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- 2021-06-12 发布
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数学
考试总分:150;考试时间:120分钟
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单选题
1.(本题5分)已知全集,集合2,,则
A. B.5, C.3, D.3,5,
2.(本题5分)下列说法正确的是( )
①原命题为真,它的否命题为假;
②原命题为真,它的逆命题不一定为真;
③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;
④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真.
A.①② B.②③C.③④ D.②③④
3.(本题5分)下列函数中,是同一函数的是( )
A. B.
C. D.
4.(本题5分)函数的定义域为( )
A. B. C. D.
5.(本题5分)已知则方程的根的个数为( )
A.5 B.4 C.1 D.无数多个
6.(本题5分)已知函数是定义在上偶函数,且在内是减函数,若
,则满足的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.(本题5分)若函数的定义域为,值域为,则的取值范围为( ).
A. B. C. D.
8.(本题5分)函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
9.(本题5分)下列函数中,有零点但不能用二分法求零点近似解的是( )
①y=3x2-2x+5;②③;④y=x3-2x+3;⑤y=x2+4x+8.
A.①②③ B.⑤C.①⑤ D.①④
10.(本题5分)若函数,则等于( )
A.1 B.0 C.-1 D.-2
11.(本题5分)设在可导,则等于( )
A. B. C. D.
12.(本题5分)已知函数,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
第II卷(非选择题)
二、填空题
13.(本题5分)命题“,”的否定是___________.
14.(本题5分)若两曲线与存在公切线,则正实数的取值范围是__________.
15.(本题5分)已知幂函数的图象与轴,轴均无交点且关于原点对称,则__________.
16.(本题5分)已知对一切上恒成立,则实数a的取值范围是______.
三、解答题
17.(本题10分)已知点P在曲线y=x2+1上,若曲线y=x2+1在点P处的切线与曲线y=-2x2-1相切,求点P的坐标.
18.(本题12分).
已知且方程有两个实根为
,(这里、为常数).
(1)求函数的解析式 (2)求函数的值域.
19.(本题12分)已知函数f(x)=.
(1)求f(2)+f,f(3)+f的值;
(2)求证:f(x)+f是定值;
(3)求f(2)+f+f(3)+f+…++f的值.
20.(本题12分)已知奇函数的定义域为.
(1)求实数,的值;
(2)判断函数的单调性,若实数满足,求的取值范围.
21.(本题12分)已知函数
(1)当时,求曲线在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围。
22.(本题12分)如果函数在其定义域内存在实数,使得成立,则称函数为“可拆分函数”.
(1)试判断函数是否为“可拆分函数”?并说明理由;
(2)证明:函数为“可拆分函数”;
(3)设函数为“可拆分函数”,求实数的取值范围.
理数答案
1. B 2.B 3.D 4.D 5.B 6.D
7.C 8.B 9.B 10.A. 11.A 12.B
13. 14.
15.2. 16.
17.解析:设点P(x0,y0),易知曲线y=x2+1在点P处的切线的斜率存在,设为k,==2x0+Δx,当Δx→0时,→2x0,即k=2x0,所以切线方程为y-y0=2x0(x-x0),即y=2x0x+1-x,由题意知此直线与曲线y=-2x2-1相切.
由,
得2x2+2x0x+2-x=0,令Δ=4x-8(2-x)=0,解得x0=±,此时y0=,
所以点P的坐标为或.
18.解:(1)依已知条件可知方程即为 因为是上述方程的解,所以 ………………6分
解得所以函数的解析式为 ………………7分
(2)因为, ………………10分
当,当且仅当时取等号,所以 当,当且仅当时取等号,所以
∴函数. ………………14分
19.(1)∵f(x)=,
∴f(2)+f=+=1,
f(3)+f=+=1.
(2)证明:f(x)+f=+=+==1.
(3)由(2)知f(x)+f=1,
∴f(2)+f=1,f(3)+f=1,
f(4)+f=1,…,f(2 018)+=1.
∴f(2)+f+f(3)+f+…+f(2 018)+=2 017
20.(1)∵f(x)是奇函数,
∴,
即,
∴,
∴,
整理得
∴a﹣1=0,
解得:a=1,
故﹣a﹣2=﹣3,
∵函数的定义域为[﹣a﹣2,b],关于原点对称,
故b=3;
(2)函数f(x)在[﹣3,3]递增,
证明如下:设x1,x2 [﹣3,3],且x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=﹣=,
∵﹣3≤x1<x2≤3,
∴﹣<0,
又+1>0, +1>0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在[﹣3,3]单调递增;
(3)由(1)得f(x)在[﹣3,3]递增,
又f(m﹣1)<f(1﹣2m),
∴,
解得:﹣1≤m<,
∴实数m的取值范围[﹣1,).
21.解(1):,,则切线方程为y=x.
(2),只需,分离参数,令在[1,2]减函数,的最小值为=,即.
22.(1)假设是“可分拆函数”,则存在,使得
即 ,而此方程的判别式 ,方程无实数解,
所以,不是“可分拆函数”.
(2)令,
则,
又 故,
所以在上有实数解,也即存在实数,使得
成立,
所以 是“可分拆函数”.
(3)因为函数为“可分拆函数”,
所以存在实数,使得=+,
=且 ,所以 ,
,则 ,所以 ,
由得 ,即的取值范围是 .