∴sin∈，‎ 故g(x)＝2sin－1在区间上的值域为.‎ 若函数F(x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，‎ 由题意可知，函数g(x)＝2sin－1的图象和直线y＝－k有且只有一个交点，‎ 根据图象(图略)可知，k＝－1或1－