湖北省荆州三校2020届高三联考数学（理）试题 13页

‎“宜昌一中、荆州中学、龙泉中学三校联盟”‎ 高三11月联考 理科数学试题 本试卷共 2 页，共 23 题。满分150分，考试用时120分钟。‎ 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.‎ ‎ 3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）‎ ‎1．已知，函数的定义域为，，则下列结论正确的是 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数满足：（为虚数单位），为复数的共轭复数，则下列说法正确的是 A． B． C． D．‎ ‎3．下列函数中，其定义域和值域与函数的定义域和值域相同的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．三个数的大小顺序是 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．已知等比数列的前项和为，则“”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6.在边长为2的等边三角形中，若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 ‎ A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 ‎8．‎2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征 点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除；(3)专项附加 扣除包括①赡养老人费用 ②子女教育费用 ③继续教育费用 ④大病医疗费用等，其中 前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月共扣除2000元 ②子女教育费用：每个子女 每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：‎ 级数 全月应纳税所得额 税率 ‎1‎ 不超过3000元的部分 ‎3%‎ ‎2‎ 超过3000元至12000元的部分 ‎10%‎ ‎3‎ 超过12000元至25000元的部分 ‎20%‎ 现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附 加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某月应缴纳的个税金额为 ‎ A．590元 B．690元 C．790元 D．890元 ‎9．已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎10.已知函数，若方程的解为 ()，‎ 则= ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.若函数有最小值，则实数的取值范围为 A． B． C． D．12.为等差数列，公差为，且，，，函数在上单调且存在，使得 关于对称，则的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知，则_______．‎ ‎14．已知命题；命题．若为假命题，则 实数的取值范围为_________．‎ ‎15．在中，角的对边分别，满足，‎ 则的面积为_________．‎ ‎16．函数和有相同的公切线，则实数的取值范围为_________． ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知的三个内角的对边分别为，若．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，，求边上的高．‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）证明：．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，．‎ ‎（Ⅰ）设与相交于点，，且平面，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求二面角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线和直线，过直线上任意一点作抛物线的两条切线，‎ 切点分别为．‎ ‎（Ⅰ）判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）求的面积的最小值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知．‎ ‎（Ⅰ）若在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分10分）‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系下，方程的图形为如图所示的“幸运四叶草”，又称为玫瑰线．‎ ‎（Ⅰ）当玫瑰线的时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）求曲线上的点M与玫瑰线上的点N距离的最小值及取得最小值时的 点M、N的极坐标．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，解关于的不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎“宜昌一中、荆州中学、龙泉中学三校联盟”‎ 高三11月联考理科数学参考答案 一、选择题： 1-4 ABAB 5-8 CDCB 9-12 ACBD 二、填空题 13． 14． 15． 16．‎ 三．解答题 ‎17．解：（Ⅰ）因为，所以，‎ 因为， 所以．……………………2分 所以，‎ 即，即，………………………………4分 因为，，所以，‎ 所以或(舍去)，故．……………………………………6分 ‎（Ⅱ）由及得，，‎ 由余弦定理：得，‎ 解得：，……………………………………………………………………………9分 由得，，设边上的高为，则，‎ 即，所以．…………………………………………………12分 ‎18．解：（Ⅰ）当时，，………………………………………………2分 ‎，即，……………………………………………………………4分 从而构成以1为首项，1为公差的等差数列．……………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．………………………………7分 则当时．…………………………………………9分 故当时 ‎．……………………………………11分 又当时，满足题意，故．……………………………12分 法二：则当时，‎ 那么 又当时，，当时，满足题意，‎ ‎19． 解：（Ⅰ）因为,所以．…………………………1分 因为，平面，平面平面，‎ 所以． ……………………………………………………………………………………3分 所以，即．…………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）因为,可知为等边三角形，‎ 所以，又，故，所有．‎ 由已知，所以平面，‎ 如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，…………6分 设，则， ‎ 所以,，‎ 则，‎ 设平面的一个法向量为，则有 ‎ 即 令，则，即，…8分 设平面的一个法向量为,则有 即令，则，即．…10分 所以，……………………………………………11分 设二面角的平面角为，则．………………………………………12分 ‎20．解：（Ⅰ）设点，，由两边同时对求导，‎ ‎，则抛物线在点处的切线方程为，……………………1分 又该切线方程经过点，则，……………………………………………2分 同理有，故均在直线上，‎ 又，则直线的方程为，……………………………………4分 整理得，恒过定点．…………………………………………………5分 说明：第一问若设点，然后直接写出切点线方程，没有给出证明 即，得出定点．给3分，扣2分．‎ ‎（Ⅱ）由题联立方程得，，……7分 ‎，‎ ‎………………………………………………………………………………………………8分 点到直线：的距离为，…………9分 则的面积，………………11分 当时，即时，的面积最小值为．…………………………………12分 ‎21．解：（Ⅰ）法一：由题意，………………1分 ① 若，即时，，则在单调递增，‎ 则，则在单调递增，故，满足题意；……3分 ② 若，即时，存在，使得，且当时，，则在上单调递减，则，则在单调递减，此时，舍去；…………………………………………………………………4分 ③ 若，即时，，则在上单调递减，则 ‎，则在单调递减， ，舍去；‎ 故．……………………………………………………………………………………………5分 法二：由题知，且，，……1分 要使得在上恒成立，则必须满足，即，．……2分 ① 若时，，则在单调递增，则，‎ 则在单调递增，故，满足题意；……………………………3分 ② 若时，存在时，，则在上单调递减，则，则在单调递减，此时，舍去；‎ 故．……………………………………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，．取，‎ 则，………………………………………………………………………………6分 由（Ⅰ），则，故，‎ 要证，只需证．………………………………………8分 令，则，，‎ 当时，，则在上单调递增，有，‎ 故在单调递增，故，‎ 故，即有，得证．………………………………………12分 ‎22. 解：（Ⅰ）以极点为圆心的单位圆为与联立，得，……2分 所以，因为，所以或，则极坐标为和……5分 ‎（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为，……………………………………7分 玫瑰线极径的最大值为2，且可于取得，‎ 连接O，，与垂直且交于点．‎ 所以距离的最小值为，此时，．……………………………10分 ‎23.解：（Ⅰ）当时，，则…………………2分 当时，由得，，解得； ‎ 当时，恒成立；‎ 当时，由得，，解得． ‎ 所以的解集为．……………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）对任意，都存在，得成立，所以．……6分 因为，所以，‎ 且， ①‎ 当时，①式等号成立，即．…………………………8分 又因为， ②‎ 当时，②式等号成立，即．………………………………………9分 所以，即的取值范围为．……………………10分