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- 2021-06-12 发布
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2.1.2 演绎推理
1.理解演绎推理的意义. 2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.
3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.
1.演绎推理
含义
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理
特点
由一般到特殊的推理
2.三段论
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理,对特殊情况
做出的判断
S是P
1.演绎推理的特点
(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实.
(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.
2.为了方便,在运用“三段论”推理时,常常采用省略大前提的表达方式.对于复杂的论证,总是采用一连串的“三段论”,把前一个“三段论”的结论作为下一个“三段论”的前提.
3.“三段论”推理的结论正确与否,取决于两个前提以及推理形式是否正确.在大前提、小前提及推理形式都正确的情况下,得到的结论一定正确.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“三段论”就是演绎推理.( )
(2)演绎推理的结论一定是正确的.( )
(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.( )
(4)演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”这种推理属于( )
A.演绎推理 B.类比推理
C.合情推理 D.归纳推理
解析:选A.“所有金属都能导电”及“铁是金属”均为前提条件,得出“铁能导电”的结论,满足演绎推理的定义.
“因为四边形ABCD是矩形,所以四边形ABCD的对角线相等”,该推理的大前提是( )
A.矩形都是四边形
B.四边形的对角线都相等
C.矩形的对角线相等
D.对角线都相等的四边形是矩形
解析:选C.该推理是省略大前提的演绎推理,因为相关的内容是“矩形”“对角线相等”,所以易得该推理的大前提是矩形的对角线相等.
正弦函数是奇函数,f(x)=sin x2是正弦函数,所以f(x)=sin x2是奇函数,以上“三段论”中的 是错误的.
答案:小前提
探究点1 用三段论的形式表示演绎推理
将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B是等腰三角形的底角,则∠A=∠B.
(2)通项公式为an=2n+3的数列{an}为等差数列.
【解】 (1)等腰三角形的两底角相等, 大前提
∠A,∠B是等腰三角形的底角, 小前提
∠A=∠B. 结论
(2)数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为常数,则{an}为等差数列, 大前提
通项公式为an=2n+3时,若n≥2,
则an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常数),
小前提
通项公式为an=2n+3的数列{an}为等差数列. 结论
将演绎推理写成三段论的方法
(1)用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提.
(2)用三段论写推理过程中,有时可省略小前提,有时甚至也可将大前提与小前提都省略.
(3)在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
1.“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理( )
A.小前提错 B.结论错
C.正确 D.大前提错
解析:选C.在上述推理中,大前提、小前提都是正确的,推理的形式也符合三段论模式,因此结论也是正确的,这个推理是正确的.
2.将下列演绎推理写成“三段论”的形式:
(1)一切偶数都能被2整除,0是偶数,所以0能被2整除;
(2)三角形的内角和是180°,等边三角形是三角形,故等边三角形的内角和是180°;
(3)循环小数是有理数,0.332·,是循环小数,所以0.332·,是有理数.
解:(1)一切偶数都能被2整除, 大前提
0是偶数, 小前提
所以0能被2整除. 结论
(2)三角形的内角和是180°, 大前提
等边三角形是三角形, 小前提
故等边三角形的内角和是180°. 结论
(3)循环小数是有理数, 大前提
0.332·,是循环小数, 小前提
所以0.332·,是有理数. 结论
探究点2 演绎推理在证明代数中的应用
已知函数f(x)=ax+(a>1),求证:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
【证明】 如果在(-1,+∞)上f′(x)>0,
那么函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数,大前提
因为a>1,
所以f′(x)=axln a+>0,小前提
所以函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.结论
(1)数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理,即一连串的三段论,关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提,注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.
(2)在代数证明问题中,尤其是不等关系的证明,首先找到论证不等关系的一般性原理(如基本不等式等),这是大前提,然后利用“三段论”进行推理.此时应注意不等式性质及定理成立的条件.
在锐角三角形ABC中,求证sin A+sin B+sin C >cos A+cos B+cos C.
证明:因为在锐角三角形中, A+B>,所以A>-B,
所以0<-B<A<.又因为在内,正弦函数是单调递增函数,所以sin A>sin=cos B,即sin A>cos B,① 同理,sin B>cos C,② sin C>cos A.③
以上①②③两端分别相加,有sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.
探究点3 演绎推理在证明几何中的应用
如图,D,E,F分别是△ABC中BC,CA,AB边上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:ED=AF,写出三段论形式的演绎推理.
【证明】 因为同位角相等,两条直线平行, 大前提
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A, 小前提
所以FD∥AE. 结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,
大前提
DE∥BA,且FD∥AE, 小前提
所以四边形AFDE为平行四边形. 结论
因为平行四边形的对边相等, 大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边, 小前提
所以ED=AF. 结论
若本例中增加条件“∠C=∠A”,证明:∠BFD=∠BDF.
证明:因为同位角相等,两直线平行, 大前提
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A, 小前提
所以FD∥AE. 结论
因为两直线平行,同位角相等, 大前提
FD∥AE,且∠BDF与∠C是同位角, 小前提
所以∠BDF=∠C. 结论
又因为∠C=∠A,∠BFD=∠A 小前提
所以∠BFD=∠BDF. 结论
用三段论证明几何问题的一般步骤
(1)理清楚证明命题的一般思路.
(2)找出每一个结论得出的原因.
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.
即在几何证明问题中,每一步实际都含着一般性原理,
都可以分析出大前提和小前提.把一般性原理应用于特殊情况,从而得到结论.
在梯形ABCD中,AB=DC=DA,AC和BD是梯形的对角线.求证:CA平分∠BCD,BD平分∠ABC.
证明:如图,
因为等腰三角形两底角相等, 大前提
△ADC是等腰三角形,∠1和∠2是两个底角,
小前提
所以∠1=∠2. 结论
因为两条平行线被第三条直线截得的内错角相等,
大前提
∠1和∠3是平行线AD,BC被AC截得的内错角,
小前提
所以∠1=∠3. 结论
因为等于同一个角的两个角相等, 大前提
∠2=∠1,∠3=∠1, 小前提
所以∠2=∠3,即CA平分∠BCD. 结论
同理可证BD平分∠ABC.
————————————————————————————————————————————————
1.命题“有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( )
A.使用了“三段论”,但大前提错误
B.使用了“三段论”,但小前提错误
C.使用了归纳推理
D.使用了类比推理
解析:选A.大前提是全称命题,而小前提是特称命题.因此命题的推理过程是“由一般到特殊”,是演绎推理,且是“三段论”的形式.
有理数包括有限小数,无限循环小数,以及整数,所以命题中大前提是错误的,从而导致推理错误.
2.下列四种推理是合情推理的是( )
①已知两条直线平行同旁内角互补,如果α和β是两条平行直线被第三条直线截得的同旁内角,那么α+β=180°;
②由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质;
③数列{an}中,由an=2n-1(n∈N*)推出a10=19;
④由数列1,0,1,0,…,推测出通项公式an=+(-1)n+1·(n∈N*).
A.①② B.②④
C.②③ D.③④
解析:选B.①③是由一般到特殊的推理,是演绎推理;
②是由特殊(平面三角形的性质)到特殊(空间四面体的性质)的推理,是类比推理;
④是由数列前几项猜测通项an,是由个别到一般的推理,是归纳推理.
故②④是合情推理.
3.下列三句话按“三段论”模式排列顺序为 W.
①y=cos x(x∈R)是三角函数;
②三角函数是周期函数;
③y=cos x(x∈R)是周期函数.
答案:②①③
4.已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1-an}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
解:(1)证明:因为an+2=3an+1-2an,
所以an+2-an+1=2an+1-2an=2(an+1-an),
所以=2(n∈N*)
而a2-a1=2.
所以数列{an+1-an}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)得an+1-an=2n(n∈N*).
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n∈N*).
知识结构
深化拓展
[A 基础达标]
1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.两条直线平行,同位角相等,因为∠A和∠B是两条平行直线被同一条直线所截形成的同位角,所以∠A=∠B
B.我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似,而中亚细亚有丰富的石油,由此,他推断松辽地区也蕴藏着丰富的石油
C.由6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=7+7,…,得出结论:一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和
D.在数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),由此归纳出数列{an}的通项公式
解析:选A.A中,由一般结论“两条直线平行,同位角相等”推出特例“∠A=∠B”是演绎推理;B、C、D中,均是由特殊到一般或特殊的推理,是合情推理.
2.“对于三条直线a,b,c,可由a∥b,a∥c推得b∥c”,则以下说法正确的是( )
A.三条直线a,b,c是大前提
B.a∥b是大前提
C.a∥b,a∥c是小前提
D.以上说法都不正确
解析:选C.推理的大前提是:若两条直线都平行于第三条直线,则这两条直线平行;小前提是:三条直线a,b,c,a∥b,a∥c;结论是:b∥c.
3.“三角函数是周期函数,y=tan x,x∈是三角函数,所以y=tan x,x∈是周期函数.”在以上演绎推理中,下列说法正确的是( )
A.推理完全正确
B.大前提不正确
C.小前提不正确
D.推理形式不正确
解析:选C.y=tan x,x∈只是三角函数的一部分,并不能代表一般的三角函数,所以小前提错误,导致整个推理结论错误.
4.(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
解析:选D.依题意,四人中有2位优秀,2位良好,由于甲知道乙、丙的成绩,但还是不知道自己的成绩,则乙、丙必有1位优秀,1位良好,甲、丁必有1位优秀,1位良好,因此,乙知道丙的成绩后,必然知道自己的成绩;丁知道甲的成绩后,必然知道自己的成绩,因此选择D.
5.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式d≈ ,人们还用过一些类似的近似公式,根据π=3.141 59…判断,下列近似公式中最精确的一个是( )
A.d≈ B.d≈
C.d≈ D.d≈
解析:选D.由V=π,解得d= ①,①代入选项A得π≈=3.1;①代入选项B得π≈=3;①代入选项C得π≈=3.2;①代入选项D得π≈=3.142 857.由于选项D中的值最接近π的真实值,故选D.
6.求函数y=的定义域时,第一步推理中大前提是有意义,即a≥0,小前提是有意义,结论是 .
解析:由三段论的形式可知,结论是log2x-2≥0.
答案:log2x-2≥0
7.以下推理过程省略的大前提为: .
因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab.
解析:由小前提和结论可知,是在小前提的两边同时加上了a2+b2,故大前提为:若a≥b,则a+c≥b+c.
答案:若a≥b,则a+c≥b+c
8.已知函数f(x)=a-,若f(x)为奇函数,则a= .
解析:因为奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)=0,而奇函数f(x)=a-的定义域为R,所以f(0)=a-=0,所以a=.
答案:
9.把下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)一切奇数都不能被2整除,(22 017+1)是奇数,所以(22 017+1)不能被2整除.
(2)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形.
解:(1)一切奇数都不能被2整除,大前提
22 017+1是奇数,小前提
22 017+1不能被2整除.结论
(2)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形,大前提
△ABC三边的长依次为3,4,5,
且32+42=52,小前提
△ABC是直角三角形.结论
10.在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.
(1)证明:数列{an-n}是等比数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解:(1)证明:因为an+1=4an-3n+1,
所以an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*.
又a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列.
(2)由第一问可知an-n=4n-1,
所以an=4n-1+n.
所以数列{an}的前n项和Sn=+.
[B 能力提升]
11.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
解析:选B.若袋中有两个球,则红球、黑球各一个,若红球放在甲盒,则黑球放在乙盒,丙盒中没有球,此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球,乙盒中黑球比丙盒中红球多,故可排除A、D;若袋中有四个球,则红球、黑球各两个,若取出两个红球,则一个放在甲盒,另一个放在乙盒,再取出余下的两个黑球,一个放在甲盒,一个放在丙盒,所以甲盒中一红一黑,乙盒中一个红球,丙盒中一个黑球,此时乙盒中红球比丙盒中红球多,排除C.
12.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛,有两人获奖.比赛结果揭晓之前,四个人作了如下猜测:
甲:两名获奖者在乙、丙、丁中;
乙:我没有获奖,丙获奖了;
丙:甲、丁中有且只有一个获奖;
丁:乙说得对.
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两个获奖者是 W.
解析:若乙和丁的猜测同时正确,则甲和丙的猜测是错误的,可得乙没有获奖,丙获奖,则甲和丁中有一个获奖,这与“丙的猜测是错误的”相矛盾;因此乙和丁的猜测同时错误,甲和丙的猜测同时正确,故乙和丁获奖.
答案:乙和丁
13.如图所示,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,D、E是垂足,求证:
(1)△ABD是直角三角形;
(2)AB的中点M到D、E的距离相等.
证明:(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, 大前提
又因为在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°,
小前提
所以△ABD是直角三角形. 结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
大前提
而M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线, 小前提
所以DM=AB. 结论
同理,EM=AB.
因为等于同一个量的两个量相等, 大前提
又因为DM=AB,EM=AB 小前提
所以DM=EM,即M到D、E的距离相等. 结论
14.(选做题)已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b.当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.
(1)求证:|c|≤1;
(2)当-1≤x≤1时,求证:-2≤g(x)≤2.
证明:(1)因为x=0满足-1≤x≤1的条件,
所以|f(0)|≤1.
而f(0)=c,
所以|c|≤1.
(2)当a>0时,g(x)在[-1,1]上是增函数,
所以g(-1)≤g(x)≤g(1).
又g(1)=a+b=f(1)-c,
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c,
所以-f(-1)+c≤g(x)≤f(1)-c,
又-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,-1≤c≤1,
所以-f(-1)+c≥-2,f(1)-c≤2,
所以-2≤g(x)≤2.
当a<0时,可用类似的方法,
证得-2≤g(x)≤2.
当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,
g(x)=f(1)-c,所以-2≤g(x)≤2.
综上所述,-2≤g(x)≤2.