数学卷·2018届陕西省宝鸡市渭滨区高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版） 17页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）‎ ‎1．抛物线y2=6x的焦点到准线的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．无穷数列1，3，6，10…的通项公式为（　　）‎ A．an= B．an= C．an=n2﹣n+1 D．an=n2+n+1‎ ‎3．设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（　　）‎ A． B．a2＞ab C． D．‎ ‎4．双曲线x2﹣y2=﹣2的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎5．已知数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2017=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在△ABC中，a=1，b=，A=30°，则角C=（　　）‎ A．60° B．30°或90° C．30° D．60°或120°‎ ‎7．已知点M（x，y）满足，若ax+y的最大值为1，则a的值为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．3‎ ‎8．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5‎ ‎9．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎10．设F1、F2分别为双曲线﹣=1的左右焦点，M是双曲线的右支上一点，则△MF1F2的内切圆圆心的横坐标为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎11．双曲线﹣=1的渐近线方程是　　．‎ ‎12．若，，则=　　．‎ ‎13．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最小内角的余弦值等于　　．‎ ‎14．已知a＞0，b＞0且a+b=2，则的最小值为　　．‎ ‎15．已知数列{an}中，a1=1且=+1（n∈N*），则an=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分40分）‎ ‎16．（8分）已知椭圆+y2=1，直线m与椭圆交于A、B两点，线段AB的中点为M（1，），求直线m的方程．‎ ‎17．（8分）已知△ABC的三角A，B，C成等差数列，三边a，b，c成等比数列．‎ ‎（1）求角B的度数．‎ ‎（2）若△ABC的面积S=，求边b的长．‎ ‎18．（8分）已知等差数列{an}中，a3=9，a8=29．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式；‎ ‎（2）记数列{}的前n项和为Tn，求Tn的值．‎ ‎19．（8分）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若p∧q为假命题，p∨‎ q为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎20．（8分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，AP=AB=2，F是PB的中点，E是BC上的动点．‎ ‎（1）证明：PE⊥AF；‎ ‎（2）若BC=2BE=4，求直线AP与平面PDE所成角的大小．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）‎ ‎1．抛物线y2=6x的焦点到准线的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线的方程求得焦点坐标及准线方程，即可求得焦点到准线的距离．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=6x焦点坐标为（，0），‎ 准线方程为：x=﹣，‎ ‎∴焦点到准线的距离﹣（﹣）=3，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的方程及性质的简单应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．无穷数列1，3，6，10…的通项公式为（　　）‎ A．an= B．an= C．an=n2﹣n+1 D．an=n2+n+1‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】仔细观察数列1，3，6，10…，便可发现其中的规律：第n项应该为1+2+3+4+…+n=，便可求出数列的通项公式 ‎【解答】解：仔细观察数列1，3，6，10，可以发现：‎ ‎1=1 ‎ ‎3=1+2 ‎ ‎6=1+2+3 ‎ ‎10=1+2+3+4 ‎ ‎…‎ ‎∴第n项为1+2+3+4+…+n=，‎ ‎∴数列1，3，6，10，15…的通项公式为an==‎ 故选：A ‎【点评】本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（　　）‎ A． B．a2＞ab C． D．‎ ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可得到答案．‎ ‎【解答】解：对于A：当a＞0＞b，不成立．‎ 对于B：当b＜a＜0时，不成立．‎ 对于C：∵a，b是非零实数，a＞b，当a＞0＞b，恒成立，当b＜a＜0时，ab＞0，则﹣ab＜0，0＞，∴，当0＜b＜a 时，a2＞b2，ab＞0，＞0，∴．则C对．‎ 对于D：当a=1，b=﹣时不成立，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的基本性质的变形运用能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．双曲线x2﹣y2=﹣2的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的标准方程，求出a，c的值即可得到结论．‎ ‎【解答】解：双曲线的标准方程是，‎ 则a2=2，b2=2，则c2=2+2=4，‎ 即a=，c=2，‎ 则离心率e==，‎ 故选：A ‎【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出a，c的值是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．已知数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2017=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】数列{an}满足an+1=，a1=，可得an+3=an．即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足an+1=，a1=，‎ ‎∴a2=2a1﹣1=，a3=2a2﹣1=，a4=2a3=，…，‎ ‎∴an+3=an．‎ 则a2017=a672×3+1=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，a=1，b=，A=30°，则角C=（　　）‎ A．60° B．30°或90° C．30° D．60°或120°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用正弦定理可得sinB=，结合B的范围可求B的值，进而利用三角形内角和定理可求C的值．‎ ‎【解答】解：∵a=1，b=，A=30°，‎ ‎∴由正弦定理可得：sinB===，‎ ‎∵b＞a，可得：B∈（30°，180°），‎ ‎∴可得：B=60°，或120°，‎ ‎∴C=180°﹣A﹣B=90°或30°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．已知点M（x，y）满足，若ax+y的最大值为1，则a的值为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值 ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 则A（1，0），B（3，4），C（1，2）‎ 若z=ax+y过A时取得最大值为1，则a=1，‎ 此时，目标函数为z=x+y，‎ 即y=﹣x+z，‎ 平移直线y=﹣x+z，当直线经过B（3，4）时，‎ 此时z最大为1，故不满足条件，‎ 若z=ax+y过B时取得最大值为1，则3a+4=1，解得a=﹣1，‎ 此时，目标函数为z=﹣x+y，‎ 即y=x+z，‎ 平移直线y=x+z，当直线经过C（1，2）时，截距最大，此时z最大为3，不满足条件，‎ 若z=ax+y过C时取得最大值为1，则a+2=1，解得a=﹣1，‎ 此时，目标函数为z=﹣x+y，‎ 即y=x+z，‎ 平移直线y=x+z，当直线经过C（1，2）时，截距最大，此时z最大为1，不满足条件，‎ 故a=﹣1；‎ 故选：A ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．‎ ‎【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a≥x2，恒成立 即只需a≥（x2）max=4，即“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，‎ 而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．‎ 故选C ‎【点评】本题为找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题．‎ ‎　‎ ‎9．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】根据题意，易得k+，2﹣的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），‎ ‎2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．‎ ‎∵两向量垂直，‎ ‎∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．‎ ‎∴k=，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．‎ ‎　‎ ‎10．设F1、F2分别为双曲线﹣=1的左右焦点，M是双曲线的右支上一点，则△MF1F2的内切圆圆心的横坐标为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的性质，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=6，转化为|HF1|﹣|HF2|=6，从而求得点H的横坐标．‎ ‎【解答】解：如图所示：F1（﹣5，0）、F2（5，0），‎ 设内切圆与x轴的切点是点H，PF1、PF2与内切圆的切点分别为M、N，‎ ‎∵由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=8，‎ 由圆的切线长定理知，|PM|=|PN|，故|MF1|﹣|NF2 |=8，‎ 即|HF1|﹣|HF2|=8，‎ 设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，‎ 故 （x+5）﹣（5﹣x）=8，‎ ‎∴x=4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想，正确运用双曲线的定义是关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎11．双曲线﹣=1的渐近线方程是　y=±x　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．‎ ‎【解答】解：∵双曲线方程为﹣=1的，则渐近线方程为线﹣=0，即y=±，‎ 故答案为y=±．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程．‎ ‎　‎ ‎12．若，，则=　3　．‎ ‎【考点】空间向量的概念．‎ ‎【分析】本题直接根据空间向量的坐标运算（即对应坐标想加减）和模的公式（即坐标的平方和的算术平方根）进行计算即可 ‎【解答】解：∵ =（1，0，2），=（0，1，2）‎ ‎∴﹣2=（1，﹣2，﹣2）‎ ‎∴=3‎ ‎【点评】本题主要考查了空间向量的概念及基本运算，属于基础题 ‎　‎ ‎13．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最小内角的余弦值等于　　．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，进而可用b表示a，c，可求A为三角形的最小内角，代入余弦定理化简即可得解．‎ ‎【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，‎ ‎∴由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，‎ ‎∴a=，c=，A为三角形的最小内角，‎ ‎∴由余弦定理可得cosA===．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查正余弦定理的应用，用b表示a，c是解决问题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．已知a＞0，b＞0且a+b=2，则的最小值为　2　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a＞0，b＞0且a+b=2，则===2，当且仅当a=b=1时取等号 ‎．因此其最小值为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．已知数列{an}中，a1=1且=+1（n∈N*），则an=　　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由数列递推式可知数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，由此求得数列{an}的通项公式，则答案可求．‎ ‎【解答】解：由=+1（n∈N*），得 ‎﹣=1（n∈N*），‎ 因为a1=1，‎ 所以=1，‎ 所以数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，‎ 所以=1+（n﹣1）×1=n，‎ 所以an=．‎ 故答案是：．‎ ‎【点评】本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分40分）‎ ‎16．已知椭圆+y2=1，直线m与椭圆交于A、B两点，线段AB的中点为M（1，），求直线m的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设出A，B的坐标，代入椭圆方程，利用“点差法”求得AB所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．‎ ‎【解答】解：由题：，设直线m与椭圆的两个交点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 代入椭圆方程的得：．‎ 两式相减得：，‎ 另由中点坐标公式：x1+x2=2，y1+y2=1，‎ 则：‎ 所以直线m方程为：y﹣=﹣（x﹣1），即x+2y﹣2=0‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，训练了“中点弦”问题的求解方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎17．已知△ABC的三角A，B，C成等差数列，三边a，b，c成等比数列．‎ ‎（1）求角B的度数．‎ ‎（2）若△ABC的面积S=，求边b的长．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）由△ABC的三角A，B，C成等差数列，2B=A+C，又A+B+C=180°，即可得出．‎ ‎（2）由三边a，b，c成等比数列．可得b2=ac，利用余弦定理可得：cos60°=，可得a=c．再利用等边三角形的面积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC的三角A，B，C成等差数列，∴2B=A+‎ C，又A+B+C=180°，∴B=60°．‎ ‎ （2）∵三边a，b，c成等比数列．∴b2=ac，‎ 由余弦定理可得：cos60°=，∴ =，化为a=c．‎ ‎∴△ABC是等边三角形．‎ ‎∴△ABC的面积S==×b2，解得b=2．‎ ‎【点评】本题考查了余弦定理、三角形内角和定理、三角函数求值、等边三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．已知等差数列{an}中，a3=9，a8=29．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式；‎ ‎（2）记数列{}的前n项和为Tn，求Tn的值．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式．‎ ‎（2）此利用裂项求和法能求出Tn的值 ‎【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a3=9，a8=29，‎ ‎∴，‎ 解得a1=1，d=4，‎ ‎∴an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3．‎ Sn=n+×4=2n2﹣n．‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别求出命题p、q为真命题时m的范围，根据复合命题真值表可得命题p，q命题一真一假，分p真q假和p假q真求出m的范围，再求并集．‎ ‎【解答】解：∵方程表示焦点在x轴上的双曲线，‎ ‎∴⇒m＞2‎ 若p为真时：m＞2，‎ ‎∵曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，‎ 则△=（2m﹣3）2﹣4＞0⇒m＞或m，‎ 若q真得：或，‎ 由复合命题真值表得：若p∧q为假命题，p∨q为真命题，p，q命题一真一假 ‎ 若p真q假：； ‎ 若p假q真：‎ ‎∴实数m的取值范围为：或．‎ ‎【点评】本题借助考查复合命题的真假判定，考查了双曲线的标准方程，关键是求得命题为真时的等价条件．‎ ‎　‎ ‎20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，AP=AB=2，F是PB的中点，E是BC上的动点．‎ ‎（1）证明：PE⊥AF；‎ ‎（2）若BC=2BE=4，求直线AP与平面PDE所成角的大小．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系．设BE=a，证明：，即可证明PE⊥AF；‎ ‎（2）求出平面PDE的法向量，即可求直线AP与平面PDE所成角的大小．‎ ‎【解答】（1）证明：建立如图所示空间直角坐标系．设BE=a 则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），E（a，2，0）‎ 于是，，，‎ 则，所以AF⊥PE．‎ ‎（2）解：由，得，，，‎ ‎=（2，2，﹣2）设平面PDE的法向量为=（x，y，z），‎ 由，得：，令x=1，则，‎ 于是，而，‎ 设AP与平面PDE所成角为θ，所以，‎ 所以AP与平面PDE所成角θ为60°．‎ ‎【点评】本题考查向量知识的运用，考查线线垂直，考查线面角，正确求出平面的法向量是关键．‎ ‎　‎