假期培优解决方案+寒假专题突破练+高二文科数学（选修1-1必修5）（通用版）专题7+一元二次不等式及其解法x 8页

专题7　一元二次不等式及其解法 ‎1．三个“二次”之间的联系 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)与相应的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)之间的关系：‎ ‎2.解一元二次不等式的步骤 ‎(1)变形(二次项系数化为正数，另一边为零)；‎ ‎(2)判号(确定判别式Δ＝b2－4ac的符号)；‎ ‎(3)求根(解相应的一元二次方程)；‎ ‎(4)画图(画出相应二次函数的图象)；‎ ‎(5)定解集(根据图象写出不等式的解集)．‎ 例1　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.‎ 变式1　解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0.‎ 例2　已知不等式(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集为R，求m的取值范围．‎ 变式2　若不等式mx2－2x＋1－m<0对满足－2≤m≤2的所有m都成立，求实数x的取值范围．‎ 例3　已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．‎ 变式3　已知关于x的不等式x2－mx＋n≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求实数m，n的值．‎ A级 ‎1．不等式2x2－x－1>0的解集是(　　)‎ A. B．(1，＋∞)‎ C．(－∞，1)∪(2，＋∞)‎ D.∪(1，＋∞)‎ ‎2．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>1}，则f(x)>0的解集为(　　)‎ A．{x|x<－1或x>1}‎ B．{x|－10的解集是(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．‎ ‎6．函数y＝的定义域为R，则k的取值范围是________．‎ ‎7．用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？‎ B级 ‎8．不等式≥2的解集是(　　)‎ A．[－3，] B．[－，3]‎ C．[，1)∪(1,3] D．[－，1)∪(1,3]‎ ‎9．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－，) B．(－2,0)‎ C．(－2,1) D．(0,1)‎ ‎10．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)‎ A．13‎ C．12‎ ‎11．关于x的不等式>1对一切实数x恒成立，则k的取值范围是________．‎ ‎12．若关于x的不等式(2x－1)20变形为(x－a)(x－a2)>0.‎ ‎∵a2－a＝a(a－1)．‎ ‎∴当a<0或a>1时，aa2}．‎ 当0a}．‎ 当a＝0或1时，解集为{x|x∈R且x≠a}．‎ 综上知，当a<0或a>1时，‎ 不等式的解集为{x|xa2}；‎ 当0a}；‎ 当a＝0或1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠a}．‎ 变式1　解　不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论．‎ ‎(1)当a＝0时，原不等式化为x－2<0，解集为{x|x<2}；‎ ‎(2)当a<0时，由于2>，原不等式化为(x－2)(x－)<0，解集为{x|0，解集为{x|x<2或x>}；‎ ‎(4)当a＝1时，原不等式化为(x－2)2>0，解集为{x|x≠2}；‎ ‎(5)当a>1时，由于2>，原不等式化为(x－2)(x－)>0，解集为{x|x<或x>2}．‎ 综上所述，原不等式的解集为：‎ 当a＝0时，解集为{x|x<2}；‎ 当a<0时，解集为{x|}；‎ 当a＝1时，解集为{x|x≠2}；‎ 当a>1时，解集为{x|x<或x>2}．‎ 例2　解　①m＝2时，不等式4>0恒成立，故m＝2适合题意；‎ ‎②m≠2时，y＝(m－2)x2＋2(m－2)x＋4为二次函数，‎ ‎∵二次函数的值恒大于零，即(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集为R.‎ ‎∴，即，‎ 解得：.∴m的取值范围为(2,6)．‎ 综上，m的取值范围为[2,6)．‎ 变式2　解　已知不等式可化为(x2－1)m＋(1－2x)<0.‎ 设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，这是一个关于m的一次函数(或常数函数)，从图象上看，要使f(m)<0在－2≤m≤2时恒成立，其等价条件是：‎ ，‎ 即解得0得：6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．‎ 即6x2＋5x＋1<0，‎ ‎∴所求不等式的解集为{x|－0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－，∴不等式的解集为∪(1，＋∞)．]‎ ‎2．B ‎3．D　[a＝0时符合题意，a>0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|01，∴>t.‎ ‎∴(t－x)(x－)>0⇔(x－t)(x－)<0⇔t0恒成立．‎ k＝0适合题意；k≠0时，有 ‎∴0600，即x2－50x＋600<0.解得20