数学理卷·2018届湖南省长沙市高三上学期期末统一模拟考试（2018 14页

长沙市2018届高三期末统一模拟考试 理科数学 长沙市教科院组织名优教师联合命制 本试题卷共7页，全卷满分150分，考试用时120分钟。‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.己知复数，则下列结论正确的是 A. z的虚部为i B.|z|=2 ‎ C. 为纯虚数 D. z的共轭复数 ‎2. 己知命题p: >0，,若p为假命题，则a的取值范围是 A.(-，1) B. (-，1] C. (1，+） D. [1，+） ‎ ‎3.己知，则 A.1 B. 2 C.-1 D．-2‎ ‎4.在△AOB 中，OA = OB=1，OA丄OB，点 C 在 AB 边上，且 AB = 4AC，则= ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.己知某二棱锥的三视图如图所示，其中俯视图由直角三角形和斜边上的中线组成，则该几何体的外接球的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎6.己知 ，且 <0，则 的值为 A. 7 B.-7 C. D. ‎ ‎7.若正整数N除以正整数m后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的等于 ‎ A. 3 B. 9 ‎ C.27 D.81‎ ‎8.设函数 ，己知的最小正周期为，且当时，取得最大值。将函数的图象向左平移个单位得函数的图象，则下列结论正确的是 A．是奇函数， 且在[0, ]内单调递增 ‎ B．是奇函数， 且在[0,]内单调递减 ‎ C．是偶函数， 且在[0,]内单调递增 ‎ D．是偶函数， 且在[0, ]内单调递减 ‎ ‎9.如图，有一直角墙角BA和BC，两边的长度足够长。拟在点P处栽一棵桂花树，使之与两墙的距离分别为a(0成立的正整数n的最小值.‎ ‎18.(本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形 ，PA丄底面ABCD, AB =,AD = ，AP=2，∠ABC=60°.‎ ‎（I）证明：平面PCA丄平面PCD;‎ ‎（Ⅱ）设E为侧棱PD上一点，若直线CE分别与平面ABCD、平面PBC所成的角相等，求的值.‎ ‎19.(本小题满分12分）‎ ‎ 某科研所共有30位科研员，其中60%的人爱好体育锻炼。经体检调查，这30位科研员的健康指数(百分制)如下茎叶图所示。体检评价标准指出：健康指数不低于70 者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般。‎ ‎(I)根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”？‎ 身体状况好 身体状况一般 总计 爱好体育锻炼 不爱好体育锻炼 总计 ‎30‎ ‎（Ⅱ）现将30位科研员的健康指数分为如下5组：‎ ‎ [50, 60)， [60， 70)，[70， 80)， [80， 90)，[90， 100)，‎ 其频率分布直方图如图所示。计算该所科研员健康指数的平均数，由茎叶图得到的真实值记为，由频率分布直方图得到的估计值记为 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，求与的误差值；‎ ‎（Ⅲ）从该科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中爱好体育锻炼的人数的分布列和数学期望。‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知椭圆C的两焦点分别为F1(,0)，F2(，0)，点E在椭圆C上，且∠F1EF2= 60°，.‎ ‎（I）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过轴正半轴上一点M作直线，交椭圆C于A B两点。问：是否存在定点M，使当直线绕点M任意转动时，为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎21.(本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，其中“a>0为常数。‎ ‎（I）若在区间(0, 3]内单调递减，求a的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若在(0，+)内有且只有一个零点，记[]表示不超过的最大整数， 求[]的值。 (二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.(本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为 (为参数)。‎ ‎（Ⅰ）以原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设A、B为曲线C上两动点，且OA丄OB，求|AB|的取值范围。‎ ‎23.(本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲 ‎ 设函数的最小值为m.‎ ‎（Ⅰ）求不等式2|a-b|.‎