高中数学人教A版必修一教学训练（学生版）3_1_1 3页

‎(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)[来源:Zxxk.Com]‎ ‎1．函数f(x)＝x－的零点有(　　)‎ A．0个　　　　　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．无数个 解析：　令f(x)＝0，即x－＝0.‎ ‎∴x＝±2.故f(x)的零点有2个，选C.‎ 答案：　C ‎2．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．－2 D．2‎ 解析：　由根与系数的关系得 ‎－3＋x＝－，∴x＝1.‎ 即另一个零点是1，故选B.‎ 答案：　B ‎3．设函数f(x)＝x3－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ 解析：　方法一：令f(x)＝x3－x－2，‎ 则f(0)＝0－－2＝－4<0，‎ f(1)＝1－－2＝－1<0，‎ f(2)＝23－0＝7>0，[来源:Z&xx&k.Com]‎ f(3)＝27－1＝26>0，‎ f(4)＝43－2＝63>0，‎ ‎∴f(1)·f(2)<0，‎ 故x0所在的区间是(1,2)．‎ 方法二：数形结合法，如图所示．‎ 答案：　B ‎4．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)‎ A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0‎ C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0‎ 解析：　y＝2x在(1，＋∞)上是增函数 y＝在(1，＋∞)上是增函数 ‎∴f(x)＝2x＋在(1，＋∞)上是增函数．‎ ‎∴y＝f(x)只有x0一个零点 ‎∴x1x0时，f(x2)>0.故选B.‎ 答案：　B 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．函数f(x)＝零点的个数为________．‎ 解析：　x≤0时，令x2＋2x－3＝0‎ 解得x＝－3‎ x＞0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增 f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0‎ 故在(0，＋∞)上有且只有一个零点．‎ 答案：　2‎ ‎6．已知f(x)是R上的奇函数，函数g(x)＝f(x＋2)，若f(x)有三个零点，则g(x)的所有零点之和为________．‎ 解析：　∵f(x)是R上的奇函数，图象关于原点对称，‎ ‎∴f(x)的三个零点中，一个是原点，另两个关于原点对称，不妨设为－x0，x0，即f(－x0)＝f(x0)＝f(0)＝0.‎ ‎∵g(x)＝f(x＋2)，设g(x)的零点为x1，‎ ‎∴g(x1)＝f(x1＋2)＝0.‎ ‎∴x1＋2＝－x0或x1＋2＝x0或x1＋2＝0.‎ ‎∴g(x)的所有零点之和为－x0－2－2＋x0－2＝－6.‎ 答案：　－6‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．‎ 解析：　方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，‎ f(2)＝4＋lg 3－2>0，‎ ‎∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，‎ 又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点．‎ 方法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．‎ 由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，‎ 即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．‎ ‎8．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．‎ 解析：　设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1‎ ‎∵f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，[来源:学科网]‎ ‎∴.即 ‎∴b>c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；‎ ‎(2)设x1，x2∈R，x1b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.‎ ‎∴Δ＝b2－4ac≥－4ac>0.‎ ‎∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根，‎ ‎∴f(x)必有两个零点．‎ ‎(2)令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则 g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x1)－f(x2)]，‎ g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x2)－f(x1)]．‎ ‎∵g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2，‎ 且f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)g(x2)<0.‎ ‎∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根．‎