安徽省皖南八校2020届高三8月摸底考试数学（理）试题 21页

‎“皖南八校”2020届高三摸底联考 数学（理科）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解出AB集合，再取交集．‎ ‎【详解】A: ．‎ B: ．‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式、集合交集，属于基础题．‎ ‎2.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到《红楼梦》的概率．‎ ‎【详解】4本名著选两本共有种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有种，‎ 所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，属于基础题．‎ ‎3.若，则（ ）‎ A. 3 B. -3 C. 2 D. -2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用诱导公式化简得到，再利用两角差的正切公式展开，即可算出的值．‎ ‎【详解】因为，解得 故选C ‎【点睛】本题考查正切的诱导公式、两角差的正切公式，属于基础题．‎ ‎4.已知，，，则（ ）‎ A. 7 B. -7 C. 15 D. -15‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据计算出m的值，再计算 ‎【详解】因为，‎ 所以，即 所以，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题．‎ ‎5.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据函数为奇函数排除AB选项，再取特值当时即可得出答案．‎ ‎【详解】函数定义域为R，‎ 因为 所以函数为奇函数，函数图像关于原点对称，排除AB选项．‎ 当时，所以函数过第一象限，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查根据函数表达式选出函数的大致图像，一般利用函数的奇偶性、单调性、定点等性质利用排除法解题，属于基础题．‎ ‎6.公元263年左右，我国数学家刘徽创立了“割圆术”，并利用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.下图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据：，，）‎ A. 24 B. 32 C. 38 D. 46‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按程序框图依次计算即可．‎ ‎【详解】第一次：，判断，循环；‎ 第二次：，判断，循环；‎ 第三次：，判断，结束，输出24‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，条件循环语句，属于基础题．‎ ‎7.下列函数中，以为周期且在区间上单调递减的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算出ABCD的周期，再判断是否在区间上单调递减即可．‎ ‎【详解】A: ，周期为，排除；‎ B: ,不具有周期性，排除；‎ C: ,周期为,在区间上单调递增，排除；‎ D: ,周期为,在区间上单调递减 故选D ‎【点睛】本题考查三角函数的周期、单调区间，属于基础题．‎ ‎8.已知，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算a-b即可打出a与b的大小关系，再由，，，即可得出答案．‎ ‎【详解】.‎ ‎∴，∵，，∴.选B.‎ ‎【点睛】本题考查不等式，比较数的大小关系，一般采用作差法、作商法、根据函数的单调性比较大小，属于基础题 ‎9.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将三视图还原，再计算其体积．‎ ‎【详解】该几何体是一个棱长为2的正方体左右两旁各去掉半径为1的半个圆柱得到的，‎ 体积为.选A.‎ ‎【点睛】本题考查三视图，重点在于三视图的还原，需要熟练掌握常见几何体的三视图，属于基础题．‎ ‎10.数列满足，，，，数列的前项和为，则满足的最小的的值为（ ）‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由知为等差数列，即可求出，再代入知，再利用裂项相消求出，解不等式，即可得出答案．‎ ‎【详解】因为 所以等差数列，，，其公差为 所以，代入得 解得即的最小值为12‎ 故选D ‎【点睛】本题考查等差中项、等差出列通项、裂项相消求数列的前n项和，属于中档题．‎ ‎11.在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出的值，再由是与所成的角，计算出即可．‎ ‎【详解】长方体中，，，，由，知，‎ 又∵，‎ ‎∴是与所成的角.‎ ‎∴在中，，.选D.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，解决这类问题一般有两个方法：几何法（将异面直线平移到同一个平面再计算其夹角）、向量法（利用向量的数量积计算夹角的余弦值），属于基础题．‎ ‎12.设函数的定义域为，且满足，当时，‎ ‎.若时，的最大值为1，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知，可以推出当当时， ；再结合图像求结果.‎ ‎【详解】当时，.；‎ 当时，.；‎ 当时，.；‎ 当时，.；‎ 所以当时，解得 因为的最大值为1，结合图像知 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查已知函数最值，求定义域，这类题一般画出图形，通过数形结合，解题．属于中档题．‎ 二、填空题.‎ ‎13.若，满足约束条件，则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出可行域，再令z=0,画出，通过上下平移的到z的取值范围 ‎【详解】画出可行域：‎ 由图知直线过A(1,1)时z有最小值-1;‎ 直线过C(5,-1)时z有最大值7;‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划，其关键点在于画出可行域，理解目标函数的意义．属于基础题．‎ ‎14.某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在（单位：分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为_____.‎ ‎【答案】220‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据先由总频率为1计算出a的值，再频率分布直方图计算出数学成绩不低于100分的频率，再乘总人数即可．‎ ‎【详解】根据频率分布直方图知：；‎ 计算出数学成绩不低于100分的频率为：；‎ 所以这次测试数学成绩不低于100分的人数为人 ‎【点睛】本题考查频率分布直方图，需要注意的是频率分布直方图的纵坐标为频率组距．属于基础题 ‎15.已知，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角展开，化简，再与联立即可解出．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题考查解三角函数，注意隐含条件的使用．属于基础题 ‎16.已知点是函数的图象上的一点，则点到直线的距离的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将P点设出来，利用点到直线的距离公式表示出点P到直线的距离，再求最小值即可．‎ ‎【详解】设 则点到直线的距离为：‎ 因为 ‎，‎ 即．‎ ‎【点睛】本题考查点到直线的距离公式、对勾函数的最值，属于基础题 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.‎ ‎17.在等比数列中，，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立方程组，即可解出、，即可写出数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）知，代入得到，再利用分组求和，即可求出数列的前项和.‎ ‎【详解】解：（1）设的公比为，由，‎ 得，∴，∴，‎ ‎∵，，成等差数列，∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、分组求和．属于基础题．‎ ‎18.在锐角中，内角，，的对边分别为，，.已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求的值.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理边化角，再化简，即可求出C角；‎ ‎（2）利用角C的余弦定理，即可求出的值．‎ ‎【详解】解：（1）在中，由及正弦定理，‎ 得.‎ ‎∵，，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，都是锐角，∴，∴.‎ ‎（2）法一：在中，由余弦定理，得，‎ ‎∴，∴.‎ 当时，，，中，最大，，锐角，‎ 当时，，，中，最大，，‎ 是钝角，与是锐角不符.‎ ‎∴.‎ 法二：在中，由正弦定理，得.‎ ‎∵是锐角，∴，‎ ‎∵.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，需要注意的是利用余弦定理解出的两个结果是否满足题意需要进一步的检验．属于基础题 ‎19.在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，，分别是棱，，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，证明平面平面，即可说明平面；‎ ‎（2）先计算出，再利用等体积法，即可求出点到平面的距离.‎ ‎【详解】（1）证明：连接，∵在矩形中，，分别是，中点，‎ ‎∴，，∴四边形是平行四边形，∴.‎ ‎∵是的中点，∴.‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面，平面.‎ ‎∵，∴平面平面.‎ ‎∵平面，∴平面.‎ ‎（2）解：法一：∵平面，，∴平面.‎ 过在平面内，作，垂足为，则.‎ ‎∵，∴平面，∴长是点到平面的距离.‎ 在矩形中，是中点，，，.‎ ‎∴.‎ ‎∵，，∴，‎ 即点到平面的距离为.‎ 法二：设到平面的距离为，‎ 在矩形中，，，∴.‎ ‎∵平面，平面，∴，‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴的面积为.‎ ‎∵的面积为，，‎ ‎∴，∴，即点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查利用面面平行的性质定理证明线面平行、利用等体积法求点到平面的距离，属于基础题．‎ ‎20.影响消费水平的原因很多，其中重要的一项是工资收入.研究这两个变量的关系的一个方法是通过随机抽样的方法，在一定范围内收集被调查者的工资收入和他们的消费状况.下面的数据是某机构收集的某一年内上海、江苏、浙江、安徽、福建五个地区的职工平均工资与城镇居民消费水平（单位：万元）.‎ 地区 上海 江苏 浙江 安徽 福建 职工平均工资 ‎9.8‎ ‎6.9‎ ‎6.4‎ ‎6.2‎ ‎5.6‎ 城镇居民消费水平 ‎6.6‎ ‎4.6‎ ‎4.4‎ ‎3.9‎ ‎3.8‎ ‎（1）利用江苏、浙江、安徽三个地区的职工平均工资和他们的消费水平，求出线性回归方程，其中，；‎ ‎（2）若由线性回归方程得到估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1万，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？（的结果保留两位小数）‎ ‎（参考数据：，）‎ ‎【答案】(1) . (2) 得到的线性回归方程是可靠的.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先计算出，代入公式求出，，再代入即可;‎ ‎（2）将与代入比较即可．‎ ‎【详解】解：（1），.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴所求线性回归方程为.‎ ‎（2）当时，，，‎ 当时，，，‎ 所以得到的线性回归方程是可靠的.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的计算，属于基础题．‎ ‎21.已知圆的圆心的坐标为，且圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于，两点，直线与直线的交点为.‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）求的最小值；‎ ‎（3）问：是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) . (2) ； (3) 是定值，定值为-10.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据圆与直线：相切，即圆心到直线的距离等于半径，求出半径，即可写出圆；‎ ‎（2）根据知当为最大值时，有最小值；‎ ‎（3）设中点为，，再设直线，联立方程组，计算即可得出．‎ ‎【详解】解：（1）∵圆与直线：相切，圆心为，‎ ‎∴半径，‎ ‎∴圆的方程为.‎ ‎（2）∵，其中是圆心到直线的距离，‎ ‎∴最大时，最小.‎ ‎∵当是弦中点时，最大，且，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎（3）设中点为，则即，∴，‎ 且，‎ ‎∴.‎ 当与轴垂直时，方程为，代入圆方程得，‎ ‎∴中点的坐标为，直线与直线的交点坐标为，‎ ‎∴.∵，∴，‎ ‎∴；‎ 当与轴不垂直时，设方程为，‎ 由，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴是定值，定值为-10.‎ ‎【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，需要注意的是，在设直线时，分直线斜率存在和不存在．属于中档题 ‎22.已知函数，当时，取值范围是.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若函数有3个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) . (2) ；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）讨论k的取值范围，说明在上的单调性，求出对应的值域，即可求出k的值；‎ ‎（2）转换为对恒成立，换元求出的最小值即可；‎ ‎（3）令，则，等价转换为有两个不等的实数解，且两解，满足，，利用根的分布，求出的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）当时，在上是增函数，，与已知不符.‎ 当且时，，当且仅当时，取等号 在是减函数，在上是增函数.‎ 当时，，，‎ 此时，符合题意.‎ 当时，由题意知，或，，求得而，不合题意.‎ ‎∴.‎ ‎（2）可化为，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，时，取最小值0.‎ ‎∴即的取值范围是.‎ ‎（3）由题意知，，‎ 令，则，函数有3个零点，‎ 化为有两个不等的实数解，且两解，满足，，‎ 设，则或，‎ ‎∴即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的定义域与值域求参数、不等式恒成立求参数的取值范围、利用根的分布求参数的取值范围，其中涉及到换元法、等价转换等思想．属于难题．‎ ‎ ‎