数学（理）卷·2018届甘肃省天水市一中高二下学期第一阶段考试（2017-03） 6页

天水一中 2015 级 2016-2017 学年度第二学期第一学段考试 数学试题（理） 一、选择题（每题 4 分，共 40 分）. 1.设 10 3 iz i   ，则 z 的共轭复数为（ ） A． 1 3i  B． 1 3i  C．1 3i D．1 3i 2.用反证法证明命题“设 ,a b 为实数，则方程 3 0x ax b   至少有一个实根”时，要做的 假设是（ ） A．方程 3 0x ax b   没有实根 B．方程 3 0x ax b   至多有一个实根 C．方程 3 0x ax b   至多有两个实根 D．方程 3 0x ax b   恰好有两个实根 3.  1 2 nx 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，则展开中各二项式系数的和为（ ） A．64 B．128 C． 83 D． 256 4. 4 名运动员参加 4*100 接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑 第四棒，则不同的出场顺序有（ ） A．12 种 B． 14 种 C. 16 种 D．24 种 5. 将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则 每所大学至少保送一人的不同保送方法有（ ） A． 240 种 B． 180 种 C. 150 种 D．540 种 6. 已知随机变量 X 服从正态分布  22,N  ，且  4 0.8P X   ，则  0 2P X   （ ） A． 0.6 B． 0.4 C. 0.3 D．0.2 7. 国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 1 1 1, ,3 4 5 ，假定三人的行动相互之间没 有影响.那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为（ ） A． 59 60 B． 3 5 C. 1 2 D． 1 60 8. 某运动员投篮命中率为 0.6，他重复投篮 5 次，若他命中一次得 10 分，没命中不得分； 命中次数为 X ，得分为Y ，则    ,E X D Y 分别为（ ） A．0.6，60 B．3，12 C. 3，120 D．3，1.2 9. 已知箱中共 6 个球，其中红球、黄球、蓝球各 2 个，每次从该箱中取 1 个球（有放回， 每球取到机会均等），共取三次.设事件 :A “第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”， 事件 :B “三次取到的球颜色都相同”，则  |P B A  （ ） A． 1 6 B． 1 3 C. 2 3 D．1 10. 一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方 法，若一个三棱锥的体积 2V  ，表面积 3S  ，则该三棱锥内切球的体积为（ ） A．81 B．16 C. 32 3  D．16 9  二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 11.若 a 为实数，且  2 2 4ai a i i    ，则 2a i  __________． 12.甲、乙两工人在一天生产中加工出的废品数分别是两个随机变量 ,  ，其分布列分别为  0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1  0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是____________． 13.一口袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球，每次从袋中任意摸出一个球，若采取不 放回抽样方式，从中摸出两个球，则摸得白球的个数 X 的方差  D X  ． 14.有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了 乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡 片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字 是 ． 三、解答题 （共 44 分） 15.已知数列 na 的前 n 项和  *1n nS na n N   . （1）计算 1 2 3 4, , ,a a a a ； （2）猜想 na 的表达式，并用数字归纳法证明你的结论. 16.（1） 5 2x x 的展开式中，求 3x 的系数； （2）已知 5ax x     的展开式中含 3 2x 的项的系数为 30，求 a 的值； （3） 512ax xx x            的展开式中各项系数的和为 2，求该展开式中的常数项. 17.某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏， 如下所示： 试根据图表中的信息解答下列问题： （1）求全班的学生人数及分数在 70,80 之间的频数； （2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于   70,80 , 80,90 和  90,100 分数段的试卷中抽取 8 份进行分析，再从中任选 3 人进行交流，求交流的学生中， 成绩位于 70,80 分数段的人数 X 的分布列和数学期望. 18. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸 出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则 不获奖. （1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； （2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X ，求 X 的分 布列和数学期望. 试卷答案 1-5: DADBC 6-10: CBCBC 11. 2 12. 乙 13. 16 45 14. 1 和 3 15. 解：（1） 1 2 3 4 1 1 1 1; ; ;2 6 12 20a a a a    ； （2）猜测：   1 1na n n   .下面用数学归纳法证明 ①当 1n  时，猜想显然成立； ②假设  *n k k N  时，猜想成立，即   1 1ka k k   ， 那么，当 1n k  时，  1 11 1k kS k a    ，即  1 11 1k k kS a k a     ，又 1 1K k kS ka k     ， 所以  1 11 11 k k k a k ak      ，从而       1 1 1 1 2 1 1 1ka k k k k         . 即 1n k  时，猜想也成立，故由①和②，可知猜想成立. 16. 解：（1）10；（2）-6；（3）40 17.解：（1）由茎叶图可知，分数在 50,60 上的频数为 4，频率为 0.008 10 0.08  ，故全 班的学生人数为 4 500.08  ， 分数在 70,80 之间的频数等于  50 4 14 8 4 20     . （2）按分层抽样原理，三个分数段抽样数之比等于相应人数之比.又   70,80 , 80,90 和  90,100 分数段人数之比等于 5：2：1，由此可得抽出的样本中分数在 70,80 之间的有 5 人，分数在 80,90 之间的有 2 人，分数在 90,100 之间的有 1 人. 从中任取 3 人，共有 2 8 56C  种不同的结果. 被抽中的成绩位于 70,80 分数段的学生人数 X 的可能取值为 0，1，2，3.对应的概率分别 是：       2 1 2 2 1 3 5 3 5 31 15 30 150 , 1 , 256 56 56 56 56 56 28 C C C C CP X P X P X          ，   2 5 10 53 56 56 28 CP X     ， ∴ X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 56 15 56 15 28 5 28 ∴ X 的数学期望为   1 15 15 5 105 150 1 2 356 56 28 28 56 8E X           . 18.解：（1）记事件  1 1A  从甲箱中摸出的 个球是红球 ，  2A  从乙箱中摸出的1个球是红球 ，  1 1B  顾客抽奖 次获一等奖 ，  2 1B  顾客抽奖 次获二等奖 ，  1C  顾客抽奖 次能获奖 ， 由题意， 1A 与 2A 相互独立， 1 2A A 与 1 2A A 互斥， 1B 与 2B 互斥，且 1 1 2B A A ， 2 1 2 1 2B A A A A  ， 1 2C B B  . 因为    1 2 4 2 5 1,10 5 10 2P A P A    ，所以        1 1 2 1 2 2 1 1 5 2 5P B P A A P A P A     ，                2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A               1 2 1 2 2 1 2 1 11 1 1 15 2 5 2 2P A P A P A P A                     . 故所求概率为        1 2 1 2 1 1 7 5 2 10P C P B B P B P B       . (2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验,由（1）知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 1 5 ， 所以 13, 5X B     . 于是     0 3 1 2 0 1 3 3 1 4 64 1 4 480 , 15 5 125 5 5 125P X C P X C                           ，     2 1 3 0 2 3 3 3 1 4 12 1 4 12 , 35 5 125 5 5 125P X C P X C                           . 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 X 的数学期望为   1 33 5 5E X    .