2018-2019学年河北省邯郸市高一下学期期中考试数学试题（解析版） 13页

‎2018-2019学年河北省邯郸市高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用诱导公式和特殊角的三角函数计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式和特殊角的三角函数的应用，属于简单题.‎ ‎2．已知向量，，若，则（ ）‎ A．1 B．-1 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用两个向量平行的条件计算即可.‎ ‎【详解】‎ 向量，，若，‎ 得，解得，‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.‎ ‎3．给定圆，下列说法正确的是（ ）‎ A．圆心是，半径为1‎ B．圆心是，半径为1‎ C．圆心是，半径为5‎ D．圆心是，半径为5‎ ‎【答案】A ‎【解析】将圆的一般方程化为标准方程后可直接得到答案.‎ ‎【详解】‎ 将圆的一般方程化为标准方程为，可得圆心，半径为1，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由圆的一般方程得圆心和半径问题，属于简单题.‎ ‎4．化简（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用向量的加减法运算法则可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的加减法运算法则的应用，属于简单题.‎ ‎5．已知，那么角是（ ）‎ A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 ‎【答案】B ‎【解析】根据三角函数在各个象限的符号进行判断即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由，得与异号，‎ 则角是第二或第三象限角，‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 角的正弦，余弦，正切的正负可以用三角函数的定义或一全正，二正弦，三正切，四余弦来判断.‎ ‎6．若，则（ ）‎ A．1 B． C．0 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】已知条件由诱导公式可得，代入余弦的二倍角公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式和余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.‎ ‎7．直线被圆C:所截的弦长的最小值为（ ）‎ A． B．6 C． D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知可得动直线过定点M（-2,1），当直线与CM垂直时弦长最短，利用弦长公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 直线过定点M，当直线与CM垂直时弦长最短，‎ 圆的半径为4，圆心到定点M的距离为，所以弦长的最小值为，‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查过圆内定点得到的最短弦问题，理解圆的几何性质是关键；过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦为以该点为中点的弦.‎ ‎8．为得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ）‎ A．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度 B．横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，横坐标再缩短为原来的倍 D．向右平移个单位长度，横坐标再伸长为原来的2倍 ‎【答案】B ‎【解析】先利用诱导公式化为同名三角函数，然后利用的图像变换规律即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍得到的图象，‎ 再向右平移个单位长度得到的图象，‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式的应用，考查函数的图像变换规律，属于中档题.‎ ‎9．已知，若，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合向量的加减运算法则和平面向量基本定理整理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的线性运算，考查平面向量基本定理的应用，属于基础题.‎ ‎10．直线与圆的位置关系是（ ）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】利用圆心到直线的距离和半径比较即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 圆心到直线的距离，圆的半径为3，‎ ‎0，即直线与圆相交，‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆位置关系的判断，利用圆心到直线的距离和半径比较即可.‎ ‎11．已知为锐角，角的终边过点，，则（ ）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三角函数定义得角的三角函数值，由，利用两角差的余弦公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由角的终边过点，得，,‎ ‎.又，所以， ‎ ‎，‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎12．如图，点为内一点，且，，，则（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，知点为的重心.连接并延长，交于点，可得CO和OD的长，又，利用向量的数量积公式计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由，所以点为的重心.连接并延长，交于点.‎ 又，所以.在中，，所以.‎ ‎ ，‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积的运算，考查两个向量垂直的应用，考查推理和计算能力，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】利用两角和差公式和诱导公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和差公式和诱导公式的应用，属于简单题.‎ ‎14．在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则边上的中线的长为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】写出AB中点坐标，利用空间两点间的距离公式计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，，则中点为，所以边上的中线长为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查中点坐标公式和空间两点间距离公式的应用，属于简单题.‎ ‎15．如图，在等边三角形中，，点为的中点，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最小值是________.‎ ‎【答案】-3.‎ ‎【解析】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 以AB中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则，，,AC中点.‎ 设，则，‎ ‎.‎ ‎∵在直线上，∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴当时，的最小值为-3.‎ 故答案为：-3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算，考查向量数量积的应用，属于基础题.‎ ‎16．已知函数（，，为常数，，）的部分图象如图所示，有下列结论：‎ ‎①直线是函数的一条对称轴：‎ ‎②函数的图象关于点对称：‎ ‎③函数的周期为：‎ ‎④函数在上为减函数：‎ ‎⑤函数的最大值为2.‎ 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）‎ ‎【答案】④⑤.‎ ‎【解析】由函数图像可求出，，,然后利用的性质对选项逐一进行判断即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由图象可知，∴周期，故③不正确.‎ ‎∵，∴.由为对称中心，结合，得，‎ ‎∴.由，得，得，‎ ‎∴函数，故⑤正确.‎ 由，知①不正确.由，知②不正确.‎ 由，，得减区间为 ，正确的是④⑤.‎ 故答案为：④⑤‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图像及性质的应用，考查分析问题的能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．计算和证明：‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（Ⅱ）证明，.‎ ‎【答案】（I）1 （Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】（I）利用两角和的正切公式进行化简即可；（Ⅱ）利用切化弦化简等式左边，利用正弦和余弦的二倍角公式化简等式右边，即可得到证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）解：.‎ 所以，‎ 故 .‎ ‎（Ⅱ）证明：左侧，‎ 右侧 ‎ ‎ ‎，‎ 所以左侧=右侧，得证.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数关系式和正弦余弦二倍角公式的应用，考查三角恒等变换，属于基础题.‎ ‎18．已知平面向量，.‎ ‎（1）若，求向量与夹角的余弦值；‎ ‎（2）若，求实数的值.‎ ‎【答案】(1) .（2）.‎ ‎【解析】(1)利用向量垂直的条件求得x值，得到的坐标，然后利用向量的夹角公式计算可得答案；（2）利用向量的坐标运算进行计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，可得，解， ‎ 所以，‎ 故.‎ ‎（2），，‎ 由，得，解得或.‎ 又，故舍去，所以实数.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算，考查两个向量的夹角的计算，属于基础题.‎ ‎19．自圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，.‎ ‎（I）求的外接圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求过，两点的直线的方程.‎ ‎【答案】（I）. （Ⅱ）.‎ ‎【解析】（I）由题意得的外接圆即四边形的外接圆，且为外接圆直径，从而可得方程；（Ⅱ）的外接圆的方程与圆C的方程相减可得所求直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）设圆的圆心为，则，，故，，，四点共圆，‎ 所以的外接圆即四边形的外接圆.‎ 又圆的标准方程为，圆心为，半径为2.‎ 由，，故为的外接圆的直径，的中点为的外接圆的圆心，，‎ 所以的外接圆的方程为，即.‎ ‎（Ⅱ）由题意，知，两点既在圆上又在的外接圆上. ‎ 故两圆方程相减，得，得，所以过，两点的直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆相切的性质及圆的相交弦方程问题，属于中档题.‎ ‎20．已知向量，，，函数，且函数的最小正周期为.‎ ‎（I）求函数的单调递增区间：‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（I），.（Ⅱ），.‎ ‎【解析】（I）化简函数f(x)解析式，根据周期确定ω值，利用单调性求函数的单调增区间；（Ⅱ）利用正弦函数图像的性质可解得不等式.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）‎ ‎ .‎ 又函数的最小正周期为，所以，故，‎ 所以.‎ 令，解得，‎ 所以的单调递增区间是，.‎ ‎（Ⅱ），所以，‎ 解得，所以，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图像及性质，考查函数周期性，单调性以及二倍角公式和数量积的坐标运算，考查计算能力.‎ ‎21．已知圆，过点的直线与圆相交于不同的两点，.‎ ‎（I）判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.‎ ‎（Ⅱ）若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（I）见解析.（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】（I）当直线的斜率不存在时可得定值，当直线的斜率存在时，设直线方程，将直线方程与圆的方程联立，写出韦达定理，利用向量的数量积的坐标运算进行计算即可得到定值；（Ⅱ）利用（I）的韦达定理进行数量积的坐标运算，可得方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）当直线与轴垂直时（斜率不存在），，的坐标分别为，，‎ 此时.‎ 当直线与轴不垂直时，设的斜率为，直线的方程为.‎ 设，，‎ 联立消去得，‎ 则有，，‎ ‎.‎ 又，，‎ 所以.‎ 综上，为定值5.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎.‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查韦达定理，数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎22．如图，某游乐场有一个半径为50米的摩天轮，该摩天轮的圆心距离地面52米，摩天轮逆时针匀速转动，每转动一圈需要分钟.若游客从最低点处登上摩天轮，从摩天轮开始转动计时.‎ ‎（I）求游客与地面的距离（米）与摩天轮转动时间（分）的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）摩天轮转动一圈的过程中，游客的高度在距地面77米及以上的时间不少于4分钟，求的最小值.‎ ‎【答案】（I）（，为参数）.（Ⅱ）12.‎ ‎【解析】（I）设,根据最高点和最低点可得A和b,由周期求，再由特殊点求值，即得函数解析式；（Ⅱ）根据题意列出满足条件的不等式，即可解得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由题意可设（，，）.‎ 游客最高距地面，最低距地面，‎ 得，.‎ 又函数周期为，，‎ ‎∴ .‎ 又时，，∴，即，可取，‎ ‎∴（，为参数）.‎ ‎（Ⅱ）依题意可知，‎ 即.‎ 不妨取第一圈，可得，，‎ ‎∴持续时间为，即分钟.‎ ‎∴的最小值为12.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用三角函数的性质求解析式，以及三角函数性质的实际应用，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.‎