2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第四章　5 第5讲　三角函数的图象与性质 20页

第5讲　三角函数的图象与性质 ‎1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ‎{x|x≠kπ＋，k∈Z}‎ 值域 ‎[－1，1]‎ ‎[－1，1]‎ R 函数的最值 最大值1，当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－，k∈Z 最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z；‎ 最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z 无最大值和最小值 单调性 增区间[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)；‎ 减区间[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)‎ 增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；‎ 减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)‎ 增区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)‎ 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 周期 性 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π 周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π 对称性 对称 中心 ‎(kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴 零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z ‎2.周期函数的定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝.‎ ‎3．对称与周期 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期．‎ ‎[疑误辨析]‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数．(　　)‎ ‎(2)若y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.(　　)‎ ‎(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(　　)‎ ‎(4)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)‎ ‎(5)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×‎ ‎[教材衍化]‎ ‎1．(必修4P46A组T2，3改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则T＝________，A＝________．‎ 解析：最小正周期T＝＝π，最大值A＝2－1＝1.‎ 答案：π　1‎ ‎2．(必修4P40练习T4改编)下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是________(填序号)．‎ ‎①在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数；‎ ‎②在上是增函数，在及上是减函数；‎ ‎③在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数；‎ ‎④在及上是增函数，在上是减函数．‎ 解析：函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．‎ 答案：②‎ ‎3．(必修4P45练习T3改编)y＝tan 2x的定义域是________．‎ 解析：由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以y＝tan 2x的定义域是.‎ 答案： ‎[易错纠偏]‎ ‎(1)忽视y＝Asin x(或y＝Acos x)中A对函数单调性的影响；‎ ‎(2)忽视定义域的限制；‎ ‎(3)忽视正切函数的周期；‎ ‎(4)不化为同名函数以及同一单调区间导致比较大小出错．‎ ‎1．函数y＝1－2cos x的单调递减区间为________．‎ 解析：函数y＝1－2cos x的单调递减区间为函数y＝cos x的递增区间．‎ 答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)‎ ‎2．函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为________．‎ 解析：当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，‎ 所以sin∈[－，1]，‎ ‎ 故3sin∈[－，3]，‎ 所以函数f(x)在区间[0，]上的值域是[－，3]．‎ 答案：[－，3]‎ ‎3．函数y＝tan图象的对称中心是________．‎ 解析：由x＋＝，得x＝－，k∈Z.‎ 答案：(k∈Z)‎ ‎4．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________．‎ 解析：sin 68°＝cos 22°，‎ 又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，‎ 所以sin 68°>cos 23°>cos 97°.‎ 答案：sin 68°>cos 23°>cos 97°‎ ‎　　　　　　三角函数的定义域和值域 ‎ (1)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．‎ ‎(2)函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域是________．‎ ‎【解析】　(1)依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－＋1，‎ 因为x∈，所以cos x∈[0，1]，‎ 因此当cos x＝时，f(x)max＝1.‎ ‎(2)要使函数y＝lg(2sin x－1)＋有意义，‎ 则 即 解得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z.‎ 即函数的定义域为，k∈Z.‎ ‎【答案】　(1)1　(2)，k∈Z ‎ ‎(1)三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．‎ ‎(2)三角函数值域的不同求法 ‎①利用sin x和cos x的值域直接求；‎ ‎②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；‎ ‎③(换元法)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；‎ ‎④(换元法)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．　 ‎ ‎　(2020·温州市十校联合体期初)已知函数f(x)＝2cos x·(sin x－cos x)，x∈R，则f＝________，f(x)的最大值是________．‎ 解析：f(x)＝2cos x(sin x－cos x)‎ ‎＝2cos xsin x－2cos2x ‎＝sin 2x－1－cos 2x ‎＝sin－1.‎ 当x＝时，f＝sin－1＝0.‎ 由正弦函数的图象和性质可得，sin的最大值为1.‎ 所以f(x)的最大值为－1.‎ 答案：0　－1‎ ‎　　　　　　三角函数的单调性(高频考点)‎ 三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或在解答题某一问出现，难度为中档题．主要命题角度有：‎ ‎(1)求已知三角函数的单调区间；‎ ‎(2)已知三角函数的单调区间求参数；‎ ‎(3)利用三角函数的单调性比较大小；‎ ‎(4)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．‎ 角度一　求已知三角函数的单调区间 ‎ 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【解】　(1)由sin ＝，cos ＝－，f＝－－2××，得f＝2.‎ ‎(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得 f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，‎ k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 所以，f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．‎ 角度二　已知三角函数的单调区间求参数 ‎ 函数f(x)＝sin(x＋φ)在区间上单调递增，则常数φ的值可能是(　　)‎ A．0 B. C．π D. ‎【解析】　法一：结合选项，当φ分别取选项中的值时，‎ A：f(x)＝sin x；B：f(x)＝cos x；C：f(x)＝－sin x；D：f(x)＝－cos x．验证得D选项正确．‎ 法二：⊆f(x)的递增区间，‎ ⊆，‎ ‎⇒－＋2kπ≤φ≤－＋2kπ(k∈Z)，‎ k＝0，选项中无值符合；k＝1，≤φ≤，φ＝符合；‎ k＝2，≤φ≤，选项中无值符合．可知φ的可取值逐渐增大，故只有D选项符合题意．‎ ‎【答案】　D 角度三　利用三角函数的单调性比较大小 ‎ 已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a0时，由题意知－ω≤－，‎ 即ω≥；‎ 当ω<0时，由题意知ω≤－，所以ω≤－2.‎ 综上可知，ω的取值范围是∪.‎ ‎2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为　　(　　)‎ A．－1　　　　　　　　　　 B．－ C. D．0‎ 解析：选B.由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin(2x－)在区间上的最小值为－.‎ ‎3．函数y＝sin的单调减区间为________．‎ 解析：(同增异减法)y＝－sin，‎ 它的减区间是y＝sin的增区间．‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故其单调减区间为，k∈Z.‎ 答案：(k∈Z)‎ ‎　　　　　　三角函数的奇偶性、周期性及对称性 ‎ (1)设函数f(x)＝sin2 x＋bsin x＋c，则f(x)的最小正周期(　　)‎ A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 ‎(2)已知ω>0，f(x)＝，f的图象与f(x)的图象关于点对称，则ω的最小值为(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ ‎(3)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)是奇函数，直线y＝与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则(　　)‎ A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递减 C．f(x)在上单调递增 D．f(x)在上单调递增 ‎【解析】　(1)由于f(x)＝sin2x＋bsin x＋c＝＋bsin x＋c.当b＝0时，f(x)的最小正周期为π；当b≠0时，f(x)的最小正周期为2π.c的变化会引起f(x)图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.‎ ‎(2)因为f(x)＝＝tan，‎ 所以f＝tan，‎ 因为f的图象与f(x)的图象关于点对称，‎ 所以tan＋tan＝0，‎ 即tan＝tan，‎ 所以＝－ωπ－＋kπ，(k∈Z)，ω＝－＋k，(k∈Z)，‎ 因为ω>0，所以当k＝1时，ω取最小值为，故选A.‎ ‎(3)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ＋)，因为0<φ<π且f(x)为奇函数，所以φ＝，即f(x)＝－sin ωx，又直线y＝与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，所以函数f(x)的最小正周期为，由＝，可得ω＝4，故f(x)＝－sin 4x，由2kπ＋≤4x≤2kπ＋，k∈Z，即＋≤x≤＋，k∈Z，令k＝0，得≤x≤，此时f(x)在上单调递增．‎ ‎【答案】　(1)B　(2)A　(3)D 三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路 ‎(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．‎ ‎(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．‎ ‎(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．‎ ‎[提醒]　对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．　 ‎ ‎1．(2020·舟山市普陀三中高三期中)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)为偶函数，则φ＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C.f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝sin，‎ 因为函数f(x)为偶函数，‎ 所以f(－x)－f(x)‎ ‎＝sin－sin＝0，‎ 即sin＝sin，‎ 所以－2x＋φ＋＝2x＋φ＋＋2kπ，或－2x＋φ＋＋2x＋φ＋＝π＋kπ，‎ 即x＝－，k∈Z(舍)或φ＝＋，k∈Z.‎ 因为|φ|<，所以φ＝.‎ ‎2．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知函数f(x)＝sin 2x(1－2sin2x)＋1，则f(x)的最小正周期T＝________，f(T)＝________．‎ 解析：由题意得，f(x)＝sin 2xcos 2x＋1＝sin 4x＋1，所以最小正周期T＝＝，f(T)＝f＝1.‎ 答案：　1‎ ‎3．已知函数f(x)＝sin x的图象与直线kx－y－kπ＝0(k>0)恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3，则＝________．‎ 解析：如图所示，易知x2＝π，x1＋x3＝2x2＝2π，‎ 则k＝＝，‎ 又直线与y＝sin x相切于点A(x3，sin x3)，‎ 则k＝cos x3，‎ 则＝cos x3⇒＝＝，故答案为.‎ 答案： 核心素养系列7　数学抽象——三角函数中ω值的求法 一、利用三角函数的单调性求解 ‎ 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是________．‎ ‎【解析】　令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在上单调递减，所以得6k＋≤ω≤4k＋3.又ω>0，所以k≥0，又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.即≤ω≤3.‎ ‎【答案】　 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．　 ‎ 二、利用三角函数的对称性求解 ‎ (1)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　)‎ A．最小值2　　　　　 B．最大值2‎ C．最小值1 D．最大值1‎ ‎(2)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________．‎ ‎【解析】　(1)因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－＝＋(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝，所以(2k＋1)·＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小．故选A.‎ ‎(2)依题意得cos＝0，则＋＝＋kπ(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ω的最小值为＝2.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)2‎ 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这就说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值．　 ‎ 三、利用三角函数的最值求解 ‎ 已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，f＝f()，且f(x)在区间内有最小值无最大值，则ω＝________．‎ ‎【解析】　因为f＝f，而＝，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，又f(x)在区间内有最小值无最大值，所以f(x)min＝f＝sin＝－1，所以＋‎ eq f(π,3)＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝4k＋.再由f(x)在区间内有最小值无最大值，得≥－，解得ω≤6，所以k＝0，ω＝.‎ ‎【答案】　 利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．　 ‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的函数是(　　)‎ A．y＝2sin　　　　　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：选B.由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x＝对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A，因为sin＝sin π＝0，所以选项A不正确．对于D，sin＝sin＝，所以D不正确，对于B，sin＝sin＝1，所以选项B正确，故选B.‎ ‎2．(2020·合肥市第一次教学质量检测)函数y＝sin(ωx＋)在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为(　　)‎ A.　　　 　B. C.　　 　　D. 解析：选D.由题意得，2ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋kπ(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝0时，ωmin＝，故选D.‎ ‎3．(2020·浙江省名校协作体高三联考)下列四个函数：y＝sin|x|，y＝cos|x|，y＝|tan x|，y＝－ln|sin x|，以π为周期，在上单调递减且为偶函数的是(　　)‎ A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|‎ C．y＝|tan x| D．y＝－ln|sin x|‎ 解析：选D.A.y＝sin|x|在上单调递增，故A错误；B.y＝cos|x|＝cos x周期为T＝2π，故B错误；C.y＝|tan x|在上单调递增，故C错误；D.f(x＋π)＝－ln|sin(x＋π)|＝－ln|sin x|，周期为π，当x∈时，y＝－ln(sin x)是在上单调递减的偶函数，故D正确，故选D.‎ ‎4．设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论错误的是(　　)‎ A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在(，π)上单调递减 解析：选D.根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．所以选D.‎ ‎5．若函数f(x)＝sin(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是(　　)‎ A.∪ B.∪ C. D. 解析：选B.易知函数y＝sin x的单调区间为 ‎[kπ＋，kπ＋]，k∈Z，‎ 由kπ＋≤ωx＋≤kπ＋，k∈Z，得≤x≤，k∈Z，‎ 因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，‎ 所以f(x)在区间(π，2π)内单调，‎ 所以(π，2π)⊆，k∈Z，‎ 所以k∈Z，解得k＋≤ω≤＋，k∈Z，‎ 由k＋≤＋，得k≤，‎ 当k＝0时，得≤ω≤；‎ 当k＝－1时，得－≤ω≤.‎ 又ω>0，所以0<ω≤.‎ 综上，得ω的取值范围是∪.故选B.‎ ‎6．已知函数f(x)＝sin，f′(x)是f(x)的导函数，则函数y＝2f(x)＋f′(x)的一个单调递减区间是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.由题意，得f′(x)＝2cos，所以y＝2f(x)＋f′(x)＝2sin＋2cos＝2sin＝2sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以y＝2f(x)＋f′(x)的一个单调递减区间为，故选A.‎ ‎7．函数y＝lg sin x＋ 的定义域为________．‎ 解析：要使函数有意义，则有 即解得(k∈Z)，‎ 所以2kπ0)，直线y＝与函数f(x)图象相邻两交点的距离为π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点是函数y＝f(x)图象的一个对称中心，且b＝3，求△ABC面积的最大值．‎ 解：(1)函数f(x)＝sin－2cos2x＋1‎ ‎＝sin ωxcos－cos ωxsin－2·＋1‎ ‎＝sin ωx－cos ωx＝sin.‎ 因为f(x)的最大值为，所以f(x)的最小正周期为π，‎ 所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin，‎ 因为sin＝0⇒B＝，‎ 因为cos B＝＝＝，‎ 所以ac＝a2＋c2－9≥2ac－9，ac≤9，‎ 故S△ABC＝acsin B＝ac≤.‎ 故△ABC面积的最大值为.‎ ‎5．已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a，b的值；‎ ‎(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．‎ 解：(1)因为x∈，所以2x＋∈.‎ 所以sin∈，‎ 所以－2asin∈[－2a，a]．‎ 所以f(x)∈[b，3a＋b]，又因为－5≤f(x)≤1，‎ 所以b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.‎ ‎(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，‎ g(x)＝f＝－4sin－1‎ ‎＝4sin－1，‎ 又由lg g(x)>0，得g(x)>1，所以4sin－1>1，‎ 所以sin>，‎ 所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，‎ 其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ