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  • 2021-06-12 发布

专题4-6+新题原创强化训练+06-2017年高考数学备考优生百日闯关系列

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专题四 新题原创强化训练 第六关 一、选择题 ‎1.已知函数,则方程恰有两个不同实数根时,实数的取值范围是( )(注:为自然对数的底数)‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点:1.分段函数图象;2.利用导数求曲线的切线方程;3.图象的交点问题.‎ ‎2.已知平面平面,,且.是正方形,在正方形内部有一点,满足与平面所成的角相等,则点的轨迹长度为 ( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】根据题意,以为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图1所示,则,,设,易知直线与平面所的角分别为,均为锐角,且,所以,即,因此,整理得,由此可得,点在正方形内的轨迹是以点为圆心,半径为的圆弧上,如图2所示,易知圆心角,所以.故选C.‎ ‎3.椭圆左右焦点分别为为椭圆上任一点且最大值取值范围是,其中,则椭圆离心率取值范围( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】因为 ,因此 ,选B.‎ ‎4.设正实数,,满足,则当取得最大值时,的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎5.已知数列满足,,则( )‎ A.-6 B.6 ‎ C. -2 D.2‎ ‎【答案】D ‎【解析】同理,,而 ‎,故选A.‎ ‎6.已知是内的一点,且,,若,,的面积分别为,则的最小值为( )‎ A. 20 B. 18 C. 16 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 ,又 ,所以 因此 ,当且仅当 时取等号,从而选B.‎ ‎7.在中,、、的对边分别为、、,且,,则的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎8.已知,直线与函数的图象在处相切,设,若在区间上,不等式恒成立,则实数( )‎ A.有最小值 B.有最小值 ‎ C.有最大值 D.有最大值 ‎【答案】D ‎【解析】 本题综合导数,曲线的切线,不等式恒成立等基础知识,难度较大.注意到函数,所以,即得,又点在直线上,所以,得.又,所以,,当时,,所以在上单调递增,所以,所以在上单调递增,根据不等式恒成立的意义可得,所以或,所以的最大值为,无最小值.故选D.‎ ‎9. 已知数列的前项和,正项等比数列中,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎10. 若函数与函数有公切线,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设公切线与函数切于点,则切线方程为;设公切线与函数切于点,则切线方程为,所以有∵,∴.‎ 又,令,∴.‎ 设,则,∴在(0,2)上为减函数,则,∴,故选A.‎ ‎11. 函数的图象与直线从左至右分别交于点,与直线从左至右分别交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为,则 的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】‎ 在同一坐标系中作出,,的图象,如图,设,,,,由,得,,由=,得,.依照题意得 ,∴,故选B.‎ ‎ ‎ ‎12. 在中,分别为边上的点,且,,若,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ,故选B.‎ 二.填空题 ‎13.若对恒成立,则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:当为偶数时,,而;当为奇数时,,而.所以的取值范围是.‎ 考点:不等式.‎ ‎14.已知函数在上是增函数,函数,当时,函数的最大值与最小值的差为,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎15.如图,设G、H分别为△的重心、垂心,F为线段GH的中点,若△外接圆的半径为1,则 .‎ ‎ ‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设外心为则三点共线,且所以 ‎,同理可得,,因此 ‎16. 在△中,若,点,分别是,的中点,则的取值范围 为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设分别是的中点,‎ ‎, 所以由正弦定理得,‎ ‎,设,结合,由可得.‎ ‎,故答案为.‎ 三.解答题 ‎17.已知数列的前项和为,. ‎ ‎(Ⅰ)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求证:.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由得: ,即: ‎ ,所以是以为首项,公比为3的等比数列, ‎ 由知 ‎ ,即 ‎ ‎(Ⅱ) ‎ 18.北京时间3月15日下午,谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量,获得本场比赛胜利,最终人机大战总比分定格在.人机大战也引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.‎ ‎(1)根据已知条件完成如图列联表,并据此资料判断你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关?‎ ‎(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记所抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列,期望和方差.‎ 附:,其中.‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎3.74‎ ‎6.63‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“围棋迷”有25人,‎ 从而列联表如下:‎ 非围棋迷 围棋迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算,得 ‎ 因为,所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关.‎ ‎(2)由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为.由题意,从而的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ,.‎ ‎19.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面,分别为的中点,点在线段上.‎ ‎ (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求的值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)证明:在平行四边形中,因为,,‎ 所以.由分别为的中点,得,所以. ‎ 因为侧面底面,且,所以底面. ‎ 又因为底面,所以. ‎ 又因为,平面,平面, ‎ 所以平面. ‎ ‎ ‎ 因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等,‎ 所以,即,所以 ,‎ 解得,或(舍). 综上所得: ‎ ‎20.已知椭圆的离心率是,上顶点是抛物线的焦点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)若是椭圆上的两个动点,且是坐标原点),由点作于,试求点的轨迹方程.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题设知 ①‎ 又 ②‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎(Ⅱ)若直线轴,设直线,并联立椭圆方程解出 ,,,,由得 定值;‎ 若直线不平行轴,设直线,,,联立椭圆 的方程消得,设,,,,由韦达定理得 ③, ④,由得,即,即,‎ 即 ⑤‎ 把③、④代入⑤并化简得 ,所以 又原点到直线的距离定值,所以动点的轨迹是以点 为圆心,为半径的圆,其方程为 . ‎ ‎ 21.已知函数,其中常数.‎ ‎(Ⅰ)讨论在上的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当时,若曲线上总存在相异两点,使曲线在两点处的切线互相平行,试求的取值范围.‎ ‎③当时,,‎ 所以时,;时, 所以函数在上是减函数,在上是增函数.‎ ‎(Ⅱ)由题意,可得,且 即,化简得, 由,得 即对恒成立,‎ 令,则对恒成立 ‎∴在上单调递增,则,所以,‎ 所以,‎ 故取值范围为.‎ ‎22.在极坐标系中,已知三点.‎ ‎(Ⅰ)求经过的圆的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆的参数方程为(为参数),若圆与圆外切,求实数的值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,‎ ‎∴点O(0,0),A(0,2),B(2,2);‎ 过O,A,B三点的圆C的普通方程是(x-1)2+(y-1)2=2,‎ 即x2-2x+y2-2y=0;‎ 化为极坐标方程是ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ,‎ 即5分

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