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- 2021-06-12 发布
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2.4 积化和差与和差化积公式
(15 分钟 30 分)
1.求值:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80 °=( )
A. B. C. D.1
【解析】选 C.sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°
=2sin 30°cos(-10°)+sin 60°-sin 80°
=2× ×sin 80°+ -sin 80°= .
【补偿训练】
cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°的值为_______.
【解析】原式=cos 40°+cos 80°+cos 60°-cos 20°
=2cos cos +cos60°-cos20°
=2cos60°·cos +cos60°-cos20°=cos60°= .
答案:
2.在△ABC 中 sin C= ,则此三角形的形状是( )
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选 C.因为 C=π-(A+B),
所以 sin C=sin(A+B)= ,
所以 2sin cos = ,
所以 2cos2 =1,即 cos(A+B)=0,
所以 A+B= ,所以 C= .
故此三角形为直角三角形.
3.函数 y=sin cos x 的最大值为( )
A. B. C.1 D.
【解析】选 B.因为 y=sin cos x
=
= = sin - ,
所以 ymax= - = .
4.函数 y=cos x+cos 的最大值是_______.
【解析】y=2cos cos = cos ,
所以 ymax= .
答案:
5.已知 sin α+sin β= ,cos α+cos β= ,求 tan 的值.
【解析】由 sin α+sin β= ,cos α+cos β= 得,
2sin cos = ,
2cos cos = ,
两式相除得 tan = ,
则 tan = = = .
(30 分钟 60 分)
一、单选题(每小题 5 分,共 20 分)
1.若 sin α+sin β= (cos β-cos α)且α∈(0,π),β∈(0,π),
则α-β等于( )
A.- π B.- C. D. π
【解析】选 D. 因为α,β∈(0,π),
所以 sin α+sin β>0.
所以 cos β-cos α>0,cos β>cos α,
又在(0,π)上,y=cos x 是减函数.
所以β<α,所以 0<α-β<π,由原式可知 2sin ·
cos = ,
所以 tan = ,所以 = ,
所以α-β= .
2.在△ABC 中,若 B=45°,则 cos Asin C 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】选 B.在△ABC 中 B=45°,
所以 cos Asin C=
= = - sin ,
因为-1≤sin ≤1,
所以 ≤cos Asin C≤ .
3.函数 f(x)=sin cos 是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为 2π的非奇非偶函数
D.最小正周期为π的非奇非偶函数
【解析】选 D.f(x)=
= = sin + ,
所以 T= =π,f(x)为非奇非偶函数.
【补偿训练】
已知函数 f(x)=g(x)cos ,若函数 f(x)是周期为π的偶函
数,则 g(x)可以是( )
A.cos x B.sin x
C.cos D.sin
【 解 析 】 选 D. 当 g(x)=cos x 时 ,f(x)=cos
xcos = cos + ,
此时 f(x)是非奇非偶函数,周期为π;
当 g(x)=sin x 时,f(x)=sin xcos =
sin - ,
此时 f(x)是非奇非偶函数,周期为π;
当 g(x)=cos 时,
f(x)=cos cos =- sin 2x+ ,此时 f(x)是非奇非偶函数,
周期为π;
当 g(x)=sin 时,
f(x)=sin cos
= sin = cos 2x,
此时 f(x)是偶函数,周期为π.
4.(2020·长沙高二检测)在△ABC 中, sin A+sin Bsin C 的最大值为
( )
A. + B.2
C. D.
【解析】选 B. sin A+sin Bsin C= sin A+
≤ sin A+ = sin A+ cos A+ ≤ + =2,
当且仅当 sin B=sin C= ,sin A= 时,等号成立,因此 sin A+sin
Bsin C 的最大值为 2.
【误区警示】注意三角形中三角之间的关系,要充分利用这一关系实现
多变角转化为一变角形式.
二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3
分,有选错的得 0 分)
5.设函数 f(x)=sin +cos ,则( )
A.y=f(x)的最小值为- ,其周期为π
B.y=f(x)的最小值为-2,其周期为
C.y=f(x)在 单调递增,其图象关于直线 x= 对称
D.y=f(x)在 单调递减,其图象关于直线 x= 对称
【解析】选 AD.f(x)= sin
= sin = cos 2x,
所以 y=f(x)在 内单调递减,周期为π,
又 f = cos π=- 是最小值,
所以函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称.
6.满足 sin 3x=cos x 的 x 的值是( )
A. B. C. D.
【解析】选 AB.由题意可得 sin 3x-sin =0,由和差化积公式可得
2cos sin =0,
则方程的根满足: =kπ或 =kπ+ ,
整理可得 x= π+ 或 x=kπ+ ,
即方程的根为 或 .
【光速解题】将选项 A,B,C,D 依次代入条件等式中进行检验即可.
三、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
7.已知 A+B= ,那么 1+ (cos 2A+cos 2B)的最大值是_______,最小值
是_______.
【解题指南】利用和差化积公式进行化简的方法首先化简所求式子,然
后根据已知角及角对应三角函数值的范围求解.
【解析】因为 A+B= ,所以 1+ (cos 2A+cos 2B)
=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+cos cos(A-B)
=1- cos(A-B),所以当 cos(A-B)=-1 时,
原式取得最大值 ;
当 cos(A-B)=1 时,原式取得最小值 .
答案:
8.(2020·温州高一检测)函数 y=sin -sinx 的值
域是_______.
【解析】y=sin -sin x=2cos ·sin =cos .
因为 x∈ ,所以 x+ ∈ .
故 y∈ .
答案:
四、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.求下列各式的值:
(1)cos +cos -2sin cos ;
(2)sin 138°-cos 12°+sin 54°.
【解析】(1)cos +cos -2sin cos
=2cos ·cos - cos
=2cos cos - cos
= cos - cos =0.
(2)sin 138°-cos 12°+sin 54°
=sin 42°-cos 12°+sin 54°
=sin 42°-sin 78°+sin 54°
=-2cos 60°sin 18°+sin 54°
=sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18°
= =
= = = .
10.已知A,B,C是△ABC的三个内角,y=tan + ,若任意交换两
个角的位置,y 的值是否变化?并证明你的结论.
【解析】不变.因为 A,B,C 是△ABC 的三个内角,
所以 A+B+C=π, = - .
所以 y=tan +
=tan +
=tan +tan +tan .
因此,任意交换两个角的位置,y 的值不变.
形 如 的 符 号 叫 二 阶 行 列 式 , 现 规 定
=a11a22-a21a12, 如 果
f(θ)= = ,0<θ<π,求θ的值.
【解析】因为 = ,
所以 f(θ)= =cos θsin -sin θcos
= cos θ- sin θ=sin = ,
因为- < -θ< ,
所以 -θ= ,所以θ= .
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