2018-2019学年福建省莆田第八中学高二上学期期末考试数学（文）试题 Word版 7页

‎2018-2019学年福建省莆田第八中学高二上学期期末考试数学(文) ‎ 命题：胡云贵 审题：高二备课组 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．设命题p：∀x∈R，x2＋1>0 ，则┐p为(　　)‎ A．∃x0∈R，x＋1>0　　 B．∃x0∈R，x＋1≤0‎ C．∃x0∈R，x＋1<0 D．∀x∈R， x2＋1≤0 ‎ ‎2．对∀k∈R，则方程x2＋ky2＝1所表示的曲线不可能是(　　)‎ A．两条直线 B．圆 ‎ C．椭圆或双曲线 D．抛物线 ‎3．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±4y＝0，则a的值为(　　)‎ A．4 B．3 ‎ C．2 D．1‎ ‎4．以双曲线－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎5．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．函数f(x)＝x2＋2x f'(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为(　　)‎ A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)＜f(1)‎ C．f(－1)＞f(1) D．无法确定 ‎7．已知命题p：∀x∈R, 2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．p∧q ‎ C．p∧q D．p∧q ‎8．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为3，则线段AB的长度为(　　)‎ A．6 B．8‎ C．10 D．12‎ ‎9.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)‎ ‎ ‎ ‎10．若直线y＝2x与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(　　)‎ A．(1， ] B．[，＋∞)‎ C．(1，) D．(，＋∞)‎ ‎11．若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎12．对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是(　　)‎ A．－1是f(x)的零点 B．1是f(x)的极值点 C．3是f(x)的极值 D．点(2,8)在曲线y＝f(x)上 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是____________________‎ ‎14．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．‎ ‎15．曲线f(x)＝(x＞0)在点(1,f(1))处的切线方程为________________．‎ ‎16．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足PF1⊥PF2，则 的值为________．‎ 三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)设条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若┐p是┐q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．(本小题满分12分)斜率为2的直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为，求l的方程．‎ ‎19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.‎ ‎(1)若f(x)在x＝3处取得极值，求常数a的值；‎ ‎(2)在(1)的条件下求函数f(x)的极值．‎ ‎20．(本小题满分12分)已知抛物线E：x2＝2py(p>0)，直线y＝kx＋2与E交于A，B两点，且·＝2，其中O为原点．‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)点C坐标为(0，－2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：k＋k－2k2为定值．‎ ‎21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值．‎ ‎(1)求实数c的取值范围；‎ ‎(2)若f(x)在x＝2处取得极值，且当x＜0时，f(x)＜d2＋2d恒成立，求实数d的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎22.(本小题满分12分)如图，已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)已知点E(3,0)，设点P，Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求·的取值范围．‎ ‎参考答案 BDADA CBBBD DA 若x≤－1或x≥1，则x2≥1 [3,8) 3x＋y－5＝0 2‎ ‎17解　命题p：A＝，命题q：B＝{x|a≤x≤a＋1}．‎ ‎∵┐p是┐q的必要不充分条件，‎ ‎∴q是p的必要不充分条件，即A⫋B.‎ ‎∴a＋1≥1且a≤，∴0≤a≤.‎ ‎18解：设直线l的方程为y＝2x＋m，‎ 由 得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)‎ 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，‎ 得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．‎ ‎∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2‎ ‎＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]‎ ‎＝5.‎ ‎∵|AB|＝，∴m2－6(m2＋2)＝6.‎ ‎∴m2＝15，m＝±.‎ 由(*)式得Δ＝24m2－240，‎ 把m＝±代入上式，得Δ>0，‎ ‎∴m的值为±，‎ ‎∴所求l的方程为y＝2x±.‎ ‎19解：(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a．‎ 因为f(x)在x＝3处取得极值，‎ 所以f′(3)＝0，解得a＝3.‎ 经检验知，当a＝3时，x＝3为f(x)的极值点．‎ ‎(2)x=1时，有极大值16，x＝3时，有极小值8 ‎ ‎20解：(1)将y＝kx＋2代入x2＝2py，‎ 得x2－2pkx－4p＝0，‎ 其中Δ＝4p2k2＋16p>0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－4p.‎ ·＝x1x2＋y1y2‎ ‎＝x1x2＋·＝－4p＋4.‎ 由已知，－4p＋4＝2，p＝，‎ 所以抛物线E的方程为x2＝y.‎ ‎(2)证明：由(1)知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2.‎ k1＝＝＝＝x1－x2，‎ 同理k2＝x2－x1，‎ 所以k＋k－2k2＝2(x1－x2)2－2(x1＋x2)2‎ ‎＝－8x1x2＝16.‎ ‎21解：(1)∵f(x)＝x3－x2＋cx＋d，‎ ‎∴f′(x)＝x2－x＋c，‎ 要使f(x)有极值，则方程f′(x)＝x2－x＋c＝0有两个不相等的实数解，‎ 从而Δ＝1－4c＞0，∴c＜.‎ 即实数c的取值范围为.‎ ‎(2)∵f(x)在x＝2处取得极值，‎ ‎∴f′(2)＝4－2＋c＝0，∴c＝－2.‎ ‎∴f(x)＝x3－x2－2x＋d.‎ ‎∵f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)，‎ ‎∴当x∈(－∞，－1]时，f′(x)＞0，函数单调递增；‎ 当x∈(－1,2]时，f′(x)＜0，函数单调递减．‎ ‎∴x＜0时，f(x)在x＝－1处取得最大值＋d，‎ ‎∵x＜0时，f(x)＜d2＋2d恒成立，‎ ‎∴＋d＜d2＋2d，‎ 即(d＋7)(d－1)＞0，‎ ‎∴d＜－7或d＞1，‎ 即实数d的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞).‎ ‎22解：(1)由离心率e＝＝，‎ 得＝ ＝.‎ ‎∴a＝2b.①‎ ‎∵原点O到直线AB的距离为，‎ 直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0，‎ ‎∴＝.②‎ 将①代入②，得b2＝9，∴a2＝36.‎ 则椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)∵EP⊥EQ，‎ ‎∴·＝0，‎ ‎∴·＝·(－)＝2.‎ 设P(x，y)，则y2＝9－，‎ ‎∴·＝2‎ ‎＝(x－3)2＋y2‎ ‎＝x2－6x＋9＋9－ ‎＝(x－4)2＋6.‎ ‎∵－6≤x≤6，‎ ‎∴6≤(x－4)2＋6≤81.‎ 故·的取值范围为[6,81]．‎