四川省成都市树德中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题 21页

高2017级高三上期10月阶段性测试数学试题（理科）‎ 一、选择题 ‎1.若（为虚数单位），则对应点位于（ ）.‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第二象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数，再计算，确定象限.‎ ‎【详解】‎ 对应点位于第四象限 故答案为D ‎【点睛】本题考查了复数的化简和共轭复数，属于基础题型.‎ ‎2.已知，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算集合A，再计算 ‎【详解】‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题型.‎ ‎3.为奇函数，为奇函数，则（ ）.‎ A. B. 1 C. 0 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数性质有，代入函数得到答案.‎ ‎【详解】为奇函数，‎ 为奇函数 故 ‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查了奇函数的性质，利用奇函数性质得到可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎4.给出下列命题：‎ ‎①“若或，则”的否命题；‎ ‎②“，”的否定；‎ ‎③“菱形的两条对角线相互垂直”的逆命题.其中正确命题有（ ）个.‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项的正误，得到答案.‎ ‎【详解】①“若或，则”的否命题为：若且，则，正确 ‎②“，”的否定为：，”，时成立，正确 ‎③“菱形的两条对角线相互垂直”的逆命题为：对角线相互垂直的四边形为菱形，错误 故答案选C ‎【点睛】本题考查了命题的否定，否命题，逆命题，意在考查学生的综合知识能力.‎ ‎5.已知，为第二象限角，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，计算 ，，利用二倍角公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 为第二象限角， ，‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，没有考虑函数值的正负是容易发生的错误.‎ ‎6.已知，，，夹角，且与垂直，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，再利用垂直关系得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】，，，夹角，则 ‎ 与垂直 ‎ ‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 执行程序框图， ，第一次循环， ，第二次循环， ，第三次循环， ，第四次循环， ，第五次循环， 结束循环，输出故选A.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎8.展开式中常数项为（ ）.‎ A. 11 B. C. 8 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 将看成一个整体，得到，再展开得到 ‎，分别取值得到答案.‎ ‎【详解】将看成一个整体，展开得到：‎ ‎ ‎ 的展开式为：‎ 取 ‎ 当时， 系数为： ‎ 当时， 系数为： ‎ 常数项为 ‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了二项式定理，将看成整体展开，再用一次二项式展开是解题的关键，计算较为复杂.‎ ‎9.一个几何体三视图如图：（每个小正方形边长为1），则该几何体体积为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三视图还原为立体图像，再把图像分为四棱锥和三棱柱，体积相加得到答案.‎ ‎【详解】如图所示，根据三视图还原立体图形：‎ 将体积分为左右两部分四棱锥和三棱柱体积相加：‎ ‎ ‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了三视图和体积的计算，其中将体积分为两部分体积相加是解题的关键，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎10.中，，，，则（ ）.‎ A. 2 B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到 ，‎ ‎【详解】，‎ 得到 ‎ ‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的灵活运用和计算能力.‎ ‎11.，若，则的范围（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎ ‎ 设，判断为奇函数，为增函数，代入利用函数性质解得答案.‎ ‎【详解】设，则 ‎，为奇函数 易知：，，为增函数，故为增函数 即 即 故解得 ‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，其中构造函数是解题的关键，忽略掉定义域是容易发生的错误.‎ 二、填空题 ‎12.已知，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，利用直线的平移得到最值.‎ ‎【详解】表示的图像如图所示：‎ 根据图像知：当时，有最小值为 故答案为 ‎【点睛】本题考查了线性规划，求线性目标函数的最值:‎ 当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，值最小；‎ 当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.‎ ‎13.、为：左右焦点，，且，，则的离心率______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 中，根据边关系得到，，化简计算得到答案.‎ ‎【详解】在中，‎ 得到 ‎ ‎ ‎ 故 ‎【点睛】本题考查了离心率的计算，找到的数量关系是解题的关键.‎ ‎14.如图圆锥高为2，侧面积为，为顶点，为底面中心，，在底面圆周上，为中点，，则到面的距离为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用侧面积计算，再利用体积法得到，代入数据计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：为中点，连接 ‎ 圆锥高为2，侧面积为 即 ‎ 为中点，为中点，，故 ‎ 又，所以平面，故 ‎ 故为等边三角形.‎ ‎ ‎ 在中：，边上的高 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了点到平面的距离，利用体积法可以简化运算，是解题的关键，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎15.设，，，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到 ，代入式子，设 ，求导，根据函数的单调性求最大值.‎ ‎【详解】‎ 设，，，故 ‎ ‎ ，或（舍去）即，‎ 将代入式子得到 设，则 当时，函数单调递减 当时，函数单调递增 故 故答案为 ‎【点睛】本题考查了函数最值，其中通过换元法可以简化运算，通过导数的正负判断函数的单调性求最值，是解题的关键.‎ 三、解答题 ‎16.为等腰直角三角形，，，，分别为、中点，将沿折起，使到达点，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的正切值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据勾股定理得到，得到面，得到证明.‎ ‎（2）过作且交于，判断为平两角，在 中，利用边角关系得到 ‎【详解】（1）中：，，，，.‎ 又，相交于点 ‎ 面，面..‎ ‎（2）过作交于 ‎，，‎ 面，.‎ 为平两角.‎ 中，，中，，，.‎ ‎【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，找出为平两角是解题的关键，意在考查学生的空间想象能力.‎ ‎17.苹果可按果径（最大横切面直径，单位：.）分为五个等级：时为1级，时为2级，时为3级，时为4级，时为5级.不同果径的苹果，按照不同外观指标又分为特级果、一级果、二级果.某果园采摘苹果10000个，果径均在内，从中随机抽取2000个苹果进行统计分析，得到如图1所示的频率分布直方图，图2为抽取的样本中果径在80以上的苹果的等级分布统计图.‎ ‎（1）假设服从正态分布，其中的近似值为果径的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值代替），，试估计采摘的10000个苹果中，果径位于区间的苹果个数；‎ ‎（2）已知该果园今年共收获果径在80以上的苹果，且售价为特级果12元，一级果10元，二级果9元.设该果园售出这苹果的收入为，以频率估计概率，求的数学期望.‎ 附：若随机变量服从正态分布，则 ‎，，.‎ ‎【答案】（1）8186（个）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平均值公式计算均值，进一步求得P(59.85＜M＜77.7)的值，即可求解；（2）确定特级果、一级果、二级果的概率，即可列出分布列求解 ‎【详解】（1）＝62.5×5×0.03＋67.5×5×0.05＋72.5×5×0.06＋77.5×5×0.04＋82.5×5×0.02＝71.75．所以M服从正态分布N(71.75，35.4)．‎ 从而有P(59.85＜M＜77.7)＝P(μ－2σ＜Z＜μ＋σ)‎ ‎＝[P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＋P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)]＝0.8186，‎ 故采摘的10000个苹果中，果径位于区间(59.85，77.7)的苹果个数约为10000×0.8186＝8186（个）．‎ ‎（2）由图2可知，果径在80以上的苹果中，特级果、一级果、二级果的概率分别为，，‎ ‎，‎ 设出售1kg果径在80以上苹果的收入为Y，则Y的分布列为：‎ 故E(Y)＝12×＋10×＋9×＝10.1，‎ 所以E(X)＝800E(Y)＝8080元．‎ ‎【点睛】本题考查正态分布，频率分布直方图的均值，离散型随机变量的分布列，准确计算是关键，是基础题 ‎18.正项数列前项和为，且，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）令，求前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取得，再根据化简得到，利用等差数列的公式得到答案.‎ ‎（2）得到，利用错位相减法得到答案.‎ ‎【详解】（1），由得 ‎，得，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 是等差数列，.‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】本题考查了关系式和错位相减法，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.‎ ‎19.已知，‎ ‎（1）若，求单调区间.‎ ‎（2）若，函数有唯一零点，求范围.‎ ‎【答案】（1）增区间，，减区间；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），求导，根据导数的正负判断函数的单调性.‎ ‎（2），，讨论和两种情况函数的单调性，得到取值范围.‎ ‎【详解】（1），，.‎ ‎，知，.‎ 当时，，函数单调递增。‎ 当时，，函数单调递减。‎ 当时，，函数单调递增。‎ 函数的单调增区间为和，单调减区间为 ‎（2）.，.‎ ‎<1>若，，在单调递增.‎ ‎，在单调递增 ‎，无零点.‎ ‎<2>若，令满足，.‎ 当时，，单调递减 当时，，单调递增 ‎，.故，.‎ 这时，在单调递减，单调递增.‎ 又，故在有唯一零点时，‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调区间，零点问题，其中讨论的取值范围可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎20.已知，动点在：上运动.线段的中垂线与交于.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设、、三点均在曲线上，且，（为原点），求的范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据中垂线性质得到，判断为椭圆，代入数据得到答案.‎ ‎（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，设，联立方程得到，，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）‎ 点轨迹是以、为焦点椭圆.‎ ‎，，，‎ ‎（2）当斜率存在时，设 ‎，令两根为，.‎ 由.‎ ‎，.‎ 代入，，即.‎ 故.‎ ‎，，.‎ 当轴时，易求，范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长范围，其中忽略掉斜率不存在的情况是容易犯的错误，意在考查学生的应用能力和计算能力.‎ ‎21.极坐标系下，曲线：，曲线：.‎ ‎（1）求曲线围成区域面积；‎ ‎（2）设，，（为极点），求最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将极坐标方程化为直角坐标系方程，再利用圆面积公式的答案.‎ ‎（2）设，则得到，，代入数据得到答案.‎ ‎【详解】（1）得，‎ 即，面积为.‎ ‎（2）设，则.，‎ 当时，最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程，意在考查学生对于极坐标方程的理解掌握和计算能力.‎ ‎22.已知，，；‎ ‎（1）若，，求的解集.‎ ‎（2）若最小值为1，求最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数化简为分段函数，分别解不等式得到答案.‎ ‎（2）将函数化简为分段函数，根据最小值得到，‎ 变形，利用柯西不等式解得答案.‎ ‎【详解】（1），时，，‎ 解不等式： 解得答案为：.‎ ‎（2）‎ 当时，，.‎ ‎.‎ 当即时. 最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式，最大值问题，将绝对值函数化简为分段函数时解题的关键.‎ ‎ ‎