专题40+抛物线（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 9页

‎1．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为(　　)‎ A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知p>0，因为抛物线y2＝2px，所以其准线方程为x＝－，因为点P(2，y0)到其准线的距离为4，所以|－－2|＝4，所以p＝4，故抛物线方程为y2＝8x。故选C。 ‎ ‎2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5。所以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x ‎【答案】C ‎3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是(　　)‎ A．2± B．2＋ C.±1 D.－1‎ ‎【答案】A ‎【解析】F，设P，Q(y1≠y2)。由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得＋＝＋，所以y＝y，又y1≠y2，所以y1＝－y2，所以|PQ|＝2|y1|＝2，|y1|＝1，所以|PF|＝＋＝2，解得p＝2±。‎ ‎4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎5．直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则线段AB的长为(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l0，A(xA，yA)，B(xB，yB)，C是AB的中点，其坐标为(xC，yC)，分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线的定义得|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝xA＋1＋xB＋1＝xA＋xB＋2＝2xC＋2＝8。‎ ‎6．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B．2‎ C.＋1 D.－1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，因为两条曲线交点的连线过点F，‎ 所以两条曲线的一个交点为，‎ 代入双曲线方程得－＝1，‎ 又＝c，‎ 所以－4×＝1，化简得c4－6a2c2＋a4＝0，‎ 所以e4－6e2＋1＝0，‎ 所以e2＝3＋2＝(1＋)2，‎ 所以e＝＋1，‎ 故选C。‎ ‎7．若动圆的圆心在抛物线y＝x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点(　　)‎ A．(0,2) B．(0，－3)‎ C．(0,3) D．(0,6)‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】直线y＋3＝0是抛物线x2＝12y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．‎ ‎8．已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为(　　) A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】设M(x，y)，则由题意，得＝2，＝2，则x＝4－，y＝4.又点M在抛物线C上，所以42＝2p，解得p＝4，故选D.‎ ‎9．已知点P(x0，y0)是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆C：(x＋2)2＋(y－4)2＝1上的一个动点，则x0＋|PQ|的最小值为(　　)‎ A．2－1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C　‎ ‎10．已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若＝λ，则实数λ为(　　)‎ A． B． C．3 D．2‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】把点A代入抛物线方程，得2＝2p×，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则B(－1,0)．设M，‎ 则＝，＝.‎ 由＝λ，‎ 得解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选D. ‎ ‎11．已知直线l：y＝kx＋t与圆：x2＋(y＋1)2＝1相切，且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是________________．‎ ‎【答案】t>0或t<－3　‎ ‎12．设抛物线C：y2＝2x的焦点为F.若抛物线C上点P的横坐标为2，则|PF|＝________.‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】由题意知p＝1，点P的横坐标xP＝2，则由抛物线的定义，‎ 得|PF|＝xP＋＝2＋＝.‎ ‎13．已知点P(2,1)，若抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是________．‎ ‎【答案】2x－y－3＝0　‎ ‎【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2，且y＝4x1，y＝4x2，两式相减得2(y1－y2)＝4(x1－x2)，且x1≠x2，则直线AB的斜率kAB＝＝2，又弦AB过点P，则所求直线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.‎ ‎14．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.‎ ‎【答案】2　‎ ‎【解析】y2＝2px的准线为x＝－.‎ 由于△ABF为等边三角形．‎ 因此不妨设A，B.‎ 又点A，B在双曲线y2－x2＝1，‎ 从而－＝1，‎ 所以p＝2.‎ ‎15．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(a，－2)到焦点的距离为3，则抛物线的方程是________。‎ ‎【答案】x2＝－4y ‎【解析】由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，抛物线上的点P(a，－2)到焦点的距离即为点P到准线y＝的距离，所以＋2＝3，解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y。‎ ‎16．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点。若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________。‎ ‎【答案】【1，＋∞)‎ ‎17．已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是________。‎ ‎【答案】(，＋∞)‎ ‎【解析】抛物线焦点F(1,0)，由题意05，故e>。‎ ‎18．已知曲线C上的动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l：y＝－2的距离小1。‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A，B。直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由。‎ ‎【解析】(1)因为动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l：y＝－2的距离小1，所以动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离与直线l′：y＝－1的距离相等。‎ 所以曲线C是以F(0,1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线，所以曲线C的方程是：x2＝4y。‎ ‎(2)设E(a，－2)，切点为，‎ 由x2＝4y得y＝，‎ 所以y′＝，所以＝，‎ 解得：x0＝a±，‎ 所以A，‎ B，‎ 化简直线AB方程得：‎ y－2＝x，所以直线AB恒过定点(0,2)。 ‎ ‎19．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1)。‎ ‎(1)求抛物线的标准方程。‎ ‎(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程。‎ ‎(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A，B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程。‎ ‎【解析】(1)设抛物线的标准方程为x2＝2py，把点P(2,1)代入可得4＝2p，所以p＝2，故所求的抛物线的标准方程为x2＝4y。‎ x2－4k′x＋4k′－4＝0，所以x1＋x2＝4k′＝2，‎ 所以k′＝，所以AB的方程为y－1＝(x－1)，‎ 即x－2y＋1＝0。‎ ‎20．已知抛物线C：y2＝2px的焦点坐标为F(1,0)，过F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点。‎ ‎(1)求抛物线C的方程。‎ ‎(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值。‎ ‎21.如图872所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．‎ 图872‎ ‎(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；‎ ‎(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．‎ ‎【解析】　(1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，‎ 则由得 ‎22．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12.‎ ‎(1)求抛物线的方程； 学……科网 ‎(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程. ‎ ‎【解析】　(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，‎ 得y2－2pmy＋4p＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，‎ 则x1x2＝＝4，‎ 因为·＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2，‎ 则抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.‎ 设AB的中点为M，‎ 则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.①‎ 又|AB|＝|y1－y2|＝.②‎ 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，‎ 解得m2＝3，m＝±，‎ 所以直线l的方程为 x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.‎ ‎23．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎(1)若＝2 ，求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值. ‎