数学理卷·2017届黑龙江省七台河市高三上学期期末联考（2017 11页

‎2017-2018学年度上学期期末联合考试 高三数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数（是虚数单位），则（ ）‎ A． B． C．-1 D．‎ ‎3.已知条件，条件，则“”是“非”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎4.设实数满足不等式，则的最小值是（ ）‎ A．-1 B． C. 2 D．‎ ‎5.若，则等于（ ）‎ A． B． C.1 D．‎ ‎6.已知平面向量，满足，，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为（ ）‎ A．2 B． C.1 D．‎ ‎7.已知公差不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，，则（ ）‎ A．16 B．8 C.4 D．2‎ ‎8.甲、乙两个射手的奥运预选赛的6次射击的成绩统计如下图的茎叶图，设甲、乙两组数据的平均数分别为，，标准差分别为，，则（ ）‎ A．， B．， ‎ C. ， D．，‎ ‎9.已知函数，则以下判断中正确的是（ ）‎ A．函数的图象可由函数的图象向左平移而得到 ‎ B．函数的图象可由函数的图象向左平移而得到 ‎ C. 函数的图象可由函数的图象向右平移而得到 ‎ D．函数的图象可由函数的图象向左平移而得到 ‎10.2017年江苏南京第二师范学院建设65周年院庆前夕，学院从8女4男中选出6人排练民族舞《小河淌水》以备院庆演出.如果按性别分层抽取，则不同的抽取方法种数为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎11.已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知抛物线的焦点，直线与交于两点，且，则直线的斜率可能为（ ）‎ A． B． C. 1 D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设等差数列的前项和为，则，，，‎ 成等差数列.类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则 ，____________成等比数列.‎ ‎14.如图所示是一个中国古代的铜钱，直径为，中间是边长为的正方形，现向该铜钱上任投一点，则该点恰好落在正方形内的概率为 ．‎ ‎15.已知展开式的所有项系数之和为81，则的常数项为 ．‎ ‎16.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设的内角所对的边长分别为，且，求的值.‎ ‎18.2017年7月4日，外交部发言人耿爽就印军非法越境事件召开新闻发布会，参加的记者总人数为200人，其他区性的分类如下：‎ 地区 中国大陆 港、澳、台 欧美 其他 人数 ‎60‎ ‎40‎ 因时间的因素，此次招待会只选10位记者向耿爽提问，但每位记者至多提问一次.按照分层抽样法，欧美恰有1位记者得到提问机会.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求前四次提问中，中国大陆记者得到提问的人数的分布列及数学期望.‎ ‎19. 如图所示，平面图形中，其中矩形的边长分别为，，等腰梯形的边长分别为，.现将该平面图形沿着折叠，使梯形与矩形垂直，再连接，得到如图所示的空间图形，对此空间图形解答如下问题：‎ ‎（1）证明：； ‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20. 实轴长为的椭圆的中心在原点，其焦点，在轴上，抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，两曲线在第一象限内相交于点， 且，的面积为3.‎ ‎（1）求椭圆和抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过点作直线分别与抛物线和椭圆交于，，若，求直线的斜率.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）对任意的，，恒有，求正实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）若，判断两曲线的位置关系；‎ ‎（2）若曲线上的点到曲线的最大距离为3，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.‎ ‎2017-2018学年度上学期期末联合考试·高三数学（理科）‎ 参考答案、提示及评分细则 一、选择题 ‎1-5:CDABB 6-10: BAAAC 11、12：AA 二、填空题 ‎13. 14. 15. -2 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：由正弦定理得，，‎ ‎.‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎18.解：（1）∵，∴，∴.‎ ‎（2）按照分层抽样法，则中国大陆将有3位记者得到提问机会，其他地区将有7位记者得到提问机会.‎ 设为前四次提问中中国大陆记者得到提问的人数，则的可能取值为0,1,2,3.；；；；.‎ ‎∴的分布列为：‎ 则.‎ ‎19.解法一：（1）证明：∵四边形是矩形，∴.‎ ‎∵平面平面，平面平面，∴平面.‎ ‎∵平面，∴.‎ ‎（2）如图所示，作，，垂足分别为，过分别作，，交分别于，连接.‎ ‎∵为直角三角形，且，，∴.‎ 在等腰梯形中，易求，‎ 而，‎ 由题可知，在平面的射影为，‎ ‎∴.‎ 可知平面与平面所成二面角为，而.‎ 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，（1）则，，，，，.‎ ‎，，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎（2）设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 不妨取，则.‎ 同理可得平面的法向量为.‎ ‎.‎ 二面角的角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）设椭圆方程为，，，‎ 由题意知，‎ 解得，∴.椭圆的方程为.‎ ‎∵，∴，代入椭圆的方程得，‎ 将点坐标代入得抛物线方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，，，‎ 由，得，化简得.‎ 联立直线与抛物线的方程得，‎ ‎∴.①‎ 联立直线与椭圆的方程，‎ 得，‎ ‎∴.②‎ ‎∴，‎ 整理得：，∴，所以直线的斜率为.‎ ‎21.解：（1），‎ 令，则，.‎ ‎①当时，，所以增区间是；‎ ‎②当时，，‎ 所以增区间是与，减区间是；‎ ‎③当时，，‎ 所以增区间是与，减区间是；‎ ‎④当时，，‎ 所以增区间是，减区间是.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 由（1）知在上为减函数.‎ 若，则原不等式恒成立，∴.‎ 若，不妨设，则，，‎ 所以原不等式即为：，‎ 即对任意的，恒成立.‎ 令，‎ 所以对任意的，有恒成立，‎ 所以在闭区间上为增函数.‎ 所以对任意的，恒成立.‎ 而，‎ ‎，化简即，‎ 即，其中.‎ ‎∵，∴，∴只需.‎ 即对任意恒成立.‎ 令，，恒成立.‎ ‎∴在闭区间上为减函数，则，‎ ‎∴，解得.‎ ‎22.解：由已知得曲线的普通方程为，表示圆；曲线的普通方程为，表示直线.‎ ‎（1）若，则圆心到直线的距离，故两曲线相交.‎ ‎（2）由圆心到直线的距离，得最大距离为，‎ ‎∴，.‎ ‎23.解：（1），，即得，得.‎ ‎（2）∵，∴.‎ ‎∵，且存在实数使，‎ ‎∴.‎ ‎ ‎