数学理卷·2017届四川外语学院重庆第二外国语学校高三3月月考（2017 9页

四川外语学院重庆第二外国语学校 ‎2016－2017学年下期高2017届高三3月检测 数学试卷(理)‎ 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：李中勇 审题人：黄洪琴 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2． 已知复数错误！未找到引用源。，且有错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。（ ）‎ A． B．错误！未找到引用源。 C． D．‎ ‎3.已知数列的前项和为，若，且，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎4. 如图所示的程序框图输出的是，则条件①可以为（　　） ‎ A ． B． C． D ．‎ ‎5．已知实数满足，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某饮用水器具(无盖子)三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等名志愿者中选名担任翻译，名担任向导，还有名机动人员，为来参加活动的外事人员提供服务，并且翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有（ ） ‎ A. 种 B. 种 C. 种 D.种 ‎ ‎8.已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，则函数的一个单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知圆，直线，则圆O上任意一点A到直线的距离小于的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10.函数在定义域内可导，若，且当时，，设，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎11.设抛物线的焦点为，其准线与轴交点为，过点作直线与抛物线交于点，若，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（ ‎ ‎ A. B． C． D．‎ 一、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎13.已知向量，，若，则 ．‎ ‎14.已知，则 ．‎ ‎15.已知三棱锥中，⊥面，△为边长为的正三角形，=，则三棱锥的外接球体积为 ．‎ ‎16.定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式 的解集为 ．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17.在中，角的对边分别为，已知 ‎ （Ⅰ）求证：成等差数列；‎ ‎ （Ⅱ）若，的面积为，求．‎ ‎18. 为宣传‎3月5日学雷锋纪念日，重庆二外在高一，高二年级中举行学雷锋知识竞赛，每年级出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分．‎ ‎（1）求随机变量的分布列及其数学期望；‎ ‎（2）求甲队和乙队得分之和为4的概率．‎ ‎19．如图，在四棱锥中,⊥底面，底面是直角梯形，⊥，，,是上的点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎20. 已知椭圆的短轴长为，椭圆上任意一点到右焦点距 ‎ ‎ 离的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，点满足（为坐标原点），求四边形面积的最大值，并求此时的直线的方程. ‎ ‎21. 设函数.‎ ‎（1）若函数的图象与直线相切，求的值；‎ ‎（2）当时，求证：.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.已知直线的参数方程是，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为。‎ ‎（1）求直线的普通方程与圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于、两点，若点的直角坐标为，求的值．‎ ‎23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数，且的最大值记为。‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正数，同时满足 ？请说明理由。‎ 四川外语学院重庆第二外国语学校 ‎2016－2017学年下期高2017届高三3月检测 数学试卷(理)答案 一、 选择题 ‎1---5 CABBC 6--10 CDADC 11--12 BA 二、 填空题 ‎13、 14、1 15、 16、‎ 三、 解答题 ‎17、解：（Ⅰ）证明：由正弦定理得：‎ 即，‎ ‎∴∴‎ ‎∴∴ ∴‎ ‎∴，，成等差数列．…‎ ‎（Ⅱ）∴,‎ ‎．‎ ‎∴得…‎ ‎18、解：（1）的可能取值为0，1，2，3．‎ ‎ ,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…………………………………………6分 ‎．………………………………7分 ‎（2）设“甲队和乙队得分之和为‎4”‎事件Ａ，包含“甲队３分且乙队１分”，“甲队2‎ 分且乙队2分”,“甲队1分且乙队3分”三个基本事件，则： ‎ ‎．………………12分 ‎19、【解析】（Ⅰ）证明：，平面，，‎ ‎，，又，‎ 平面，∵平面，平面平面 ‎ ‎（Ⅱ）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，‎ 则，，‎ 设，则 取，则,为面的法向量。‎ 设为面的法向量，则 即取，则，‎ 由题意得，，则于是。‎ 设直线与平面所成角为，则。‎ ‎20、【解】（Ⅰ）椭圆方程为(过程略) ‎ ‎（Ⅱ）因为，所以四边形OANB为平行四边形， ‎ 当直线的斜率不存在时显然不符合题意；‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆交于两点，由得 …………6分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 由，得 ‎ ………………8分 ‎ ‎ ‎ …………10分 令，则（由上可知），‎ 当且仅当即时取等号；‎ 当平行四边形OANB面积的最大值为 此时直线的方程为 …………12分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎21、21.（1），设切点为，‎ 则切线为，即，‎ 又切线为，所以，‎ 消，得，设，‎ 易得为减函数，且，所以 ‎（2）令，所以，‎ 当时，，函数在为单调递增；‎ 当时，，函数在为单调递减；‎ 所以，‎ 当时，即时，，‎ 即，故时，在上单调递增，‎ 所以时，，即，所以， ①‎ 因为，所以，‎ 所以，即， ②‎ ‎①+②得：，‎ 故当时，‎ 22、 解：（1）∵直线l的参数方程是（是参数），∴．‎ ‎ 即直线的普通方程为．‎ ‎∵，∴‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为，‎ ‎ 即或 ‎（2）将代入得，∴．‎ ‎∴．‎ ‎23、解：（Ⅰ）不等式，即为，‎ ‎∴ 或 或 ‎ ‎ 解得：或或，‎ 综上，不等式的解集是或；‎ ‎（Ⅱ）当且仅当时取“=”，故，‎ 假设存在符合条件的正数，则，‎ ‎，‎ 当且仅当时取“=”号，‎ ‎∴的最小值是16，即，‎ ‎∴不存在正数，同时满足，同时成立．‎