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- 2021-06-12 发布
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核心素养测评四十八 圆的方程
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是 ( )
A.1
C.m< D.m>1
【解析】选B.由D2+E2-4F=16m2+4-20m>0,解得:m>1或m<.
2.(2020·太原模拟)两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.∪(1,+∞)
C. D.∪[1,+∞)
【解析】选A.联立解得P(a,3a),
因为点P在圆内,所以(a-1)2+(3a-1)2<4,
所以-0,
即3a2+4a-4<0,解得-20).
令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D.
令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E.
由题意知-D-E=2,即D+E+2=0.①
又因为圆过点A,B,所以16+4+4D+2E+F=0.②
1+9-D+3E+F=0.③
解①②③组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12.
故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.
5.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程.
(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0) 的距离等于线段OF的长?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设圆C的圆心为C(a,b),
则圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=8.
因为直线y=x与圆C相切于原点O,
所以O点在圆C上,且OC垂直于直线y=x,
于是有解得或
由于点C(a,b)在第二象限,故a<0,b>0,所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.
(2)假设存在点Q符合要求,设Q(x,y),
则有
解得x=或x=0(舍去).
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所以存在点Q,
使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长.
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