2020版高考数学一轮复习（练习·鲁京津琼专用）9平面解析几何 第72练 高考大题突破练 _圆锥曲线中的范围最值问题 6页

第72练 高考大题突破练—圆锥曲线中的范围、最值问题 ‎[基础保分练]‎ ‎1．(2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．‎ ‎(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；‎ ‎(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x＜0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．‎ ‎2．已知圆M：x2＋y2＋2y－7＝0和点N(0,1)，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程；‎ ‎(2)点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC的斜率k1，k2满足k1k2＝4，求△ABC面积的最大值．‎ ‎3.如图，P为圆M：(x－)2＋y2＝24上的动点，定点Q(－，0)，线段PQ的垂直平分线交线段MP于点N.‎ ‎(1)求动点N的轨迹方程；‎ ‎(2)记动点N的轨迹为曲线C，设圆O：x2＋y2＝2的切线l交曲线C于A，B两点，求|OA|·|OB|的最大值．‎ ‎[能力提升练]‎ ‎4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其短轴的一个端点与两个焦点构成面积为的正三角形，过椭圆C的右焦点作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，试求的取值范围．‎ 答案精析 ‎1．(1)证明　设P(x0，y0)，A，B.‎ 因为PA，PB的中点在抛物线上，‎ 所以y1，y2为方程2＝4·，‎ 即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．‎ 所以y1＋y2＝2y0，‎ 所以PM垂直于y轴．‎ ‎(2)解　由(1)可知 所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，‎ ‎|y1－y2|＝2.‎ 所以△PAB的面积 S△PAB＝|PM|·|y1－y2|‎ ‎＝ 因为x＋＝1(－1≤x0＜0)，‎ 所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，‎ 所以△PAB面积的取值范围是.‎ ‎2．解　(1)圆M：x2＋y2＋2y－7＝0的圆心为M(0，－1)，半径为2，点N(0,1)在圆M内，因为动圆P经过点N且与圆M相切，‎ 所以动圆P与圆M内切．设动圆P半径为r，则2－r＝|PM|.‎ 因为动圆P经过点N，所以r＝|PN|，|PM|＋|PN|＝2>|MN|，‎ 所以曲线E是以M，N为焦点，长轴长为2的椭圆．‎ 由a＝，得b2＝2－1＝1，‎ 所以曲线E的方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)当直线BC的斜率为0时，不合题意．‎ 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线BC：x＝ty＋m，联立方程组 得(1＋2t2)y2＋4mty＋2m2－2＝0，‎ y1＋y2＝－，y1y2＝，‎ 又k1k2＝4，知y1y2＝4(x1－1)(x2－1)＝4(ty1＋m－1)·(ty2＋m－1)＝4t2y1y2＋4(m－1)t(y1＋y2)＋4(m－1)2.‎ 代入得(1－4t2)＝4(m－1)＋4(m－1)2.‎ 又m≠1，化简得(m＋1)(1－4t2)＝2(－4mt2)＋2(m－1)·(1＋2t2)，‎ 解得m＝3，故直线BC过定点(3,0)．‎ 由Δ>0，解得t2>4，‎ S△ABC＝·2·|y2－y1|＝ ‎＝ ‎＝≤.‎ 综上，△ABC面积的最大值为.‎ ‎3．解　(1)因为|NM|＋|NQ|＝|NM|＋|NP|＝|MP|＝2>2＝|MQ|，‎ ‎∴动点N的轨迹为椭圆，‎ ‎∴a＝，c＝，∴b2＝3，‎ ‎∴动点N的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(2)①当切线l垂直坐标轴时，|OA|·|OB|＝4；‎ ‎②当切线l不垂直坐标轴时，设切线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线和圆相切，得m2＝2＋2k2.‎ 由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)‎ ‎＝(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2‎ ‎＝(k2＋1)·－km·＋m2‎ ‎＝＝0，‎ ‎∴∠AOB＝90°，又S△ABC＝|OA|·|OB|＝××|AB|，‎ ‎∴|OA|·|OB|＝|AB|.‎ 又∵|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝，‎ 令t＝k2，则|AB|＝2 ‎＝2≤3，‎ 当且仅当k＝±时，等号成立，‎ ‎∴|OA|·|OB|≤3，‎ 综上，|OA|·|OB|的最大值为3.‎ ‎4．解　(1)设右焦点的坐标为(c,0)，易知面积为的正三角形的边长为2，‎ 依题意知，a2＝b2＋c2＝4，c＝a＝1，‎ 所以b2＝a2－c2＝3，‎ 所以，椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y＝k(x－1)，‎ 将其代入＋＝1中，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，其中，Δ＝144(k2＋1)>0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝－2k＝，‎ 因为P为线段AB的中点，‎ 所以点P的坐标为.‎ 故点P的坐标为.‎ 又直线PD的斜率为－，‎ 直线PD的方程为y－ ‎＝－，‎ 令y＝0，得x＝，则点D的坐标为，‎ 所以|DP|‎ ‎＝ ‎＝，‎ 又|AB|＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 所以＝＝ ‎＝，‎ 又k2＋1>1，所以0<<1，‎ 所以0<<.‎ 所以的取值范围是.‎