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- 2021-06-12 发布
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课时分层训练(八) 指数函数
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.函数f(x)=2|x-1|的大致图象是( )
【导学号:01772046】
A B C D
B [f(x)=
所以f(x)的图象在[1,+∞)上为增函数,在(-∞,1)上为减函数.]
2.(2016·山东德州一模)已知a=,b=,c=,则( )
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<c<a
D [∵y=x为减函数,>,∴b<c.
又∵y=x在(0,+∞)上为增函数,>,
∴a>c,∴b<c<a,故选D.]
3.(2016·河南安阳模拟)已知函数f(x)=ax,其中a>0,且a≠1,如果以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)·f(x2)等于( )
A.1 B.a
C.2 D.a2
A [∵以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,
∴x1+x2=0.
又∵f(x)=ax,
∴f(x1)·f(x2)=ax1·ax2=ax1+x2=a0=1,故选A.]
4.函数y=2x-x2的值域为( )
【导学号:01772047】
A. B.
C. D.(0,2]
A [∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,
又y=t在R上为减函数,
∴y=2x-x2≥1=,
即值域为.]
5.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3) B.(1,+∞)
C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C [当a<0时,不等式f(a)<1可化为a-7<1,即a<8,即a<-3,
因为0<<1,所以a>-3,此时-3<a<0;
当a≥0时,不等式f(a)<1可化为<1,
所以0≤a<1.
故a的取值范围是(-3,1).]
二、填空题
7.已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是________.
(1,5) [由f(1)=4+a0=5知,点P的坐标为(1,5).]
8.已知函数f(x)=2x-,函数g(x)=则函数g(x)的最小值是________.
0 [当x≥0时,g(x)=f(x)=2x-为单调增函数,所以g(x)≥g(0)=0;当x<0时,g(x)=f(-x)=2-x-为单调减函数,所以g(x)>g(0)=0,所以函数g(x)的最小值是0.]
三、解答题
9.求不等式a2x-7>a4x-1(a>0,且a≠1)中x的取值范围.
[解] 设y=ax(a>0且a≠1),
若0<a<1,则y=ax为减函数,
∴a2x-7>a4x-1⇔2x-7<4x-1,
解得x>-3;5分
若a>1,则y=ax为增函数,
∴a2x-7>a4x-1⇔2x-7>4x-1,解得x<-3.9分
综上,当0<a<1时,x的取值范围是(-3,+∞);
当a>1时,x的取值范围是(-∞,-3).12分
10.已知函数f(x)=+a是奇函数.
(1)求a的值和函数f(x)的定义域;
(2)解不等式f(-m2+2m-1)+f(m2+3)<0.
[解] (1)因为函数f(x)=+a是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即+a=-a,即=,从而有1-a=a,解得a=.3分
又2x-1≠0,所以x≠0,故函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).5分
(2)由f(-m2+2m-1)+f(m2+3)<0,得f(-m2+2m-1)<-f(m2+3),因为函数f(x)为奇函数,所以f(-m2+2m-1)<f(-m2-3).8分
由(1)可知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,从而在(-∞,0)上是减函数,又-m2+2m-1<0,-m2-3<0,所以-m2+2m-1>-m2-3,解得m>-1,所以不等式的解集为(-1,+∞).12分
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.已知实数a,b满足等式a=b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b=0.其中不可能成立的关系式有( )
【导学号:01772049】
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B [函数y1=x与y2=x的图象如图所示.由a=b得a<b<0或0<b<a或a=b=0.
故①②⑤可能成立,③④不可能成立.]
2.(2017·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为________.
e [由于f(x)=max{e|x|,e|x-2|}=
当x≥1时,f(x)≥e,且当x=1时,取得最小值e;
当x<1时,f(x)>e.
故f(x)的最小值为f(1)=e.]
3.已知f(x)=x3(a>0,且a≠1).
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)求a的取值范围,使f(x)>0在定义域上恒成立.
[解] (1)由于ax-1≠0,则ax≠1,得x≠0,
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.2分
对于定义域内任意x,有
f(-x)=(-x)3
=(-x)3
=(-x)3
=x3=f(x).
∴f(x)是偶函数.5分
(2)由(1)知f(x)为偶函数,∴只需讨论x>0时的情况.
当x>0时,要使f(x)>0,即x3>0,
即+>0,即>0,9分
即ax-1>0,ax>1,ax>a0.又∵x>0,∴a>1.
因此a>1时,f(x)>0. 12分