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- 2021-06-12 发布
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1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tanα.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知识点一 同角三角函数基本关系式
1.平方关系:sin2α+cos2α=1,其等价形式为:sin2α=1-cos2α,cos2α=________.
2.商数关系:__________,其等价形式为:sinα=____________,cosα=.
答案
1.1-sin2α 2.=tanα cosαtanα
1.已知cosα=,且α是第四象限角,则sinα的值为________.
解析:由于α是第四象限角,故sinα=-=-.
答案:-
2.已知=-5,那么tanα的值为________.
解析:由=-5,知cosα≠0,分子分母同时除以cosα可得=-5,解得tanα=-.
答案:-
3.(2016·新课标全国卷Ⅲ)若tanα=,则cos2α+2sin2α=( )
A. B.
C.1 D.
解析:通性通法:由tanα==,cos2α+sin2α=1,得或则sin2α=2sinαcosα=,则cos2α+2sin2α=+=.
光速解法:cos2α+2sin2α====.
答案:A
知识点二 六组诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α
(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sinα
______
-sinα
sinα
______
cosα
余弦
cosα
-cosα
______
-cosα
sinα
______
正切
tanα
tanα
-tanα
______
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
答案
-sinα cosα cosα -sinα -tanα
4.计算sin-cos+tan=________.
解析:原式=sin-cos-tan=sin-cos-tan=-sin+cos-=-+1.
答案:-+1
5.已知tanα=,π<α<π,则cosα-sinα=________.
解析:∵tanα=,π<α<π,∴α=π,∴cosα-sinα=cosπ-sinπ=-cos+sin=-+=.
答案:
热点一 同角三角函数基本关系式的应用
考向1 运用公式直接求值
【例1】 (1)若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα的值等于( )
A. B.-
C. D.-
(2)sin21°+sin22°+…+sin289°=________.
【解析】 (1)因为α为第四象限的角,
故cosα===,
所以tanα===-.选D.
(2)原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+=1+1+1+…+ +=44.故填44.
【答案】 (1)D (2)44
考向2 关于sinα,cosα的齐次式问题
【例2】 若tanα=-,则=________,sin2α+2sinαcosα=________.
【解析】 =
==.
sin2α+2sinαcosα=
===-.
【答案】 -
【总结反思】
同角三角函数关系式的应用技巧
(1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可以实现角α的弦切互化.
(2)关系式的逆用及变形用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
(3)sinα,cosα的齐次式的应用:分式中分子与分母是关于sinα,cosα的齐次式,或含有sin2α,cos2α及sinαcosα的式子求值时,可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin2α+cos2α=1”代换后转化为“切”后求解.
(1)已知cosα=k,k∈R,α∈,则sin(π+α)=( )
A.- B.
C.± D.-k
(2)已知sinα+cosα=,则tanα=( )
A. B.
C.- D.-
解析:(1)由cosα=k,α∈,得sinα=,所以sin(π+α)=-sinα=-,故选A.
(2)因为sinα+cosα=,
所以(sinα+cosα)2=3.
所以sin2α+2sinαcosα+2cos2α=3.
所以=3.
所以=3.
所以2tan2α-2tanα+1=0.所以tanα=.
答案:(1)A (2)A
热点二 诱导公式的应用
考向1 利用诱导公式求值
【例3】 (1)已知sin=,那么cosα=( )
A.- B.-
C. D.
(2)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是( )
A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}
C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}
【解析】 (1)sin=sin=cosα=.
(2)当k为偶数时,A=+=2;
k为奇数时,A=-=-2.
【答案】 (1)C (2)C
考向2 巧用“角”间关系求值
【例4】 (1)已知sin=,则cos=
________.
(2)已知tan=,则tan=________.
【解析】 (1)∵+=,
∴cos=cos
=sin=.
(2)∵+=π,
∴tan=-tan
=-tan=-.
【答案】 (1) (2)-
【总结反思】
1.诱导公式用法的一般思路
(1)化大角为小角.
(2)角中含有加减的整数倍时,用公式去掉的整数倍.
2.常见的互余和互补的角
(1)常见的互余的角:-α与+α;+α与-α;+α与-α等.
(2)常见的互补的角:+θ与-θ;+θ与-θ等.
(1)计算:=________.
(2)已知cos=,则cos的值为________.
解析:(1)原式==-1.
(2)cos=cos
=-cos=-,即cos=-.
答案:(1)-1 (2)-
热点三 sinα±cosα与sinαcosα的关系
【例5】 已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=.
(1)求tanα的值;
(2)把用tanα表示出来,并求其值.
【解】 (1)解法1:联立方程
由①得cosα=-sinα,
将其代入②,整理得25sin2α-5sinα-12=0.
∵α是三角形内角,
∴∴tanα=-.
解法2:∵sinα+cosα=,
∴(sinα+cosα)2=2,即1+2sinαcosα=,
∴2sinαcosα=-,
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+=.
∵sinαcosα=-<0且0<α<π,
∴sinα>0,cosα<0,sinα-cosα>0.
∴sinα-cosα=.
由得
∴tanα=-.
(2)=
==.
∵tanα=-,∴=
==-.
【总结反思】
求解此类问题的关键是:通过平方关系,对称式sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα之间可建立联系,若令sinα+cosα=t,则sinαcosα=,sinα-cosα=±(注意根据α的范围选取正、负号),这种关系在三角函数式的化简、求值、证明中十分有用.
已知-0,sinx-cosx<0,故sinx-cosx=-.
答案:-
“asinθ+bcosθ=m”型化简、求值方法
已知asinθ+bcosθ=m(其中a,b,m为常数),求sinθ,cosθ,tanθ等值时,有如下思路:
(1)若a=1,b=±1,则利用以下三个关系式:(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2,可得asinθ-bcosθ的值,然后解方程组得结论.
(2)直接解方程组得结论.
(3)构造“对偶式”bsinθ-acosθ=x,两式平方并相加求得x,然后解方程组得结论.
(4)把等式平方,逆用cos2θ+sin2θ=1,化为cosθ,sinθ的齐次式,利用“弦化切”,得tanθ,再求sinθ,cosθ.
【例】 已知3sinα+4cosα=5,求tanα.
【解】 解法1:由题意得3sinα=5-4cosα,两边平方,得9sin2α=25-40cosα+16cos2α,则25cos2α-40cosα+16=0,解得cosα=,则sinα=,故tanα=.
解法2:把等式两边平方,整理得9sin2α+24sinαcosα+16cos2α
=25(sin2α+cos2α),两边同时除以cos2α,整理得16tan2α-24tanα+9=0,解得tanα=.
解法3:设4sinα-3cosα=x,则x2+25=(4sinα-3cosα)2+(3sinα+4cosα)2=25,从而有x=0,则tanα=.
解法4:因为3sinα+4cosα=5sin(α+φ),其中cosφ=,sinφ=,所以sin(α+φ)=1,则α+φ=2kπ+(k∈Z),则sinα=sin=cosφ=,cosα=cos=sinφ=,故tanα=.