湖北省荆州中学2020-2021高二数学9月月考试题（Word版带答案） 9页

荆州中学2020-2021学年高二上学期9月月考 数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设，则（ ）‎ A．0 B．3 C．1 D．‎ ‎2．已知向量，的夹角为，且，，则（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎3．已知直线与直线平行，则（ ）‎ А． B．3 C．或3 D．5‎ ‎4．分别独立的扔一枚骰子和硬币，并记下骰子向上的点数和硬币朝上的面，则结果中含有“1点或正面向上”的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差（即等差）降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得（ ）斤？‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知点，，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）‎ A．或 B． C． D．‎ ‎7．已知数列满足，若函数是定义在上的奇函数，且，，则（ ）‎ А．2 B．0 C． D．4‎ ‎8．已知三棱锥的四个顶点在球球面上．若，当三棱锥的体积取到最大值时，球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）‎ ‎9．已知下列各组命题，其中是的充分必要条件的是（ ）‎ A．或；有两个不同的零点 B．；是偶函数 C．；，，‎ D．；‎ ‎10．将函数的图象向左平移个单位，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，则关于的图象，下列结论正确的是（ ）‎ A．周期为 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．在单调递增 ‎11．在中，在线段上，且，若，，则（ ）‎ A． B．的面积为 C．的周长为 D．为钝角三角形 ‎12．将个数排成行列的一个数阵，如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，，记这个数的和为．下列结论正确的有（ ）‎ ‎ ……‎ ‎ ……‎ ‎ ……‎ ‎……‎ ‎ ……‎ A． B．‎ C． D．‎ 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共200分．）‎ ‎13．已知，若，则________．‎ ‎14．对任意实数，，定义运算“”如下：若，则实数的取值范围是________．‎ ‎15．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切围柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如下图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为．若“牟合方盖”的体积为，则正方体的外接球的表面积为________．‎ ‎16．设，则的最小值是________．‎ 四、解答题（本题共6小题，共70分）‎ ‎17．已知的三个顶点分别为，，．‎ ‎（1）求边上的中线所在直线的方程；‎ ‎（2）求边上的高所在直线的方程．‎ ‎18．已知的内角，，所对边分别为，，，，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）从①，②两个条件中选一个作为已知条件，求的值．‎ ‎19．已知数列的前项和为，且．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）若，求的前项和．‎ ‎20．某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示，已知，．路宽米．设．‎ ‎（1）求灯柱的高（用表示）；‎ ‎（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？‎ ‎21．如图，是由两个全等的菱形和组成的空间图形，，，为中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）如果二面角的平面角为．‎ ‎①求点到平面的距离；‎ ‎②求直线与平而所成角的正弦值．‎ ‎22．已知，且的图象经过点．‎ ‎（1）求数列的通项公式：‎ ‎（2）当为奇数时，设，是否存在整数和，使不等式恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．‎ 荆州中学2019级九月考试 答案和解析 ‎1．В 2．B 3．A 4．D 5．C 6．A 7．C 8．D 9．AC 10．ABD 11．BCD 12．ACD ‎13． 14． 15． 16．4‎ ‎17．解：（1）因为，，所以的中点为．（1分）‎ 因为在边上的中线上，所以所求直线方程为，（2分）‎ 即边上的中线所在直线的方程为．（45分）‎ ‎（2）因为，，所以直线的斜率为．（5分）‎ 因为边上的高所在直线与直线垂直，所以边上的高所在直线的斜率为．（7分）‎ 因为在边上的高上，所以所求直线方程为，（10分）‎ 即边上的高所在直线的方程为．（10分）‎ ‎18．解：（1）由，，得：，‎ 又因为，‎ 所以．（6分）‎ ‎（2）选择①作为己知条件．‎ 在中，由，以及正弦定理，‎ 得，解得，‎ 由，得为锐角，‎ 所以，‎ 因为在中，，所以，所以．（12分）‎ 选择②作为已知条件，‎ 因为在中，，所以，所以或，所以，故．（12分）‎ ‎19．解：（Ⅰ）数列的前项和为，，①．‎ 所以当时，②，‎ ‎①②得：，‎ 所以（常数），‎ 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．‎ 所以：．‎ ‎（Ⅱ），‎ 所以：，‎ 则：．‎ ‎20．解：（1）∵与地面垂直，，∴，‎ 在中，‎ 由正弦定理得，得，‎ 在中，，‎ 由正弦定理得，∴‎ ‎．‎ ‎∴，‎ ‎（2）中，‎ 由正弦定理得，得，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴当时，取得最小值．‎ 故该公司应设置，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小，最小值为米．‎ ‎21．（1）证明：如图，连接、，‎ 在菱形中，∵，∴是正三角形，‎ ‎∴，同理在菱形中，可证，且，‎ ‎∴平面，∴‎ ‎（2）①解：由（1）知，是二面角的平面角，‎ 即，又，‎ ‎∴是正三角形，故有，‎ 如图，取的中点，连接，则，‎ 又由（1）得，且，‎ ‎∴平面，且，‎ 又，在直角中，，‎ ‎∴，‎ 设到平面的距离为，‎ 则，‎ ‎，‎ 解得 ‎②记点在平面的投影为点，则为直线与平面所成角 故直线与平面所成角正弦值为 ‎22．解：（1）由题意得，即①‎ 时，②‎ ‎①②：‎ 当时，也符合上式 故数列的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）知：‎ 为奇数时，‎ ‎∴‎ ‎①‎ ‎②‎ 由①②得：‎ ‎∴‎ 令，其中为正奇数 则 ‎∴随的增大而增大，∴为的增函数，‎ 当时，‎ 而 ‎∴‎ 易知：使成立的的最大值为1，的最小值为3，‎ ‎∴的最小值为2．‎