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- 2021-06-12 发布
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专题四 新题原创强化训练
第六关
一、选择题
1.已知函数,则方程恰有两个不同实数根时,实数的取值范围是( )(注:为自然对数的底数)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
考点:1.分段函数图象;2.利用导数求曲线的切线方程;3.图象的交点问题.
2.已知平面平面,,且.是正方形,在正方形内部有一点,满足与平面所成的角相等,则点的轨迹长度为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意,以为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图1所示,则,,设,易知直线与平面所的角分别为,均为锐角,且,所以,即,因此,整理得,由此可得,点在正方形内的轨迹是以点为圆心,半径为的圆弧上,如图2所示,易知圆心角,所以.故选C.
3.椭圆左右焦点分别为为椭圆上任一点且最大值取值范围是,其中,则椭圆离心率取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ,因此 ,选B.
4.设正实数,,满足,则当取得最大值时,的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
5.已知数列满足,,则( )
A.-6 B.6
C. -2 D.2
【答案】D
【解析】同理,,而
,故选A.
6.已知是内的一点,且,,若,,的面积分别为,则的最小值为( )
A. 20 B. 18 C. 16 D. 9
【答案】B
【解析】由题意得 ,又 ,所以
因此 ,当且仅当 时取等号,从而选B.
7.在中,、、的对边分别为、、,且,,则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
8.已知,直线与函数的图象在处相切,设,若在区间上,不等式恒成立,则实数( )
A.有最小值 B.有最小值
C.有最大值 D.有最大值
【答案】D
【解析】 本题综合导数,曲线的切线,不等式恒成立等基础知识,难度较大.注意到函数,所以,即得,又点在直线上,所以,得.又,所以,,当时,,所以在上单调递增,所以,所以在上单调递增,根据不等式恒成立的意义可得,所以或,所以的最大值为,无最小值.故选D.
9. 已知数列的前项和,正项等比数列中,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
10. 若函数与函数有公切线,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设公切线与函数切于点,则切线方程为;设公切线与函数切于点,则切线方程为,所以有∵,∴.
又,令,∴.
设,则,∴在(0,2)上为减函数,则,∴,故选A.
11. 函数的图象与直线从左至右分别交于点,与直线从左至右分别交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为,则
的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
在同一坐标系中作出,,的图象,如图,设,,,,由,得,,由=,得,.依照题意得
,∴,故选B.
12. 在中,分别为边上的点,且,,若,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
,故选B.
二.填空题
13.若对恒成立,则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
试题分析:当为偶数时,,而;当为奇数时,,而.所以的取值范围是.
考点:不等式.
14.已知函数在上是增函数,函数,当时,函数的最大值与最小值的差为,则 .
【答案】
【解析】
15.如图,设G、H分别为△的重心、垂心,F为线段GH的中点,若△外接圆的半径为1,则 .
【答案】3
【解析】
试题分析:设外心为则三点共线,且所以
,同理可得,,因此
16. 在△中,若,点,分别是,的中点,则的取值范围
为 .
【答案】
【解析】设分别是的中点,
, 所以由正弦定理得,
,设,结合,由可得.
,故答案为.
三.解答题
17.已知数列的前项和为,.
(Ⅰ)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求证:.
【解析】(Ⅰ)由得:
,即:
,所以是以为首项,公比为3的等比数列,
由知
,即
(Ⅱ)
18.北京时间3月15日下午,谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量,获得本场比赛胜利,最终人机大战总比分定格在.人机大战也引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
(1)根据已知条件完成如图列联表,并据此资料判断你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关?
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记所抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列,期望和方差.
附:,其中.
0.05
0.010
3.74
6.63
【解析】
(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“围棋迷”有25人,
从而列联表如下:
非围棋迷
围棋迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将列联表中的数据代入公式计算,得
因为,所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关.
(2)由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为.由题意,从而的分布列为
0
1
2
3
,.
19.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面,分别为的中点,点在线段上.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求的值.
【解析】(Ⅰ)证明:在平行四边形中,因为,,
所以.由分别为的中点,得,所以.
因为侧面底面,且,所以底面.
又因为底面,所以.
又因为,平面,平面,
所以平面.
因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等,
所以,即,所以 ,
解得,或(舍). 综上所得:
20.已知椭圆的离心率是,上顶点是抛物线的焦点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若是椭圆上的两个动点,且是坐标原点),由点作于,试求点的轨迹方程.
【解析】(Ⅰ)由题设知 ①
又 ②
所以椭圆的标准方程为
(Ⅱ)若直线轴,设直线,并联立椭圆方程解出
,,,,由得
定值;
若直线不平行轴,设直线,,,联立椭圆 的方程消得,设,,,,由韦达定理得 ③, ④,由得,即,即,
即 ⑤
把③、④代入⑤并化简得 ,所以 又原点到直线的距离定值,所以动点的轨迹是以点 为圆心,为半径的圆,其方程为
.
21.已知函数,其中常数.
(Ⅰ)讨论在上的单调性;
(Ⅱ)当时,若曲线上总存在相异两点,使曲线在两点处的切线互相平行,试求的取值范围.
③当时,,
所以时,;时,
所以函数在上是减函数,在上是增函数.
(Ⅱ)由题意,可得,且
即,化简得,
由,得
即对恒成立,
令,则对恒成立
∴在上单调递增,则,所以,
所以,
故取值范围为.
22.在极坐标系中,已知三点.
(Ⅰ)求经过的圆的极坐标方程;
(Ⅱ)以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆的参数方程为(为参数),若圆与圆外切,求实数的值.
【解析】(Ⅰ)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,
∴点O(0,0),A(0,2),B(2,2);
过O,A,B三点的圆C的普通方程是(x-1)2+(y-1)2=2,
即x2-2x+y2-2y=0;
化为极坐标方程是ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ,
即5分