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- 2021-06-12 发布
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小题专项训练9 排列组合、二项式定理
一、选择题
1.4位顾客购买两种不同的商品,每位顾客限买其中一种商品,则不同的购买方法共有( )
A.8种 B.12种
C.16种 D.32种
【答案】C
【解析】分4步完成,每一步有两种不同的方法,故不同的购买方法有24=16(种).
2.(2019年宁夏模拟)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
A.36种 B.24种
C.18种 D.12种
【答案】A
【解析】先选出2项工作并成一项,看作共有3项工作,再分配给3名志愿者即可,所以不同的安排方式共有CA=36种.故选A.
3.(2019年安徽模拟)如图,给7条线段的5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数有( )
A.24种 B.48种
C.96种 D.120种
【答案】C
【解析】按E,B,C,A,D的顺序涂色,各点可选的颜色种数分别为4,3,2,2,2,所以不同的涂色方法种数为4×3×2×2×2=96.故选C.
4.(x-y)8的展开式中,x6y2项的系数是( )
A.-56 B.56
C.28 D.-28
【答案】B
【解析】二项式的通项为Tr+1=Cx8-r·(-y)r,令8-r=6,即r=2,得x6y2项的系数为C(-)2=56.
5.(2018年河北唐山一模)用两个1,一个2,一个0,可组成不同四位数的个数是( )
A.9 B.12
C.15 D.16
【答案】A
【解析】分3步进行分析:①0不能放在千位,可以放在百位、十位和个位,有3种情况;②在剩下的3个数位中任选1个,安排2,有3种情况;③最后2个数位安排2个1,有1种情况.由分步乘法可知可组成3×3×1=9个不同四位数.
6.(2019年河南模拟)(2x2-x-1)5的展开式中x2的系数为( )
A.400 B.120
C.80 D.0
【答案】D
【解析】(2x2-x-1)5=[(x-1)(2x+1)]5=(x-1)5(1+2x)5.易求得(x-1)5的常数项为-1,(1+2x)5的x2的系数为40;(x-1)5的x的系数为5,(1+2x)5的x的系数为10;(x-1)5的x2的系数为-10,(1+2x)5的常数项为1.所以(2x2-x-1)5的展开式中x2的系数为-1×40+5×10+(-10)×1=0.故选D.
7.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=( )
A.8 B.9
C.10 D.11
【答案】C
【解析】f(x)=x5=(1+x-1)5,它的通项为Tr+1=C(1+x)5-r·(-1)r,T3=C(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,所以a3=10.
8.(2018年北京海淀区校级模拟)从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中,每瓶不空,如果甲、乙两种种子都不许放入第一号瓶子内,那么不同的放法共有( )
A.CA种 B.CA种
C.CC种 D.CA种
【答案】D
【解析】分2步进行分析:①甲、乙两种种子都不许放入第一号瓶子内,将其他8种种子中任选1种,放进第一号瓶子内,有C种情况;②在剩下的9种种子中,任选5种,安排在剩下的5个瓶子中,有A种情况.所以一共有CA种不同的放法.
9.计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有( )
A.24种 B.36种
C.42种 D.60种
【答案】D
【解析】若3个项目分别安排在4个不同的场馆,则安排方案共有A=24(种);若有2个项目安排在同一个场馆,另一个安排在其他场馆,则安排方案共有C·A=36(种).所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24+36=60(种).
10.(2019年上海模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成,
我们称这样的图案为L形(每次旋转90°仍为L形的图案),那么在5×6个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数是( )
A.36 B.64
C.80 D.96
【答案】C
【解析】根据题意,在一个“田”字型方格中,可画出4个L形图案,而在由5×6个小方格组成的方格纸上有4×5=20个“田”字型方格,所以可以画出不同位置的L形图案的个数是20×4=80.故选C.
11.若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围为( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
【答案】B
【解析】二项式(x+y)9的展开式的通项是Tr+1=Cx9-r·yr,依题意有即解得x>1.故选B.
12.(2018年浙江杭州校级二模)将一个4×4正方形棋盘中的8个小正方形方格染成红色,使得每行、每列都恰有两个红色方格,则不同的染色方法有( )
A.76种 B.77种
C.89种 D.90种
【答案】D
【解析】第一行染2个红色方格有C=6(种)染法;第一行染好后,有如下三种情况:①第二行的红色方格均与第一行的红色方格同列,这时其余行都只有1种染法;②第二行染的红色方格与第一行的红色方格均不同列,这时第三行有C=6(种)染法,第四行的染法随之确定;③第二行染的红色方格恰有一个与第一行的红色方格同列,而第一、第二这两行染好后,第三行的红色方格必然有一个与上面的红色方格均不同列,这时第三行的染法有2种,第四行染法随之确定.所以共有6×(1+6+4×2)=90(种)染法.
二、填空题
13.(2019年甘肃兰州模拟)n的展开式中各项系数之和为81,则展开式中x的系数为________.
【答案】24
【解析】令x=1,得展开式中各项系数之和为(2+1)n=81,则n=4,于是4
的展开式的通项为Tr+1=C(2x)4-rr=24-rCx4-r,令4-r=1,即r=2,可得展开式中x的系数为24-2C=24.
14.将2名老师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名老师和2名学生组成,不同的安排方案共有________种(用数字作答).
【答案】12
【解析】先将老师、学生平均分2组,有种分法,然后进行全排列,有A种方法.故不同安排方案有·A=12(种).
15.(2019年浙江金华模拟)已知(2+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+…+a8=________,a3=________.
【答案】-5 -476
【解析】令x=1得a0+a1+a2+…+a8=(2+1)(1-2)7=-3,令x=0得a0=(2+0)(1-0)7=2,所以a1+a2+…+a8=-3-2=-5.因为(1-2x)7的展开式的通项为Tr+1=C(-2x)r,所以a3=2C(-2)3+C(-2)2=-476.
16.(2018年山东青岛模拟)上合组织峰会将于2018年6月在青岛召开,组委会预备在会议期间将A,B,C,D,E五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作,若要求A,B必须在同一组,且每组至少2人,则不同分配方法的种数为________(用数字作答).
【答案】8
【解析】分2种情况讨论:①A,B在一组,C,D,E都分在另一组,将两组全排列,对应两个地点即可,有A=2种分配方法;②C,D,E中取出1人与A,B一组,剩下2人一组,再将两组全排列,对应两个地点,有CA=6种分配方法.故一共有2+6=8种分配方法.