2019届二轮复习第7讲　三角恒等变换与解三角形学案（全国通用） 15页

第7讲　三角恒等变换与解三角形 　【p26】‎ 　【p26】‎ 年份 卷别 题号 考查内容 命题规律 ‎2018‎ Ⅰ ‎17‎ 正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数的基本关系式 Ⅱ ‎15‎ 三角恒等变换 Ⅲ ‎4‎ 二倍角公式 ‎9‎ 余弦定理、三角形面积公式 ‎2017‎ Ⅰ ‎17‎ 正弦定理、余弦定理、和角公式 Ⅱ ‎17‎ 三角恒等变换、余弦定理 Ⅲ ‎17‎ 余弦定理、解三角形 ‎2016‎ Ⅰ ‎17‎ 正弦定理、余弦定理、和角公式 Ⅱ ‎9‎ 诱导公式、倍角公式 ‎13‎ 正弦定理、和角公式 Ⅲ ‎5‎ 倍角公式 ‎8‎ 正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、解三角形 ‎　　利用主要三角公式变形求值．‎ 题型1：利用主要三角公式直接变形化简含已知角的三角式并求值．‎ 题型2：已知一个角的三角函数，利用主要的三角公式变形，代换，求值，‎ 求含该角的三角式的值．‎ 利用正余弦定理，主要的三角公式、基本不等式等知识，通过转化、方程等思想，经过运算、推理、解三角形及有关问题.‎ 备 考 建 议　【p26】‎ ‎1．三角函数公式众多，化简方法灵活多变，复习中要熟练掌握三角恒等变换的技巧，加深对三角公式的记忆与内在联系的理解．‎ ‎2. 解三角形内容应用性较强，命题灵活，在解答题与选择填空题位置均有出现，常规命题是主流，也有与实际问题结合起来命题(如利用三角形求解与测量、航海有关的实际问题)的情况，特别是选择填空题位置需要注意．‎ 典 例 剖 析　【p26】‎ 探究一　给值(式)求角 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例1(1)已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β等于(　　)‎ A．－ B．－π或 C．－π D. ‎【解析】选C.‎ 因为tan(α＋β)＝＝＝，所以α＋β＝＋kπ，k∈Z，又α，β∈，所以α＋β＝－π.‎ ‎【点评】给值求角时，注意角的范围的讨论，最好选择单调函数．‎ ‎(2)已知A∈(0°，180°)，且满足2sin2＋cos＝2.‎ ‎(Ⅰ)求角A的大小；‎ ‎(Ⅱ)求sin(A＋10°)·[1－tan(A－10°)]的值．‎ ‎【解析】(Ⅰ)由2sin2＋cos＝2，‎ 得cos＝2，‎ 即cos＝2cos2，‎ 又A∈(0°，180°)，则∈(0°，90°)，‎ 则cos＞0，故cos＝.‎ 从而＝30°，故A＝60°.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)sin(A＋10°)·[1－tan(A－10°)]‎ ‎＝sin 70°·(1－tan 50°)‎ ‎＝sin 70°· ‎＝sin 70°· ‎＝ ‎＝＝－1.‎ ‎【点评】给角求值时，注意化异角为同角，化切为弦，这样便于发现彼此间的联系．‎ 探究二　给值求值 例2 (1)已知cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝，α∈，则tan的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】选A.‎ 由二倍角公式得cos 2α＋2sin2α－sin α＝，整理得1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝，因此sin α＝，由于α∈，∴cos α＝－，tan α＝＝－，‎ tan＝＝.‎ ‎(2)已知α∈，且tan＝3，则lg(8sin α＋6cos α)－lg(4sin α－cos α)＝________．‎ ‎【解析】1‎ ‎∵α∈且tan＝3，∴＝3，∴tan α＝，‎ ‎∴lg(8sin α＋6cos α)－lg(4sin α－cos α)＝lg＝lg＝lg 10＝1.‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换、对数及其运算和同角三角函数的图象及其性质，考查了学生综合知识能力的应用和计算能力．其解题的一般思路为：首先运用正切的和的公式并结合已知条件可计算得到tan α的值，然后运用对数运算的法则以及同角三角函数的基本关系即可将所求的结果，转化为有关tan α的求值问题，最后得出所求的结果．‎ ‎(3)已知cos＝，－<α<0，则sin＋sin α＝__________．‎ ‎【解析】－ ‎∵cos＝，－<α<0，‎ ‎∴sin＝＝，‎ 而sin＝sin ‎＝sincos－cossin＝，‎ ‎∴sin α＝sin＝sincos－cossin＝，‎ sin＋sin α＝＋＝－.‎ ‎【点评】在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换，如把＋2α变换成2，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等．注意若将结论中的角用条件中的角表示往往可能较快找到解题的突破口．‎ 探究三　三角形中边角关系 例3(1)在△ABC中，利用正弦定理解三角形时，其中有两解的选项是(　　)‎ A．a＝3，b＝6，A＝30°‎ B．a＝6，b＝5，A＝150°‎ C．a＝3，b＝4，A＝60°‎ D．a＝，b＝5，A＝30°‎ ‎【解析】选D.‎ 有钝角或直角最多一解，B错．由sin B＝，A中sin B＝1，B＝90°，1解，不符．C中sin B＝2>1，无解．D中sin B＝>，B<150°符合两解．选D.‎ ‎【点评】在己知两边一对角的题型中，有钝角或直角最多一解，己知角所对边为大边，最多一解，其余情况根据三角形内角和180°，大边对大角来判断．‎ ‎(2)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin C，则△ABC的形状是(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎【解析】选D.‎ 由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，‎ 得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，‎ 从而b2sin Acos B＝a2cos Asin B 即sin2Bsin Acos B＝sin2Acos Asin B，‎ 所以sin 2B＝sin ‎2A.‎ 而0＜A＜π，0＜B＜π，‎ 得0＜‎2A＜2π，0＜2B＜2π，‎ 故‎2A＝2B或‎2A＝π－2B.‎ 即A＝B或A＋B＝.‎ ‎【点评】分析求解与三角形有关的三角函数问题时，一方面应充分注意三角形三内角之间的相互关系和取值范围，并利用三内角和为180°进行角之间的相互转换，另一方面应充分利用正弦定理和余弦定理进行“边与角”的互化．‎ ‎(3)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________________________________________________________________________．‎ ‎【解析】 设AB＝c，则AD＝c，BD＝，BC＝，在△ABD中，由余弦定理得cos A＝＝，则sin A＝.在△ABC中，由正弦定理得＝＝，解得sin C＝.‎ ‎【点评】应用正弦定理、余弦定理解三角形时，要讲究公式的准确恰当运用，同时由正弦定理求角时，一定要利用大边对大角确认是一解还是两解．‎ ‎1．解三角形常见类型及解法 在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：‎ 已知条件 应用定理 一般解决 一边和二角(如a，B，C)‎ 正弦定理 由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c；S△＝acsin B，在有解时只有一解 两边和夹角(如a，b，C)‎ 余弦定理 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角，再由A＋B＋C＝180°求出另一角．S△＝absin C，‎ 在有解时只有一解 三边(a，b，c)‎ 余弦定理 由余弦定理求出角A，B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C.S△＝absin C，在有解时只有一解 两边和其中一边的对角(如a，A，b)‎ 正弦定理 由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理求出c边．S△＝absin C，可有两解、一解或无解 ‎2.确定三角形的形状主要的途径及方法 途径一：化边为角 途径二：化角为边 主 要 方 法 ‎(1)通过正弦定理实现边角互化 ‎(2)通过余弦定理实现边角互化 ‎(3)通过三角变换找出角之间的关系 ‎(4)通过三角函数值的符号以及正、余弦函数有界性判断三角形形状 探究四　三角形中的三角函数 例4 已知在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若>，求角C的取值范围．‎ ‎【解析】(1)由余弦定理得：＝－2cos B，‎ 又＝－2cos B且cos B≠0，‎ ‎∴＝－2cos B，∴sin ‎2A＝1，‎ 又∵A∈(0，π)，∴A＝.‎ ‎(2)∵B＋C＝π，‎ ‎∴＝＝＋tan C>，‎ ‎∴tan C>1，又00，故C的值有两正解，即满足条件的△ABC有两解，选B.‎ ‎10．在△ABC中，sin‎2A≤sin2B＋sin‎2C－sin B·sin C，则A的取值范围是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎【解析】选C.‎ 在△ABC中，由正弦定理可得sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R为△ABC外接圆的半径)，‎ 由sin‎2A≤sin2B＋sin‎2C－sin Bsin C 可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，‎ ‎∴cos A＝≥，‎ ‎∴0，<‎2C<π，‎ 则A＋C＝‎2C，得A＝C，即c＝a＝3，且B是锐角，‎ 由sin B＝得cos B＝＝，‎ 由余弦定理得，b2＝‎2a2－‎2a2cos B＝3，即b＝，‎ 故选A.‎ ‎*12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O是△ABC外接圆的圆心，若acos B＝c－b，且＋＝m，则m的值是(　　)‎ A. B. ‎ C. D．2 ‎【解析】选C.‎ 因为acos B＝c－b，‎ 由余弦定理得a·＝c－b，‎ 整理得b2＋c2－a2＝bc，‎ 所以cos A＝＝，‎ 即A＝.‎ 因为O是△ABC的外心，‎ ‎∴·＝2＝c2，‎ 由＋＝m，得 2＋·＝m· ‎⇒c2＋bccos A＝m×c2‎ ‎⇒c＋bcos A＝mc ‎⇒cos B＋cos Acos C＝msin C，‎ ‎∴m＝2×＝‎ ‎2×＝‎ ‎2×＝2sin A＝.‎ 故选C.‎ ‎13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－bcos A＝c，当tan(A－B ‎)取最大值时，角B的值为__________．‎ ‎【解析】 依题意，由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin，化简得sin Acos B＝3cos Asin B，即tan A＝3tan B．所以tan＝＝＝≤，当且仅当tan2B＝，B＝时等号成立．‎ ‎*14.已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sinsin，若x＝x0为函数f(x)的一个零点，则cos 2x0＝__________．‎ ‎【解析】 由f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sinsin，‎ 化简可得f(x)＝2sin＋，‎ 又f(x0)＝2sin＋＝0，‎ 得sin＝－<0，‎ 又0≤x0≤得－≤2x0－≤，‎ 所以－≤2x0－≤0，故cos＝.‎ 此时：cos 2x0＝cos＝coscos－sinsin＝.‎ ‎15．已知向量a＝(2cos2x，)，b＝(1，sin 2x)，函数f(x)＝a·b.‎ ‎(1)求函数f(x)(x∈R)的单调增区间；‎ ‎(2)若f＝2，α∈，求sin的值．‎ ‎【解析】(1)∵a＝(2cos2x，)，b＝(1，sin 2x)，‎ ‎∴f(x)＝a·b＝2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1，‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ ‎∴函数f(x)的单调增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)f＝2sin＋1‎ ‎＝2sin＋1＝2，‎ ‎∴sin＝－cos 2α＝，‎ 即cos 2α＝－，‎ ‎∵α∈，∴2α∈[π，2π]，‎ ‎∴2α＝.‎ 则sin＝sin＝－1.‎ ‎16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos‎2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若sin A＝，求△ABC的面积．‎ ‎【解析】(1)由题意得 －＝sin ‎2A－sin 2B，‎ 即sin ‎2A－cos ‎2A＝sin 2B－cos 2B，‎ sin＝sin.‎ 由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，‎ 得‎2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝.‎ ‎(2)由c＝，sin A＝，＝，得a＝.‎ 由a