2021高考数学一轮复习课后限时集训37基本不等式文北师大版2 6页

课后限时集训37‎ 基本不等式 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．下列命题中正确的是(　　)‎ A．函数y＝x＋的最小值为2‎ B．函数y＝的最小值为2‎ C．函数y＝2－3x－(x＞0)的最小值为2－4 D．函数y＝2－3x－(x＞0)的最大值为2－4 D　[由x＞0知3x＋≥4，当且仅当3x＝，即x＝时等号成立，则2－3x－≤2－4，因此函数y＝2－3x－(x＞0)的最大值为2－4，故选D.]‎ ‎2．若log2x＋log2y＝1，则2x＋y的最小值为(　　)‎ A．1 B．2　　　　‎ C．2　　　　 D．4‎ D　[由log2x＋log2y＝1得，x＞0，y＞0且xy＝2.‎ ‎∴2x＋y≥2＝4，当且仅当2x＝y，即x＝1，y＝2时等号成立，故选D.]‎ ‎3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)‎ A. B．4 ‎ C. D．5‎ C　[由a＞0，b＞0，a＋b＝2知＋＝(a＋b)＝≥，当且仅当＝，即b＝2a＝时等号成立，故选C.]‎ ‎4．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则(　　)‎ A．Rb>1，∴lg a>lg b>0，‎ - 6 -‎ (lg a＋lg b)>，即Q>P.‎ ‎∵>，∴lg>lg＝(lg a＋lg b)＝Q，即R>Q，∴P0，‎ ‎∴＋≥2＝4，‎ 当且仅当＝，即x＝－时取等号．‎ 于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.‎ ‎(2)∵00，‎ ‎∴y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，‎ ‎∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.‎ ‎10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：‎ ‎(1)xy的最小值；‎ ‎(2)x＋y的最小值．‎ ‎[解](1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 又x>0，y>0，‎ 则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，‎ 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．‎ 所以xy的最小值为64.‎ ‎(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋ ‎≥10＋2 ＝18.‎ 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，‎ 所以x＋y的最小值为18.‎ ‎1．(2019·上海高考改编)若x，y∈R＋，且＋2y＝3，则的最大值为(　　)‎ - 6 -‎ A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. D　[由x，y∈R＋得3＝＋2y≥2，‎ ‎∴≤，即≤，‎ 当且仅当＝2y＝，即x＝，y＝时等号成立，故选D.]‎ ‎2．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A. B．2 ‎ C．2 D．4‎ C　[由题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，‎ 当且仅当＝，即b＝2a时等号成立．‎ ‎∴≥，即ab≥2，故选C.]‎ ‎3．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x＞0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．‎ ‎4　[设P，x0＞0.‎ 则点P到直线x＋y＝0的距离d＝ ‎＝≥4，‎ 当且仅当x0＝，即x0＝时等号成立．]‎ ‎4．某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.‎ ‎(1)试用x，y表示S；‎ ‎(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？‎ - 6 -‎ ‎[解](1)由题意可得xy＝1 800，b＝2a，‎ 则y＝a＋b＋3＝3a＋3，‎ 所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a ‎＝(3x－8)＝1 808－3x－y(x＞3，y＞3)．‎ ‎(2)S＝1 808－3x－×＝1 808－ ‎≤1 808－2＝1 808－240＝1 568，‎ 当且仅当3x＝，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝＝45，‎ 所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．‎ ‎1．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．‎ ‎4　[∵a，b∈R，ab>0，∴≥＝4ab＋≥2＝4，‎ 当且仅当即时取得等号．‎ 故的最小值为4.]‎ ‎2．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6)．‎ ‎(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；‎ ‎(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．‎ ‎[解](1)设甲工程队的总造价为y元，‎ 则y＝3＋14 400＝1 800＋14 400(3≤x≤6)，1 800＋14 400≥1 800×2×＋14 400＝28 800.‎ 当且仅当x＝，即x＝4时等号成立．‎ - 6 -‎ 即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28 800元．‎ ‎(2)由题意可得，1 800＋14 400＞，对任意的x∈[3,6]恒成立．‎ 即＞，从而＞a恒成立，‎ 令x＋1＝t，＝＝t＋＋6，t∈[4,7]‎ 又y＝t＋＋6在t∈[4,7]为单调增函数，故ymin＝12.25.‎ 所以0＜a＜12.25.‎ - 6 -‎