【数学】2018届一轮复习人教A版 2-8函数与方程 学案 18页

‎§2.8　函数与方程 考纲展示►　‎ ‎1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．‎ ‎2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．‎ 考点1　函数零点所在区间的判定 ‎1.函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．‎ 答案：f(x)＝0‎ ‎2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与________有交点⇔函数y＝f(x)有________．‎ 答案：x轴　零点 ‎3．函数零点的判定(零点存在性定理)‎ 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么函数y＝f(x)在区间________上有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个________也就是方程f(x)＝0的根．‎ 答案：f(a)·f(b)<0　(a，b)　f(c)＝0　c ‎4．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．‎ 答案：f(a)·f(b)<0　一分为二 函数零点理解的误区：零点的概念；零点的个数．‎ ‎(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的________．‎ 答案：(1)交点的横坐标 解析：函数的零点不是函数图象与x轴的交点，而是图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．‎ ‎(2)若图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有________零点．‎ 答案：唯一 解析：根据零点存在性定理可知，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，再根据单调性可得零点唯一．‎ 二次函数的零点．‎ ‎(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件是________．‎ 答案：ac<0‎ 解析：数形结合知，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件是af(0)<0，即ac<0.‎ ‎(2)函数y＝(k－8)x2＋x＋1至多有一个零点，则k的取值范围为________．‎ 答案： 解析：函数至多有一个零点，则：①当k＝8时，令x＋1＝0，即x＝－1，有一个零点，符合题意；‎ ‎②当k≠8时，令Δ＝1－4(k－8)≤0，解得k≥.‎ 故k的取值范围为.‎ ‎[典题1]　(1)[2017·湖北四地七校联盟高三联考]函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为(　　)‎ A. B． C. D． ‎[答案]　A ‎[解析]　f＝＋log2＝－2<0，f＝－1>0，即f·f<0，因此在上至少有一个零点．故选A.‎ ‎(2)[2017·浙江温州模拟]如图是二次函数f(x)＝x2－bx＋a的部分图象，则函数g(x)＝ex＋f′(x)的零点所在的大致区间是(　　)‎ A．(－1,0) B．(0,1)‎ C．(1,2) D．(2,3)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由图象知<<1，得10，‎ 所以g(0)g(1)<0.故选B.‎ ‎(3)[2017·浙江嘉兴模拟]设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)．若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________．‎ ‎[答案]　(1,2)‎ ‎[解析]　设f(x)＝x3－x－2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝x－2的图象如图所示．‎ 因为f(1)＝1－－1＝－1<0，‎ f(2)＝8－0＝7>0，‎ 所以f(1)f(2)<0，‎ 所以x0∈(1,2)．‎ ‎[点石成金]　确定函数f(x)的零点所在区间的两种常用方法 ‎(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)f(b)<0时，函数在区间(a，b)上至少有一个零点．‎ ‎(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点．‎ 考点2　判断函数零点个数 ‎(1)[教材习题改编]函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 答案：B ‎(2)[教材习题改编]用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．‎ 答案：[2,2.5]‎ 函数零点个数的判断方法：直接求零点；零点存在性定理；图象交点个数．‎ ‎(1)若函数f(x)＝ax＋b的一个零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．‎ 答案：0，－ 解析：因为‎2a＋b＝0，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，所以零点为0和－.‎ ‎(2)给出三个区间，，，则函数f(x)＝x＋ln x 的零点所在的一个区间是________．‎ 答案： 解析：当x从1趋近于0时，ln x趋近于负无穷大，所以f(x)趋近于负无穷大，而f＝＋ln＝－1＜0，f＝＋ln＝－2＜0，f(1)＝1＋ln 1＞0，所以函数的零点所在区间是.‎ ‎[典题2]　(1)[2017·安徽合肥模拟]若偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝x在上的根的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　因为f(x)为偶函数，所以当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，‎ 所以f(－x)＝x2，即f(x)＝x2.‎ 又f(x－1)＝f(x＋1)，‎ 所以f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[(x＋1)－1]＝f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数，在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝x在上的图象，如图所示．‎ 数形结合得两图象有3个交点，故方程f(x)＝x在上有3个根．故选C.‎ ‎(2)[2017·湖南衡阳模拟]函数f(x)的定义域为[－1,1]，图象如图①所示；函数g(x ‎)的定义域为[－2,2]，图象如图②所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝(　　)‎ A．14 B．12 ‎ C．10 D．8‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由题图①可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1，由题图②可知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1；g(x)＝0对应的x值有3个；g(x)＝1时，x＝2或x＝－2，故m＝7.若g(f(x))＝0，则f(x)＝－1.5或f(x)＝1.5或f(x)＝0，由题图①知，f(x)＝1.5与f(x)＝－1.5对应的x值各有2个，f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7，故m＋n＝14.故选A.‎ ‎[点石成金]　判断函数零点个数的三种方法 ‎(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.‎ ‎1.函数f(x)＝log2(x＋4)－3x的零点个数为(　　)‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．3‎ 答案：C 解析：在同一坐标系中，画出函数y＝3x与函数y＝log2(x＋4)的图象，则图象的交点个数就是函数f(x)＝log2(x＋4)－3x的零点的个数，由图象知，函数图象交点为2个，故函数的零点为2个，故选C.‎ ‎2．已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．‎ 答案：3‎ 解析：依题意得 由此解得 由g(x)＝0得f(x)＋x＝0，该方程等价于①或②‎ 解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.‎ 因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.‎ 考点3　函数零点的应用 ‎[典题3]　已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．‎ ‎[答案]　(0,1)‎ ‎[解析]　函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，转化为f(x)－m＝0的根有3个，进而转化为y＝f(x)，y＝m的交点有3个．‎ 画出函数y＝f(x)的图象，则直线y＝m与其有3个公共点．‎ 又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知，实数m的取值范围是(0,1)．‎ ‎[点石成金]　已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的三种方法 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围．‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[0,1)‎ B．(－∞，1)‎ C．(－∞，0]∪(1，＋∞)‎ D．(－∞，1]∪(2，＋∞)‎ 答案：C 解析：函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，作出h(x)＝的图象，如图所示．‎ 观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．‎ 考点4　二次函数的零点问题 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 图象 与x轴 的交点 ‎________‎ ‎________‎ 无交点 零点个数 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ 答案：(x1,0)，(x2,0)　(x1,0)　2　1　0‎ ‎[典题4]　已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；‎ ‎(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，‎ 所以a＝－3，于是f(x)＝x2－3x＋2.‎ 由f(x)≥1－x2，得2x2－3x＋1≥0，‎ 解得x≤或x≥1， 所以不等式f(x)≥1－x2的解集为.‎ ‎(2)函数g(x)＝2x2＋ax＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则 即解得－5＜a＜－2.‎ 所以实数a的取值范围是(－5，－2)．‎ ‎[点石成金]　解决与二次函数有关的零点问题 ‎(1)可利用一元二次方程的求根公式；‎ ‎(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；‎ ‎(3)利用二次函数的图象列不等式组.‎ 已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．‎ 解：解法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x12时，g(x)＝x＋b－4，f(x)＝(x－2)2；‎ 当0≤x≤2时，g(x)＝b－x，f(x)＝2－x；‎ 当x<0时，g(x)＝b－x2，f(x)＝2＋x.‎ 由于函数y＝f(x)－g(x) 恰有4个零点，‎ 所以方程f(x)－g(x)＝0恰有4个根．‎ 当b＝0时，‎ 当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋8＝0，无解；‎ 当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x－(－x)＝0，无解；‎ 当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x＋2＝0，无解．‎ 所以b≠0，排除答案B.‎ 当b＝2时，当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为(x－2)2＝x－2，得x＝2(舍去)或x＝3，有1解；‎ 当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x＝2－x，有无数个解；‎ 当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x2＝x＋2，得x＝0(舍去)或x＝－1，有1解．‎ 所以b≠2，排除答案A.‎ 当b＝1时，当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋7＝0，无解；‎ 当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为1－x＝2－x，无解；‎ 当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x＋1＝0，无解．所以b≠1，排除答案C.‎ 故选D.‎ ‎3．[2014·湖南卷]已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)‎ A. B．(－∞，)‎ C. D． 答案：B 解析：由题意可得，当x>0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图象有交点，即g(x)＝f(－x)有正解，即x2＋ln(x＋a)＝(－x)2＋e－x－有正解，即e－x－ln(x＋a)－＝0有正解，令F(x)＝e－x－ln(x＋a)－，则F′(x)＝－e－x－<0，故函数F(x)＝e－x－ln(x＋a)－在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g(x)＝f(－x)有正解，则存在正数x使得F(x)≥0，即e－x－ln(x＋a)－≥0，所以a≤e－x，又y＝e－x在(0，＋∞)上单调递减，所以am时，f(x)＝x2－2mx＋‎4m＝(x－m)2 ＋‎4m－m2，其顶点为(m,‎4m－m2)；当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x＝m的交点为Q(m，m)．‎ 当即03时，函数f(x)的图象如图②所示，则存在实数b满足‎4m－m20)，其中e表示自然对数的底数．‎ ‎(1)若g(x)＝m有实根，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．‎ ‎[思路分析]　(1)可将g(x)＝m有实根转化为一元二次方程有大于零的实根来求解，也可利用基本不等式或根据函数图象求解；(2)利用函数图象得到不等式，解不等式即可．‎ ‎[解]　(1)解法一：因为x>0，所以g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e.‎ 故g(x)的值域是[2e，＋∞)，‎ 因而只需m≥2e，g(x)＝m就有实根．‎ 故实数m的取值范围为[2e，＋∞)．‎ 解法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的图象，如图所示．‎ 观察图象可知g(x)的最小值为2e，因此要使g(x)＝m有实根，则只需m≥2e.‎ 故实数m的取值范围为[2e，＋∞)．‎ 解法三：由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0，‎ 故 等价于故m≥2e.‎ 故实数m的取值范围为[2e，＋∞)．‎ ‎(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．‎ 因为f(x)＝－x2＋2ex＋t－1＝－(x－e)2＋t－1＋e2，‎ 所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为t－1＋e2.‎ 由题意，作出g(x)＝x＋(x>0)及f(x)＝－x2＋2ex＋t－1的大致图象，如图所示．‎ 故当t－1＋e2>2e，即t>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．‎ 所以t的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．‎ ‎[典例2]　设函数f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－ln x(a，b∈R)，已知它们的图象在x＝1处的切线的斜率相等．‎ ‎(1)求b的值；‎ ‎(2)若函数F(x)＝且方程F(x)＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围．‎ ‎[思路分析]　‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝3ax2－‎3a，所以f′(1)＝0.‎ 而g′(x)＝2bx－，故g′(1)＝2b－1，‎ 由题意得2b－1＝0，解得b＝.‎ ‎(2)当x∈(0,1)时，g′(x)＝x－<0，‎ 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－>0，‎ 所以当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝.‎ 当a＝0时，易知方程F(x)＝a2不可能只有四个解．‎ 当a<0时，x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，x∈(－1,0)时f′(x)>0，‎ 所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝‎2a，‎ 又f(0)＝0，画出F(x)的图象如图所示，从图象可以看出F(x)＝a2不可能有四个解．‎ 当a>0时，x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，x∈(－1,0)时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝‎2a，‎ 又f(0)＝0，画出F(x)的图象如图所示，‎ 从图象可以看出方程F(x)＝a2有且只有四个解时，