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  • 2021-06-12 发布

高中数学(人教A版)必修3能力强化提升及单元测试:3-3-2

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3.3.2 均匀随机数的产生(选学) 双基达标 (限时 20 分钟) 1 . 将 [0,1] 内 的 均 匀 随 机 数 转 化 为 [ - 3,4] 内 的 均 匀 随 机 数 , 需 要 实 施 的 变 换 为 (  ). A.a=a1*7 B.a=a1*7+3 C. a =a1*7-3 D.a=a1*4 解析 根据伸缩、平移变换 a=a1] 答案 C 2 . 在 线 段 AB 上 任 取 三 个 点 x1 , x2 , x3 , 则 x2 位 于 x1 与 x3 之 间 的 概 率 是 (  ). A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 解析 因为 x1,x2,x3 是线段 AB 上任意的三个点,任何一个数在中间的概率相等且都是 1 3. 答案 B 3 . 与 均 匀 随 机 数 特 点 不 符 的 是 (  ). A.它是[0,1]内的任何一个实数 B.它是一个随机数 C.出现的每一个实数都是等可能的 D.是随机数的平均数 解析 A、B、C 是均匀随机数的定义,均匀随机数的均匀是“等可能”的意思,并不是 “随机数的平均数”. 答案 D 4.在圆心角为 90°的扇形中,以圆心 O 为起点作射线 OC,使得∠AOC 和 ∠BOC 都不小于 30°的概率为________. 解析 作∠AOE=∠BOD=30°,如图所示,随机试验中,射线 OC 可能落在扇面 AOB 内任意一条射线上,而要使∠AOC 和∠BOC 都 不 小于 30°,则 OC 落在扇面 DOE 内, ∴P(A)=1 3. 答案 1 3 5.在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则|x|≤1 的概率为________. 解析 由|x|≤1,得-1≤x≤1. 由几何概型的概率求法知,所求的概率 P= 区间[-1,1]的长度 区间[-1,2]的长度=2 3. 答案 2 3 6.利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线 y=log3x 与 x=3 及 x 轴围成的图形)的面积. 解 设事件 A:“随机向正方形内投点,所投的点落在阴影部分”. (1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND. (2)经过伸缩变换 x=x1]N1,N),即为概率 P(A)的近似值. 设阴影部分的面积为 S,正方形的面积为 9,由几何概率公式得 P(A)=S 9,所以N1 N ≈S 9. 所以 S≈9N1 N 即为阴影部分面积的近似值. 综合提高 (限时 25 分钟) 7.如图,边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方 形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为2 3,则阴影区域的 面积为 (  ). A.4 3      B.8 3 C.2 3      D.无法计算 解析 ∵ S阴影 S正方形=2 3,∴S 阴影=2 3S 正方形=8 3. 答案 B 8.将一个长与宽不等的长方形,沿对角线分成四个区域,如图所示涂上四种颜色,中间装 个 指 针 , 使 其 可 以 自 由 转 动 , 对 指 针 停 留 的 可 能 性 下 列 说 法 正 确 的 是 (  ). A.一样大 B.蓝白区域大 C.红黄区域大 D.由指针转动圈数决定 解析 指针停留在哪个区域的可能性大,即表明该区域的张角大,显然,蓝白区域大. 答案 B 9.在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P,则使点 P 到三个顶点的距离至少有一个小于 1 的概率是________. 解析 以 A、B、C 为圆心,以 1 为半径作圆,与△ABC 交出三个扇形,当 P 落在其内 时符合要求. ∴P= 3 × (1 2 × π 3 × 12) 3 4 × 22 = 3π 6 . 答案  3π 6 10.一个靶子如图所示,随机地掷一个飞镖扎在靶子上,假设飞镖 既不会落在靶心,也不会落在阴影部分与空白的交线上,现随机 向靶掷飞镖 30 次,则飞镖落在阴影部分的次数约为________. 答案 5 11.假设小军、小燕和小明所在的班级共有 50 名学生,并且这 50 名学生早上到校先后的可 能性是相同的.设计模拟方法估计下列事件的概率: (1)小燕比小明先到校; (2)小燕比小明先到校,小明比小军先到校. 解 记事件 A“小燕比小明先到校”;记事件 B“小燕比小明先到校且小明比小军先到 校”. 利用计算器或计算机产生三组 0 到 1 区间的均匀随机数,a=RAND,b=RAND,c= RAND 分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间; ②统计出试验总次数 N 及其中满足 b<c 的次数 N1,满足 b<c<a 的次数 N2; ③计算频率 fn(A)=N1 N ,fn(B)=N2 N ,即分别为事件 A,B 的概率的近似值. 12.(创新拓展)如图所示,曲线 y=x2 与 y 轴、直线 y=1 围成一个区域 A(图中的阴影部分), 用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法) 解 法一 我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子,数出落在区域 A 内的豆子数与 落在正方形内的豆子数,根据 落在区域A内的豆子数 落在正方形内的豆子数≈ 区域A的面积 正方形的面积,即可求区域 A 面 积的近似值.例如,假设撒 1 000 粒豆子,落在区域 A 内的豆子数为 700,则区域 A 的 面积 S≈ 700 1 000=0.7. 法二 对于上述问题,我们可以用计算机模拟上述过程,步骤如下: 第一步,产生两组 0~1 内的均匀随机数,它们表示随机点(x,y)的坐标.如果一个点的 坐标满足 y≥x2,就表示这个点落在区域 A 内. 第二步,统计出落在区域 A 内的随机点的个数 M 与落在正方形内的随机点的个数 N,可 求得区域 A 的面积 S≈M N.

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