安徽省定远县重点中学2020届高三数学（理）6月模拟试题（Word版附答案） 19页

定远重点中学 2020 届高三下学期 6 月模拟考试 数学（理）试题 第 I 卷 选择题（共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。) 1.设全集 ，集合 ， ，则 A. B. C. D. 3.阅读如图所示程序框图，运行相应的程序.当输入的 时，则输出 的范 围是 A. B. C. D. 4.已知 P 为 ABC 所在平面内一点， 0AB PB PC     ， 2AB PB PC     ， 则 ABC 的面积等于 A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3 5.如图，正四面体 中， 、 、 在棱 、 、 上，且 ， ， 分别记二面角 ， ， 的平面角为 、 、 ，在 A. B. C. D. 6.已知函数 ，将函数 的图象向右平移 个单位，得到数 的图象，则函数 图象的一个对称中心是 A. B. C. D. 7.设 F 为抛物线 2: 3C y x 的焦点，过 F 且倾斜角为30的直线交C 于 ,A B 两点， O为坐标原点，则 OAB 的面积为 A. 3 34 B. 9 4 C. 9 38 D. 63 32 8.函数     2 24 4 logx xf x x  的图象大致为 A. B. C. D. 9.设  f x 是定义在 R 上的偶函数， Rx  ，都有    2 2f x f x   ，且当  0,2x 时，   2 2xf x   ，若函数      log 1ag x f x x   （ 0, 1a a  ）在区 间 1,9 内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 A.  1 1, 3, 79 5      B.  1 ,1 1, 39      C.  10, 7,9       D.  1 1, 5,37 3      10.设函数 ，若存在区间 ，使 在 上的值域为 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 11.已知 ,a b 是实数，若圆   2 21 1 1x y    与直线   1 1 2 0a x b y     相切， 则 a b 的取值范围是 A. 2 2 2,2 2 2    B.   ,2 2 2 2 2 2,     C.   , 2 2 2 2,    D.   , 2 2 2 2,     12.下列说法正确的是 A. 若命题 ， ，则 ， B. 已知相关变量 满足回归方程 ，若变量 增加一个单位，则 平均增加 个单位 C. 命题“若圆 与两坐标轴都有公共点，则实数 ” 为真命题 D. 已知随机变量 ，若 ，则 第 II 卷 非选择题（共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22 题-第 23 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 ,x y 满足约束条件{ 1 1 y x x y y      ，则 2z x y  的最大值是__________． 14.多项式 12 1 n x x      展开式中所有项的系数之和为 64，则该展开式中的常数项 为__________． 15.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱 三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之， 问各几何？”其意为：“仅有甲带了 560 钱，乙带了 350 钱，丙带了 180 钱，三 人一起出关，共需要交关税 100 钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 __________钱（所得结果四舍五入，保留整数）． 16.已知函数  f x 对任意的 x R ，都有 1 1 2 2f x f x            ，函数  1f x  是奇 函数，当 1 1 2 2x   时，   2f x x ，则方程   1 2f x   在区间 3,5 内的所有零 点之和为_____________． 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。) 17. （本题 12 分） 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 . （1）求角 C 的大小； （2）若 A= ，△ABC 的面积为 ，M 为 BC 的中点，求 AM. 18. （本题 12 分） 2012 年 12 月 18 日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的 74 个城市之一， 郑州市正式发布 数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成 效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有 9 个监测站点监测空气质 量指数（ ），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有 2,5,2 个 监测站点，以 9 个站点测得的 的平均值为依据，播报我市的空气质量. （Ⅰ）若某日播报的 为 118，已知轻度污染区 的平均值为 74，中度污染区 的平均值为 114，求重度污染区 的平均值； （Ⅱ）如图是 2018 年 11 月的 30 天中 的分布，11 月份仅有一天 在 内. 组数 分组 天数 第一组 3 第二组 4 第三组 4 第四组 6 第五组 5 第六组 4 第七组 3 第八组 1 ①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的 为标准，如果 小于 180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进 行社会实践活动的概率； ②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标， 从当月的空气质量监测数据中抽取 3 天的数据进行评价，设抽取到 不小于 180 的天数为 ，求 的分布列及数学期望. 19. （本题 12 分） 已知多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD为平行四边形， EF CE ，且 2AC  ， 1AE EC  ， 2 BCEF  ， / /AD EF . （1）求证：平面 ACE  平面 ADEF ； （2）若 AE AD ，直线 AE 与平面 ACF 夹角的正弦值为 3 3 ，求 AD 的值. 20. （本题 12 分） 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上． ⑴求椭圆 的标准方程； ⑵已知动直线 过点 且与椭圆 交于 两点．试问 轴上是否存在定点 ,使得 恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 21. （本题 12 分） 已知函数 . （1）当 时，判断函数 的单调性； （2）当 有两个极值点时，若 的极大值小于整数 ，求 的最小值. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答。注意：只能做选定的题目，如果多做， 则按所做的第一题计分，解答时请写清题号。 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题 10 分） 在直角坐标系中 xOy 中，曲线C 的参数方程为{ (2 x acost ty sint   为参数， 0a  ）. 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为 cos 2 24        . （1）设 P 是曲线C 上的一个动点，当 2 3a  时，求点 P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.[选修 4-5：不等式选讲]（本题 10 分） 已知定义在 R 上的函数   *2 ,f x x m x m N    ，且   4f x  恒成立. （1）求实数m 的值； （2）若        0,1 , 0,1 , 3f f       ，求证： 4 1 18   . 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B D B D C B B A C B C 1.C【解析】 由题意得 ， ∴ ， ∴ ．选 C． 2.B【解析】由 ， 得： ， 所以 ， ， 所以 ，故选：B． 3.D【解析】当 时， ， 则 ； 当 时， ； 综上所述，输出 的范围为 ． 4.B【解析】根据条件得知点 P 在三角形中位线的延长线上，三角形 ABC 是以 B 为直角的直角三角形，记 AC 中点为 O 点，OBPC 按这一顺序构成平行四边形的 四 个 边 ， 并 且 是 菱 形 ， 边 长 为 2 ， 故 BC 为 2 3 ， 此 时 三 角 形 面 积 为 1 2 2 3 2 3.2S     故答案为：B。 5.D【解析】 是正四面体， 、 、 在棱 、 、 上，且 ， ， 可得 为钝角， 为锐角，设 到 的距离为 ， 到 的距离为 ， 到 的距 离为 ， 到 的距离为 ，设正四面体的高为 ,可得 ，由余弦 定理可得 ，由三角形面积相等可得到 ，所以可以推出 所以 ，故选 D. 6.C【解析】 ， 将函数 的图象向右平移 个单位，得到数 的图象， 即 ， 由 ，得 ， ， 当 时， ， 即函数 的一个对称中心为 ，故选：C． 7.B【解析】由 2 3y x ，得 32 3 2p p ， ，则 3 04F（ ，）． ∴过 A B， 的直线方程为 3 3 3 4y x （ ）， 即 33 4x y  ． 联立 2 3 { 33 4 y x x y  ＝ ＝ ，得 24 12 3 9 0y y   ． 设 1 1 2 2A x y B x y（ ， ），（ ， ），则 1 2 1 2 93 3 4y y y y   ， ． 1 2 1 3 2 4OAB OAF OFBS S S y y           22 1 2 1 2 3 3 94 3 3 98 8 4y y y y       ．故选 B 8.B【解析】∵        2 24 4 log x x xf x f x      ∴  f x 为奇函数，排除 A，C 2 1 1 12 log 32 2 4f              ， 1 2 24f       ，且 1 1 4 2f f          排除 D，故选：B 9.A【解 析】 由    2 2f x f x   可 得 函数  f x 的 图 象关 于 2x  对 称 ，即    4f x f x   又函数  f x 是偶函数，则    f x f x  ， ∴    4f x f x  ，即函数的周期是 4． 当  2,0x  时，  0,2x  ，此时     22 xf x f x     ， 由      1 0ag x f x log x    得    1 ( 0 1)af x log x a a   且 ，令    1 ( 0 1)ah x log x a a   且 ． ∵函数      log 1ag x f x x   （ 0, 1a a  ）在区间 1,9 内恰有三个不同零点， ∴函数  y f x 和    1 ( 0 1)ah x log x a a   且 的图象在区间 1,9 内有三个不 同的公共点． 作出函数  f x 的图象如图所示． ①当 1a  时，函数    1ah x log x  为增函数， 结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足  h x 在点 A 处的函数 值小于 2，在点 B 处的函数值大于 2， 即     1 { 2 3 2 6 7 2 a a a h log h log      ，解得 3 7a  ； ②当0 1a  时，函数    1ah x log x  为减函数， 结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足  h x 在点 C 处的函数 值小于 1 ，在点 B 处的函数值大于 1 ， 即     0 1 { 4 5 1 8 9 1 a a a h log h log         ，解得 1 1 9 5a  ． 综上可得实数a的取值范围是  1 1, 3, 79 5      ．选 A． 10.C【解析】详解：由题意 ，设 ，则 当 时， ，所以函数 在 单调递增， 所以 ，所以 在 单调递增， 因为 ，所以 在 单调递增， 因为 在 上的值域为 ，所以 ， 所以方程 在 上有两解 ， 作出 与直线 的函数的图象，则两图象有两个交点， 若直线 过点 ，则 ， 若直线 与 的图象相切，设切点为 则 ，解得 ， 综上所述，所以实数 的取值范围是 ，故选 C. 11.B【解析】11.由题设圆心  1,1C 到直线   1 1 2 0a x b y     的距离    2 2 1 1 2 1 1 1 a bd a b         ，即    2 2 1 1 1 a b a b      ，也即    2 2 2 2 2a b a b a b      ，因为  22 2 1 2a b a b   ，所以      2 212 2 2a b a b a b      ，即   2 4 4 0a b a b     ，解之得 2 2 2a b   或 2 2 2a b   ，应选答案 B。 12.C【解析】若命题 ， ，则 ， ; 已知相关变量 满足回归方程 ，若变量 增加一个单位，则 平均减少 个 单位; 命题“若圆 与两坐标轴都有公共点，则 为真命题; 已知随机变量 ，若 ，则 ;所以选 C. 13. 1 2 【解析】, 画出约束条件{ 1 1 y x x y y      表示的可行域，如图，平移直线 2y x z  ，当直线经过点 C 时，直线在 y 轴上的截距最小， 2z x y  有最大值，由{ 1 y x x y    可得 1 1 2 2C      ， ， 2z x y  有最大值为 1 1 12 2 2 2    ，故答案为 1 2 . 14.141 【解析】由 12 1 n x x      展开式中所有项的系数之和为64 可得： 2 64n  ，则 6n  612 1x x      展开式中的常数项可分为 4 种情况 1* GB2 6 ⑴ 个括号都取1 ⑵1个括号取2x ， 1个括号取 1 x  ， 4 个括号都取1， ⑶2 个括号取2x ， 1个括号取 1 x  ， 2 个括号取1， ⑷3个括号取2x ， 3个括号取 1 x  ， 展开式中的常数项为      2 31 1 2 2 2 3 3 3 6 5 6 4 6 31 2 1 2 1 2 1 141C C C C C C       15.17 【解析】依照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出钱 ，故 填 . 16.4 【解析】∵函数  1f x  是奇函数 ∴函数  1f x  的图象关于点 0,0 对称 ∴把函数  1f x  的图象向右平移 1 个单位可得函数  f x 的图象，即函数  f x 的 图象关于点 1,0 对称，则    2f x f x   . 又∵ 1 1 2 2f x f x            ∴    1f x f x  ，从而    2 1f x f x    ∴    1f x f x   ，即      2 1f x f x f x     ∴函数  f x 的周期为 2，且图象关于直线 1 2x  对称. 画出函数  f x 的图象如图所示： ∴结 合图 象 可 得   1 2f x   区 间  3,5 内 有 8 个 零 点 ， 且 所 有 零 点 之 和 为 1 2 4 42    . 故答案为 4. 17.(1) (2) . 【解析】(1)∵ ∴ ∴ 由正弦定理得： 即 ∴ ∵C 为三角形的内角，∴ (2)由（1）知 ，∴ ∴△ABC 为等腰三角形，即 CA=CB 又∵M 为 CB 中点 ∴CM=BM 设 CA=CB=2x 则 CM=BM=x ∴ 解得：x=2 ∴CA=4,CM=2 由余弦定理得：AM= . 18.（Ⅰ）设重度污染区 的平均值为 ，则 ，解得 . 即重度污染区 平均值为 172. （Ⅱ）①由题意知， 在 内的天数为 1， 由图可知， 在 内的天数为 17 天，故 11 月份 小于 180 的天数为 ， 又 ，则该学校去进行社会实践活动的概率为 . ②由题意知， 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 ， ， ， ， 则 的分布列为 0 1 2 3 数学期望 . 19.解析：（1）∵ 2AC  ， 1AE EC  ，∴ 2 2 2AC AE CE  ， ∴ AE EC ； 又 EF CE ， AE EF E  ，∴CE 平面 ADEF ； 因为CE  平面 ACE ，所以平面 ACE  平面 ADEF . （2）因为平面 ACE  平面 ADEF ，平面 ACE 平面 ADEF AE ， AE AD ， 所以 AD  平面 AEC ， AC  平面 AEC ，故 AC AD ； 以 A 为原点， ,AC AD 所在直线分别为 ,x y 轴，过点 A 且垂直于平面 ABCD的直线 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 2AD a ，则  0,0,0A ，  2,0,0C ， 2 2, ,2 2F a      ， 2 2,0,2 2E       ， 设平面 ACF 的一个法向量  , ,m x y z ， 因为  2,0,0AC  ， 2 2, ,2 2AF a        ， ∴ 2 0 { 2 2 02 2 x x ay z     ，取 2z  ， 1y a  ，则 10, , 2m a       ， 2 2,0,2 2AE        ， 设直线 AE 与平面 ACF 的夹角为 ， 故 2 • 1 3sin 31 2 AE m AE m a          ，解得 1a  （ 1a   舍去），故 2AD  . 20.（1） （2） 轴上存在点 解析：（1）由题意知， 根据椭圆的定义得： 即 ， 椭圆 的标准方程为 （2）假设在 轴上存在点 ，使得 恒成立． ① 当直线 的斜率为 时， ， ． 则 解得 ． ② 当直线 的斜率不存在时， ， ． 则 解得 或 ③ 由①②可知当直线 的斜率为 或不存在时， 使得 成立． 下面证明 即 时 恒成立． 设直线 的斜率存在且不为 时，直线 方程为 ， , 由 ，可得 ， ∴ 综上所述：在 轴上存在点 ，使得 恒成立． 21.（1） 为 上的减函数（2）3 详解：（1）由题 . 方法 1：由于 ， 又 ，所以 ，从而 ， 于是 为 上的减函数. 方法 2：令 ，则 ， 当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数. 故 在 时取得极大值，也即为最大值. 则 .由于 ，所以 ， 于是 为 上的减函数. （2）令 ，则 ， 当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数. 当 趋近于 时， 趋近于 . 由于 有两个极值点，所以 有两个不等实根， 即 有两不等实根 （ ）. 则 解得 . 可知 ，由于 ， ，则 . 而 ，即 （#） 所以 ，于是 ，（*） 令 ，则（*）可变为 ， 可得 ，而 ，则有 ， 下面再说明对于任意 ， . 又由（#）得 ，把它代入（*）得 ， 所以当 ， 恒成立， 故 为 的减函数，所以 . 所以满足题意的整数 的最小值为 3. 22.（1）4 2 （2） 0,2 3 解：(1)由 cos 2 24        ，得  2 cos sin 2 22       ，化成直角坐标方程，得  2 2 22 x y   ，即直线l 的方程为 4 0x y   ，依题意，设  2 3cos ,2sinP t t ，则 P 到直线l 的距离 4cos 42 3cos 2sin 4 6 2 2 2 2cos 62 2 tt t d t                 ，当 26t k   ， 即 2 ,6t k k Z   时， max 4 2d   ，故点 P 到直线l 的距离的最大值为4 2 . (2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方， t  R ， cos 2sin 4 0a t t   恒成立，即  2 4cos 4a t    （其中 2tan a   ）恒成立， 2 4 4a   ，又 0a  ，解得 0 2 3a  ，故a取值范围为 0,2 3 . 23. 解：（1） 2 2 2x m x x m x m      ,要使 2 4x m x   恒成立，则 2m  ， 解得 2 2m   .又 m *N ， 1m  . （ 2 ）        0,1 , 0,1 , 2 2 2 2 3f f              ， 即  1 4 1 4 1 4 4, 2 2 5 2 5 2 182                                            ，当 且仅当 4    ，即 1 1,3 6    时取等号，故 4 1 18   .