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- 2021-06-12 发布
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2018-2019 学年重庆市四区高一下学期高中联合调研评估测试
(期末)数学试题
(时间:120 分钟 分值:150 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 c=4,a=4 2,A=45°,则 sin C
等于( )
A.1
2
B. 2
2
C.1
4
D. 2
4
2.函数 y= ln(x+1)
-x2-3x+4
的定义域为( )
A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1]
3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1=1,S4
S2
=4,则S6
S4
的值为( )
A.3
2
B.5
4
C.9
4
D.4
4.已知在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,那么 cos C 的值为( )
A.-1
4
B.1
4
C.-2
3
D.2
3
5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 18,若 S3=1,an+an-1+an-2=3,则 n 等于( )
A.9 B.21 C.27 D.36
6.已知点 P(x,y)满足条件
y≥0,
y≤x,
2x+y-9≤0,
则 z=x-3y 的最小值为( )
A.9 B.-6 C.-9 D.6
7.如图,一轮船从 A 点沿北偏东 70°的方向行驶 10 海里至海岛 B,又从 B
沿北偏东 10°的方向行驶 10 海里至海岛 C,若此轮船从 A 点直接沿直线行
驶至海岛 C,则此船沿________方向行驶________海里至海岛 C( )
A.北偏东 60°;10 2 B.北偏东 40°;10 3
C.北偏东 30°;10 3 D.北偏东 20°;10 2
8.设 x,y 满足约束条件
3x+2y-6≤0,
x≥0,
y≥0,
则 z=x-y 的取值范围是( )
A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3]
9.当 x>0 时,不等式 x2-mx+9>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( )
A.(-∞,6) B.(-∞,6] C.[6,+∞) D.(6,+∞)
10.设 x,y 满足约束条件
2x-y+2≥0,
8x-y-4≤0,
x≥0,y≥0,
若目标函数 z=abx+y(a,b>0)的最大值为 8,则
a+b 的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
11.等差数列{an}满足 a2
4+a2
7+2a4a7=9,则其前 10 项之和为( )
A.-9 B.-15 C.15 D.±15
12.在各项均为正数的等比数列{an}中,公比 q∈(0,1).若 a3+a5=5,a2·a6=4,bn=log2an,
数列{bn}的前 n 项和为 Sn,则当S1
1
+S2
2
+…+Sn
n
取最大值时,n 的值为( )
A.8 B.9 C.8 或 9 D.17
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a,b,c 成等比数列,且 a2-c2
=ac-bc,则 c
bsin B
的值为________.
14.若关于 x 的不等式 x2-ax-a≤-3 有解,则实数 a 的取值范围为________.
15.已知数列{an}满足:a1=1, an+1- an=1,则使 an<25 成立的 n 的最大值为________.
16.已知△ABC 的一个内角为 120°,且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为
________.
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分)
17.(10 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C.
(1)求内角 B 的大小;
(2)设 m=(sin A,cos 2A),n=(4k,1)(k>1),m·n 的最大值为 5,求 k 的值.
18.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n+2-4.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 bn=an·log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
19.(12 分)甲乙两地生产某种产品,他们可以调出的数量分别为 300 吨、750 吨.A,B,C 三
地需要该产品数量分别为 200 吨,450 吨,400 吨,甲地运往 A,B,C 三地的费用分别为 6
元/吨、3 元/吨,5 元/吨,乙地运往 A,B,C 三地的费用分别为 5 元/吨,9 元/吨,6 元/
吨,问怎样调运,才能使总运费最小?
20.(12 分)某厂家拟举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万
件与年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x=3- k
m+1
(k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的
年销售量只能是 1 万件.已知年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要
再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包
括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将该产品的年利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数;
(2)该厂家年促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
21.(12 分)在△ABC 中,A,B,C 成等差数列,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,并且 sin A·sin
C=cos2B,S△ABC=4 3,求 a,b,c.
22.(12 分)已知函数 f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),数列{an}满足 a1=2,an≠1,(an+1-
an)g(an)+f(an)=0.
(1)求证 an+1=3
4
an+1
4
;
(2)求数列{an-1}的通项公式;
(3)若 bn=3f(an)-g(an+1),求{bn}中的最大项.
2018-2019 学年度上期重庆市高中联合调研评估测试
高一数学 答案
1.解析 由正弦定理得 sin C=c·sin Aa =4×2=12.
答案 A
2.解析 由题 x+1>0,-x2-3x+4>0
⇒
-1<x<1.
答案 C
3.解析 设公差为 d,则 S4=4a1+6d,S2=2a1+d,结合 S4=4S2 得 d=2,
∴S4=16,S6=36,∴S6S4=94.
答案 C
4.解析 由题意知,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=3∶2∶4,
设 a=3k,b=2k,c=4k,
∴cos C=a2+b2-c22ab =(3k)2+(2k)2-(4k)22·3k·2k =-14.
答案 A
5.解析 S3+an+an-1+an-2=4=3(a1+an),
∴a1+an=43,
又 Sn=n(a1+an)2 =3=18,
∴n=27.
答案 C
6.解析 作出可行域如图所示的阴影部分.
由目标函数 z=x-3y 得:y=13x-z3,
∴-z3为直线在 y 轴上的截距.
∴平移直线 l0:y=13x,当直线经过点 A 时,z 取得最小值.
∵ x-y=0,2x+y-9=0,∴x=3,y=3,∴A(3,3).
∴zmin=3-3×3=-6.
答案 B
7.解析 由已知得在△ABC 中,∠ABC=180°-70°+10°=120°,
AB=BC=10,故∠BAC=30°,
所以从 A 到 C 的航向为北偏东 70°-30°=40°,
由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=102+102-2×10×1012=300,
所以 AC=10.
答案 B
8.解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示),结合目标函数的几何意义可得函
数在点 A(0,3)处取得最小值 z=0-3=-3,在点 B(2,0)处取得最大值 z=2-0=2.
答案 B
9.解析 由题意得:当 x>0 时,mx<x2+9,即 m<x+9x恒成立.又有 x+9x≥2 9x=6,当且仅
当 x=9x,即 x=3 时,等号成立.则实数 m 的取值范围是(-∞,6).
答案 A
10.解析 原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,当直线 z=abx+y(a>0,b>0)
过直线 2x-y+2=0 与直线 8x-y-4=0 的交点(1,4)时,目标函数 z=abx+y(a>0,b>
0)取得最大值 8,即 8=ab+4,即 ab=4,所以 a+b≥2=4,当且仅当 a=b=2 时,等号成
立.所以 a+b 的最小值为 4.
答案 B
11.解析 a24+a27+2a4a7=(a4+a7)2=9,
∴a4+a7=±3,∴a1+a10=±3,
∴S10=10(a1+a10)2 =±15.
答案 D
12.解析 ∵a2·a6=a3·a5=4,且 a3+a5=5,
∴a3,a5 是方程 x2-5x+4=0 的两个根.
又∵等比数列{an}各项均为正数且 q∈(0,1),
∴a3=4,a5=1.
∴q2=a5a3=14,∴q=12.
∴an=4·12=12,∴bn=log2an=5-n.
∴Sn=(9-n)·n2 ,∴Snn =9-n2 .
Tn=S11 +S22 +…+Snn =14(-n2+17n)
=142894 .
∴当 n=8 或 9 时,Tn 取得最大值.
答案 C
13.解析 ∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac.
又∵c2-a2=bc-ac,∴b2+c2-a2=bc.
在△ABC 中,由余弦定理得 cos A=b2+c2-a22bc = bc2bc
=12,∴A=60°.
由正弦定理得 asin A= bsin B,∴sin B=3b2a.
∴ cbsin B=2acb2 =23.
答案 33
14.解析 由题意知,只需 y=x2-ax-a 的最小值不大于-3 即可.
即-4a-a24 ≤-3,
解得 a≤-6 或 a≥2.
答案 (-∞,-6]∪[2,+∞)
15.解析 易知{}为等差数列,
首项为=1,公差为 1,
∴=1+(n-1)=n,
∴an=n2,
令 n2<25,∴n<5,∴n≤4.
答案 4
16.解析 不妨设 A=120°,c<b,则 a 为最长边,故 a=b+4,c=b-4,由余弦定理,得
a2=b2+c2-2bccos A,即
(b+4)2=b2+(b-4)2-2b(b-4)cos 120°,
化简得 b2-10b=0,
∴b=10 或 b=0(舍去),
∴c=6,
S△ABC=12bcsin A=15.
答案 15
17.解 (1)由正弦定理及(2a-c)cos B=bcos C,
得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,
整理得 2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A,
因为 A∈(0,π),所以 sin A≠0,
故 cos B=12,所以 B=π3.
(2)m·n=4ksin A+cos 2A=-2sin2A+4ksin A+1,
其中 A∈2π3 ,设 sin A=t,t∈(0,1],则
m·n=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2.
又 k>1,故当 t=1 时,m·n 取得最大值.
由题意得-2+4k+1=5,解得 k=32.
18.解 (1)因为 Sn=2n+2-4,所以 a1=S1=4,
n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+2-4-(2n+1-4)=2n+1,显然 a1 也符合该表达式.所以 an=2n+1.
(2)因为 bn=an·log2an=(n+1)·2n+1,
所以 Tn=2·22+3·23+4·24+…+n·2n+(n+1)·2n+1,①
2Tn=2·23+3·24+4·25+…+n·2n+1+(n+1)·2n+2,②
②-①得,
Tn=-2·22-23-24-…-2n+1+(n+1)·2n+2
=-23-23(1-2n-1)1-2 +(n+1)·2n+2
=-23-23(2n-1-1)+(n+1)·2n+2
=(n+1)·2n+2-23·2n-1=n·2n+2.
19.解 设从甲到 A 调运 x 吨,从甲到 B 调运 y 吨,从甲到 C 调运(300-x-y)吨,则从乙到
A 调运(200-x)吨,从乙到 B 调运(450-y)吨,从乙到 C 调运(100+x+y)吨,
设调运的总费用为 z 元,则 z=6x+3y+5(300-x-y)+5(200-x)+9(450-y)+6(100+x
+y)=2x-5y+7 150.
由已知得约束条件为 450-y≥0,100+x+y≥0,
整理得0≤y≤450,x+y≤300,
画可行域并平移直线 2x-5y=0 可得最优解为 x=0,y=300.
即从甲到 B 调运 300 吨,从乙到 A 调运 200 吨,从乙到 B 调运 150 吨,从乙到 C 调运 400
吨,总运费最小.
20.解 (1)由题意可知,当 m=0 时,x=1(万件),
所以 1=3-k,所以 k=2,所以 x=3- 2m+1,
每件产品的销售价格为 1.5×8+16xx (万元),
所以年利润
y=x·8+16xx -(8+16x+m)=4+8x-m
=4+8 2m+1-m=- 16+(m+1)+29(m≥0).
(2)因为 m≥0 时, 16m+1+(m+1)≥2=8,
所以 y≤-8+29=21,当且仅当 16m+1=m+1,
即 m=3(万元)时,ymax=21(万元).
所以厂家年促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大.
21.解 ∵A,B,C 成等差数列,∴A+C=2B,
又 A+B+C=180°,∴B=60°,
∴sin A·sin C=cos260°=14.①
又 S△ABC=4=12acsin B,∴ac=16.②
由①②,得 acsin A·sin C= asin A= csin C=64,
∴ asin A= csin C=8.
∴b=asin Bsin A=8sin B=8sin 60°=4,
∵cos B=a2+c2-b22ac =12,
∴a2+c2-b2=ac,
∴(a+c)2-b2=3ac,
∴(a+c)2=48+48=96,∴a+c=4.③
联立③与②解得,a=2(+),c=2(-)或 a=2(-),c=2(+).
22.(1)证明 由(an+1-an)g(an)+f(an)=0,
g (an)=4(an-1),f(an)=(an-1)2,
得(an-1)·(4an+1-3an-1)=0.
又 an≠1,∴an+1=34an+14.
(2)解 ∵an≠1,
∴an+1-1an-1 = -1an-1=(an-1)an-1 =34(n≥1),
∴{an-1}是公比为34的等比数列.
又 a1-1=1,∴an-1=34.
(3)解 由(2)知 an=34+1,
由(1)知 an+1=34an+14,
则 bn=3f(an)-g(an+1)=3(an-1)2-4(an+1-1)
=3(an-1)2-4 1-1=3a2n-9an+6
=3 3+1-9 3+1+6
=334-334.
设 u=34,y=bn,
则 y=3u2-3u=312-34,
∵当 n≥1 时,0<u=34≤1,
∴当 u=1 时,ymax=0,此时 n=1,
则{bn}的最大项为 b1=0.