数学理卷·2018届辽宁省锦州市高二上学期期末考试（2017-01） 8页

‎2016～2017学年第一学期期末考试 高二数学（理）‎ 注意事项：‎ ‎1.本试卷备有答题卡，请在答题卡上作答，否则无效.‎ ‎2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；时间满分150分，考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.命题“，则”的逆否命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎2.设，，，且，则下列选项中一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知命题：，总有，则为（ ）‎ A．，总有 B．，总有 ‎ C．，使得 D． ，使得 ‎4.“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 ‎5.已知向量，且与互相垂直，则的值是（ ）‎ A．1 B． C. D．‎ ‎6.在各项均为正数的等比数列中，，则（ ）‎ A．8 B．6 C.4 D．‎ ‎7.若，满足条件，则的最大值为（ ）‎ A．5 B．1 C. D．-1‎ ‎8.等差数列中，，，则的前8项和为（ ）‎ A．32 B．64 C.108 D．128‎ ‎9.若直线交抛物线于，两点，且线段中点到轴的距离为3，则（ ）‎ A．12 B．10 C.8 D．6‎ ‎10.在中，若，则是（ ）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C.等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎11.设是双曲线（，）上的点，、是焦点，双曲线的离心率是，且，面积是9，则（ ）‎ A．4 B．5 C.6 D．7‎ ‎12.椭圆（）的两个焦点为、，为直线上一点，的垂直平分线恰好过点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）‎ ‎13.若，化简的结果为 ．‎ ‎14.已知向量，，若，则 ．‎ ‎15.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得的仰角，点的仰角以及；从点测得；已知山高，则山高 ．‎ ‎16.求和： ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 已知命题：直线与抛物线（）没有交点；已知命题：方程表示双曲线；若为真，为假，试求实数的取值范围.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知的内角，，的对边分别为，，且有.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知首项为的等比数列是递减数列，且，，成等差数列；数列的前项和为，且，‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）已知，求数列的前项和.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面 ‎（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动，经市场调查和测算，该纪念品的年销售量（单位：万件）与年促销费用（单位：万元）之间满足于成反比例.若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件.已知加工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，没生产1万件纪念品另外需要投资32万元.当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等.（利润=收入－生产成本－促销费用）‎ ‎（Ⅰ）请把该工厂2017年的年利润（单位：万元）表示成促销费（单位：万元）的函数；‎ ‎（Ⅱ）试问：当2017年的促销费投入多少万元时，该工程的年利润最大？‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 平面直角坐标系中，过椭圆：（）右焦点的直线交于，两点，为的中点，且的斜率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ），为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.‎ 高二数学（理）参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:BDCBD 6-10:AABCD 11、12：DC 二、填空题 ‎13. 14.6 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：若直线与抛物线（）没有交点，‎ 由得，代入得，得，‎ 则由，解得，…………………………………………………………………3分 若方程表示双曲线，则，得或，…………………………6分 若为真，为假，则，一真一假，‎ 若真假，则得，‎ 若假真，则得或，‎ 综上所述的取值范围是或或.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由得：.‎ 即，从而有：，又因为角为的内角，所以.…………6分 ‎（Ⅱ）由正弦定理得：，‎ 所以 ‎，又因为，所以，‎ 所以，故的取值范围是……………………………………12分 ‎19.（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，由题知，又∵，，成等差数列，‎ ‎∴，∴，解得或，‎ 又由为递减数列，于是，∴…………………………………………………4分 当时，，当时 又满足该式 ∴数列的通项公式为（）…………………………………………8分 ‎（Ⅱ）由于 ∴‎ ‎∴‎ 故（）……………………………………………………………………………………12分 ‎20.（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）以点为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ 又，平面，平面，‎ ‎∴平面，∵平面，‎ ‎∴平面平面 ‎（Ⅱ），，‎ 设是平面的一个法向量，则，‎ ‎∴，‎ 令，则，，即，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴.‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.………………………………………………………………12分 ‎21.（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设反比例系数为（）.由题意有.‎ 又时，，所以，，‎ 则与的关系是（），‎ 依据题意，可知工厂生产万件纪念品的生产成本为万元，促销费用为万元，则每件纪念品的定价为元/件，‎ 于是，进一步化简，得（）.‎ 因此工厂2017年的利润为（）.……………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（），‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 所以当2017年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元.……………………12分 ‎22.（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设，，，将、代入得到 则（1）-（2）得到，由直线：的斜率，‎ 所以，的斜率为 所以，由得，，所以标准方程为……………………6分 ‎（Ⅱ）若四边形的对角线，由面积公式可知，当最长时四边形面积最大，由直线：的斜率，设直线方程为，与椭圆方程联立得：，，，‎ 则，当时最大值为4，‎ 联立直线：与椭圆方程得，‎ 利用弦长公式，‎ ‎．…………………………………………………………………………12分