2019届二轮复习（文）数列综合学案（全国通用） 14页

‎【母题 一】【2018全国卷1文数17】‎ ‎【母题原题】已知数列满足，，设．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（3）求的通项公式．‎ ‎【 】2018年全国普通高等学校招生统一考试文 数学（新课标I卷）‎ ‎【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=4．‎ ‎(2) {bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析.‎ ‎(3) an=n·2n-1．‎ ‎（3）由（2）可得，所以an=n·2n-1．‎ 点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.‎ ‎【母题 二】【2017全国卷1文数17】‎ ‎【母题原题】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析．‎ ‎（2）由（1）可得．‎ 由于，‎ 故，，成等差数列．‎ ‎【考点】等比数列+ +k ]‎ ‎【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．学 ]‎ ‎【母题 三】【2016全国卷1文数17】‎ ‎【母题原题】已知是公差为3的等差数列，数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【考点】等差数列与等比数列 ‎【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎【命题意图】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、非等比数列求和的几种常见方法.‎ ‎【命题规律】从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减求和及裂项相消求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，多为解答题的形式呈现，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用. ]‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.求数列前n项和的常用方法 ‎1）分组求和法 分组转化法求和的常见类型 ‎(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.‎ ‎(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.‎ 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论. 学 ‎ ‎2）裂项相消法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数 如：是公差为的等差数列，求 解：由 ‎∴‎ ‎3）错位相减法 若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.‎ 如： ①‎ ‎ ②‎ ‎①—②‎ 时，，时，‎ ‎4）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 学 ]‎ 相加 ‎2.数列与函数综合 ‎（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：‎ ‎①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；‎ ‎②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．‎ ‎（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．‎ ‎3.数列与不等式综合 与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩．‎ ‎4．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解；‎ ‎5.以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．‎ ‎1．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】等比数列中，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 点睛：本题考查等比数列的性质，本题可以用基本量法求解，即求出首项和公比后，再计算，当然应用性质求解更应提倡．本题所用性质为：数列是等比数列，则（为常数）仍是等比数列．‎ ‎2．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】设是公差不为0的等差数列,满足,则的前项和( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：‎ 若等差数列的前项和为，且，则 ‎①若，则；‎ ‎②、、、 成等差数列．‎ ‎3．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】数列中，已知，且，(且)，则此数列为( )‎ A. 等差数列 B. 等比数列 C. 从第二项起为等差数列 D. 从第二项起为等比数列 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由已知得，, (且)，即，(且)，由此能推导出数列从第2项起是以2为公比的等比数列． 学 ‎ 详解：由得；‎ 又，得．‎ ‎∵，(且)，‎ ‎∴, (且)，‎ ‎∴，(且)，‎ 当时，上式不成立．‎ ‎∴故数列从第2项起是以2为公比的等比数列．‎ 故选D．‎ 点睛：数列的通项an与前n项和Sn的关系是，当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．‎ ‎4．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）】等比数列的前项和，前项和，前项和分别为，，，则（ ）‎ A. B. C. D. 学 ]‎ ‎【答案】D 点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.‎ ‎5．【2018年天津市南开中学高三模拟考试】已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：设出等比数列的公比为，利用等比数列的性质，根据已知等式求出的值，进而求出的值，表示出与，即可求出结果.‎ 详解：设等比数列的公比为，所以，‎ 所以，‎ 解得，，‎ ‎，所以，故选D. 学 ‎ 点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，涉及到的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.‎ ‎6．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性训练】已知数列是公差为3的等差数列，是公差为5的等差数列，若，则数列为 A. 公差为15的等差数列 B. 公差为8的等差数列 C. 公比为125的等比数列 D. 公比为243的等比数列 ‎【答案】A ‎7．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考（八）】公差与首项相等的等差数列的前项和为，且.记，其中表示不超过的最大整数，如，，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先求出数列的通项，再分组求数列的前项和. ‎ 详解：由题得 所以 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以数列的前项和为.‎ 故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查等差数列的通项和前n项和，考查学生接受新定义及利用新定义解题的能力.(2)由于新数列的通项不方便求出，所以利用列举法比较恰当.‎ ‎8．【北京西城八中2017届高三上学期期中考试】已知数列的前项和满足，其中．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列为等比数列．‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1)见解析（2）‎ ‎∴，‎ 则的前项和，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型　（如 ）‎ ‎9．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）】若数列的前项和为，首项且（）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若（），令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) 或.(2) . 学！ ‎ ‎；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎10．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试】设等差数列的前项和为，且成等差数列，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) an=2n-1 (2) ‎ 所以 点睛：本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．‎ ‎11．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】已知等比数列的前项和为，满足，.‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)记，数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析.‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 学 ‎ ‎12．【四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试】已知数列中， ，其前项和为，且满足．‎ ‎（11）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）当时，利用与的关系式化简即可证明；‎ ‎（2）由（1）可知，，所以，利用放缩法、裂项相消法即可证明.‎ 详解：（1）当时，， 学 ]‎ 点睛：本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查.‎