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  • 2021-06-12 发布

数学卷·2017届广东省揭阳市普宁一中高三下学期摸底数学试卷(理科) (解析版)

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‎2016-2017学年广东省揭阳市普宁一中高三(下)摸底数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.‎ ‎1.设集合A={x|(x﹣3)(x﹣1)>0},B={x|y=lg(2x﹣3)},则A∩B=(  )‎ A. B.(3,+∞) C. D.(,3)‎ ‎2.已知命题p:∀x≥0,2x≥1;命题q:若x>y,则x2>y2.则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧¬q D.¬p∨q ‎3.已知直线a,b,平面α,β,且a⊥α,b⊂β,则“a⊥b”是“α∥β”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(﹣2),f(π),f(﹣3)的大小关系是(  )‎ A.f(﹣2)<f(π)<f(﹣3) B.f(π)<f(﹣2)<f(﹣3) C.f(﹣2)<f(﹣3)<f(π) D.f(﹣3)<f(﹣2)<f(π)‎ ‎5.将函数y=sin(x+)的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍(纵坐标不变),所得函数在下面哪个区间单调递增(  )‎ A.(﹣,)p B.(﹣,)p C.(﹣,)pp D.(﹣,)p ‎6.已知函数f(x)=ex﹣(x+1)2(e为自然对数的底数),则f(x)的大致图象是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7.设a>0,b>0,若是4a与2b的等比中项,则的最小值为(  )‎ A.2 B.8 C.9 D.10‎ ‎8.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是(  )‎ A.36π B.30π C.24π D.15π ‎9.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2﹣2x﹣3)f′(x)>0的解集为(  )‎ A.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(1,2)‎ C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,1)∪(3,+∞)‎ ‎10.设a=(),b=(),c=log2,则a,b,c的大小顺序是(  )‎ A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a ‎11.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线截圆M:(x﹣1)2+y2=1所得弦长为,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,其中f′(x)为f(x)的导数,则(  )‎ A.8<<16 B.4<<8 C.3<<4 D.2<<3‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4题,每题5分)‎ ‎13.f(x)=x3+x﹣8在(1,﹣6)处的切线方程为  .‎ ‎14.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为  .‎ ‎15.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少分配一名员工,且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为  .‎ ‎16.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2﹣a2=bc,,,则b+c的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和.‎ ‎18.(12分)雾霾影响人们的身体健康,越来越多的人开始关心如何少产生雾霾,春节前夕,某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度,随机采访了50人,将凋查情况进行整理后制成下表:‎ 年龄(岁)‎ ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55)‎ ‎[55,65)‎ ‎[65,75]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎(1)以赞同人数的频率为概率,若再随机采访3人,求至少有1人持赞同态度的概率;‎ ‎(2)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎19.(12分)正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=CD=2,点M在线段EC上且不与E,C重合.‎ ‎(Ⅰ)当点M是EC中点时,求证:BM∥平面ADEF;‎ ‎(Ⅱ)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥M﹣BDE的体积.‎ ‎20.(12分)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.‎ ‎(1)求椭圆的方程.‎ ‎(2)设P为椭圆上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T,且满足(O为坐标原点),求实数t的取值范围.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=ex,g(x)=ax+b,(a,b∈R)‎ ‎(1)讨论函数y=f(x)+g(x)的单调区间;‎ ‎(2)如果,求证:当x≥0时,.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),l与C分别交于M,N.‎ ‎(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;‎ ‎(2)若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列,求a的值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.设函数f(x)=|x﹣|+|x+m|(m>0)‎ ‎(1)证明:f(x)≥4;‎ ‎(2)若f(2)>5,求m的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年广东省揭阳市普宁一中高三(下)摸底数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.‎ ‎1.设集合A={x|(x﹣3)(x﹣1)>0},B={x|y=lg(2x﹣3)},则A∩B=(  )‎ A. B.(3,+∞) C. D.(,3)‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】先分别求出集合A,B,由此利用交集定义能求出A∩B.‎ ‎【解答】解:∵集合A={x|(x﹣3)(x﹣1)>0}={x|x<1或x>3},‎ B={x|y=lg(2x﹣3)}={x|x>},‎ ‎∴A∩B={x|x>3}=(3,+∞).‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎2.已知命题p:∀x≥0,2x≥1;命题q:若x>y,则x2>y2.则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧¬q D.¬p∨q ‎【考点】复合命题的真假.‎ ‎【分析】分别判断命题p,q的真假,结合复合命题之间的关系进行判断即可.‎ ‎【解答】解:命题p::∀x≥0,2x≥1为真命题,‎ 命题q:若x>y,则x2>y2为假命题,(如x=0,y=﹣3),‎ 故¬q为真命题,‎ 则p∧¬q为真命题.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查命题真假的判断,根据复合命题之间的关系是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎3.已知直线a,b,平面α,β,且a⊥α,b⊂β,则“a⊥b”是“α∥β”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】根据题意,分两步来判断:①分析当α∥β时,a⊥b是否成立,有线面垂直的性质,可得其是真命题,‎ ‎②分析当a⊥b时,α∥β是否成立,举出反例可得其是假命题,综合①②可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,分两步来判断:‎ ‎①当α∥β时,‎ ‎∵a⊥α,且α∥β,‎ ‎∴a⊥β,又∵b⊂β,‎ ‎∴a⊥b,‎ 则a⊥b是α∥β的必要条件,‎ ‎②若a⊥b,不一定α∥β,‎ 当α∩β=a时,又由a⊥α,则a⊥b,但此时α∥β不成立,‎ 即a⊥b不是α∥β的充分条件,‎ 则a⊥b是α∥β的必要不充分条件,‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查充分必要条件的判断,涉及线面垂直的性质的运用,解题的关键要掌握线面垂直的性质.‎ ‎ ‎ ‎4.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(﹣2),f(π),f(﹣3)的大小关系是(  )‎ A.f(﹣2)<f(π)<f(﹣3) B.f(π)<f(﹣2)<f(﹣3) C.f(﹣2)<f(﹣3)<f(π) D.f(﹣3)<f(﹣2)<f(π)‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合.‎ ‎【分析】先利用偶函数的性质,将函数值转化到单调区间[0,+∞)上,然后利用函数的单调性比较大小关系.‎ ‎【解答】解:∵f(x)是定义域为R的偶函数,‎ ‎∴f(﹣3)=f(3),f(﹣2)=f(2).‎ ‎∵函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,‎ ‎∴f(π)>f(3)>f(2),‎ 即f(π)>f(﹣3)>f(﹣2),‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查了偶函数的性质,以及函数的单调性的应用,一般将函数值转化到同一单调区间上再比较大小.‎ ‎ ‎ ‎5.将函数y=sin(x+)的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍(纵坐标不变),所得函数在下面哪个区间单调递增(  )‎ A.(﹣,)p B.(﹣,)p C.(﹣,)pp D.(﹣,)p ‎【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.‎ ‎【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,再利用正弦函数的增区间,求得y=g(x)的单调递增区间.‎ ‎【解答】解:将函数y=sin(x+)图象上每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图象;‎ 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,‎ 可得函数g(x)的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈z,‎ 当k=0时,可得函数在区间(﹣,)单调递增.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的增区间,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.已知函数f(x)=ex﹣(x+1)2(e为自然对数的底数),则f(x)的大致图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎【分析】求出导函数,利用导函数判断函数的单调性.根据数形结合,画出函数的图象,得出交点的横坐标的范围,根据范围判断函数的单调性得出选项.‎ ‎【解答】解:f'(x)=ex﹣2(x+1)=0,‎ 相当于函数y=ex和函数y=2(x+1)交点的横坐标,画出函数图象如图 由图可知﹣1<x1<0,x2>1,且x>x2时,f'(x)>0,递增,‎ 故选C ‎【点评】考查了导函数的应用和利用数形结合的方法判断极值点位置.‎ ‎ ‎ ‎7.设a>0,b>0,若是4a与2b的等比中项,则的最小值为(  )‎ A.2 B.8 C.9 D.10‎ ‎【考点】基本不等式;等比数列的性质.‎ ‎【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1,代入中,将其变为5+,利用基本不等式就可得出其最小值.‎ ‎【解答】解:因为4a•2b=2,所以2a+b=1,‎ ‎,‎ 当且仅当即时“=”成立,‎ 故选C.‎ ‎【点评】此题是基础题.本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力和计算能力.‎ ‎ ‎ ‎8.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是(  )‎ A.36π B.30π C.24π D.15π ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个圆锥,代入圆锥的表面积公式,可得答案.‎ ‎【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个圆锥,‎ 底面半径r=4,母线长l=5,‎ 故圆锥的表面积S=πr(r+l)=36π,‎ 故选:A ‎【点评】本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积,空间几何体的三视图,难度中档.‎ ‎ ‎ ‎9.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2﹣2x﹣3)f′(x)>0的解集为(  )‎ A.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(1,2)‎ C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,1)∪(3,+∞)‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系.‎ ‎【分析】根据题意结合图象求出f′(x)>0的解集与f′(x)<0的解集,因此对原不等式进行化简与转化,进而得到原不等式的答案.‎ ‎【解答】解:由图象可得:当f′(x)>0时,函数f(x)是增函数,所以f′(x)>0的解集为(﹣∞,﹣1),(1,+∞),‎ 当f′(x)<0时,函数f(x)是减函数,所以f′(x)<0的解集为(﹣1,1).‎ 所以不等式f′(x)<0即与不等式(x﹣1)(x+1)<0的解集相等.‎ 由题意可得:不等式(x2﹣2x﹣3)f′(x)>0等价于不等式(x﹣3)(x+1)(x+1)(x﹣1)>0,‎ 所以原不等式的解集为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,1)∪(3,+∞),‎ 故选D.‎ ‎【点评】解决此类问题的关键是熟悉函数的单调性与导数的关系,以及掌握读图与识图的技巧再结合不等式的解法即可得到答案.‎ ‎ ‎ ‎10.设a=(),b=(),c=log2,则a,b,c的大小顺序是(  )‎ A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a ‎【考点】对数值大小的比较.‎ ‎【分析】利用指数函数的单调性即可得出.‎ ‎【解答】解:∵a=()=>b=()>1,c=log2<0,‎ ‎∴a>b>c.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了指数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎11.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线截圆M:(x﹣1)2+y2=1所得弦长为,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】求得圆的圆心和半径,双曲线的渐近线方程,可得圆心到渐近线的距离,运用弦长公式可得c=2b,由a,b,c的关系和离心率公式计算即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:圆M:(x﹣1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1,‎ 双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,‎ 即有圆心到渐近线的距离d==,‎ 由弦长公式可得2=,‎ 化为c=2b,由c2=a2+b2,‎ 可得c=a,即e==.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的连线的求法,注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式,考查圆的弦长公式的运用,以及运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎12.定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,其中f′(x)为f(x)的导数,则(  )‎ A.8<<16 B.4<<8 C.3<<4 D.2<<3‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】令g(x)=g(x)=,h(x)=,求出g(x),h(x)的导数,得到函数g(x),h(x)的单调性,可得g(2)<g(1),h(2)>h(1),由f(1)>0,即可得到4<<8.‎ ‎【解答】解:令g(x)=,‎ 则g′(x)==,‎ ‎∵xf′(x)<3f(x),即xf′(x)﹣3f(x)<0,‎ ‎∴g′(x)<0在(0,+∞)恒成立,‎ 即有g(x)在(0,+∞)递减,可得 g(2)<g(1),即<,‎ 由2f(x)<3f(x),可得f(x)>0,则<8;‎ 令h(x)=,h′(x)==,‎ ‎∵xf′(x)>2f(x),即xf′(x)﹣2f(x)>0,‎ ‎∴h′(x)>0在(0,+∞)恒成立,‎ 即有h(x)在(0,+∞)递增,可得 h(2)>h(1),即>f(1),则>4.‎ 即有4<<8.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,构造g(x)=,h(x)=,求出g(x)和h(x)的导数,得到函数g(x)和h(x)的单调性是解题的关键,本题是一道中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4题,每题5分)‎ ‎13.f(x)=x3+x﹣8在(1,﹣6)处的切线方程为 4x﹣y﹣10=0 .‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】求出函数的导数,可得切线的斜率,再由点斜式方程可得切线的方程.‎ ‎【解答】解:f(x)=x3+x﹣8的导数为f′(x)=3x2+1,‎ 可得切线的斜率为k=3+1=4,‎ 即有切线的方程为y+6=4(x﹣1),‎ 化为4x﹣y﹣10=0.‎ 故答案为:4x﹣y﹣10=0.‎ ‎【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,考查导数的几何意义,正确求出导数和运用点斜式方程是解题的关键,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎14.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为  .‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由三视图知该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去了一个半圆锥所得的组合体,由三视图求出几何元素的长度,由锥体的体积公式求出几何体的体积.‎ ‎【解答】解:由三视图知该几何体的直观图为:‎ 即从四棱锥P﹣ABCD中挖去了一个半圆锥所得的组合体,‎ ‎∵四棱锥P﹣ABCD底面是边长为2的正方形、高为2,圆锥底面圆的半径是1、高为2,顶点是P,‎ ‎∴所求的体积V=‎ ‎=,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查三视图求几何体的体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.‎ ‎ ‎ ‎15.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少分配一名员工,且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为 36 .‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题.‎ ‎【分析】把甲、乙两名员工看做一个整体,再把这4个人分成3部分,每部分至少一人,共有种方法,再把这3部分人分到3个为车间,有种方法,根据分步计数原理,求得不同分法的种数 ‎【解答】‎ 解:把甲、乙两名员工看做一个整体,5个人变成了4个,再把这4个人分成3部分,每部分至少一人,共有种方法,‎ 再把这3部分人分到3个为车间,有种方法,‎ 根据分步计数原理,不同分法的种数为•=36,‎ 故答案为 36.‎ ‎【点评】本题考查的是分类计数问题问题,把计数问题包含在实际问题中,解题的关键是看清题目的实质,把实际问题转化为数学问题,解出结果以后再还原为实际问题.‎ ‎ ‎ ‎16.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2﹣a2=bc,,,则b+c的取值范围是 (,) .‎ ‎【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】利用b2+c2﹣a2=bc,代入到余弦定理中求得cosA的值,进而求得A,再利用正弦定理求得b、c,利用两角和差的正弦公式化简b+c的解析式,结合正弦函数的定义域和值域,求得b+c 的范围.‎ ‎【解答】解:△ABC中,∵b2+c2﹣a2=bc,∴cosA==,∴A=,B+C=.‎ ‎∵,∴∠B为钝角.‎ ‎∵,由正弦定理可得=1==,‎ ‎∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin(﹣B)=sinB+cosB+sinB ‎=sinB+cosB=sin(B+),‎ ‎∵B∈(,),∴B+∈(,),∴sin(B+)∈(,),‎ ‎∴b+c 的范围为,‎ 故答案为:(,).‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理的应用.注意余弦定理的变形式的应用,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)(2016春•苏州期末)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和.‎ ‎【考点】数列的求和;数列递推式.‎ ‎【分析】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比,即可求数列的通项公式;‎ ‎(2)利用分组求和的方法求解数列的和,由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和.‎ ‎【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得 d===3.‎ ‎∴an=a1+(n﹣1)d=3n(n=1,2,…).‎ ‎∴数列{an}的通项公式为:an=3n;‎ 设等比数列{bn﹣an}的公比为q,由题意得:‎ q3===8,解得q=2.‎ ‎∴bn﹣an=(b1﹣a1)qn﹣1=2n﹣1.‎ 从而bn=3n+2n﹣1(n=1,2,…).‎ ‎∴数列{bn}的通项公式为:bn=3n+2n﹣1;‎ ‎(2)由(1)知bn=3n+2n﹣1(n=1,2,…).‎ 数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1.‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为n(n+1)+2n﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式,考查了利用分组求和的方法求解数列的前n项和,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2016•河北模拟)雾霾影响人们的身体健康,越来越多的人开始关心如何少产生雾霾,春节前夕,某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度,随机采访了50人,将凋查情况进行整理后制成下表:‎ 年龄(岁)‎ ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55)‎ ‎[55,65)‎ ‎[65,75]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎(1)以赞同人数的频率为概率,若再随机采访3人,求至少有1人持赞同态度的概率;‎ ‎(2)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量及其分布列.‎ ‎【分析】(1)先求出赞同人数的概率,由此能求出至少有1人持赞同态度的概率.‎ ‎(2)依题意得X=0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和X的数学期望EX.‎ ‎【解答】解:(1)随机采访的50人中,赞成人数有:4+6+12+7+3+3=35人,‎ ‎∵以赞同人数的频率为概率,∴赞同人数的概率p1==,‎ ‎∴至少有1人持赞同态度的概率p=1﹣(1﹣)3=0.973.‎ ‎(2)从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,‎ 记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X,‎ 依题意得X=0,1,2,3,‎ P(X=0)==,‎ P(X=1)=+=,‎ P(X=2)=•=,‎ P(X=3)=•=,‎ ‎∴X的分布列是:‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎∴X的数学期望EX=+3×=.‎ ‎【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2016•白银模拟)正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=CD=2,点M在线段EC上且不与E,C重合.‎ ‎(Ⅰ)当点M是EC中点时,求证:BM∥平面ADEF;‎ ‎(Ⅱ)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥M﹣BDE的体积.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(I)三角形的中位线定理可得MN∥DC,MN=.再利用已知可得 ‎,即可证明四边形ABMN是平行四边形.再利用线面平行的判定定理即可证明.‎ ‎(II)取CD的中点O,过点O作OP⊥DM,连接BP.可得四边形ABOD是平行四边形,由于AD⊥DC,可得四边形ABOD是矩形.由于BO⊥CD,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,ED⊥AD,可得ED⊥平面ADCB,平面CDE⊥平面ADCB.BO⊥平面CDE.于是BP⊥DM.即可得出∠OPB是平面BDM与平面ABF(即平面ABF)所成锐二面角.由于cos∠OPB=,可得BP=.可得sin∠MDC==.而sin∠ECD==.而DM=MC,同理DM=EM.M为EC的中点,利用三棱锥的体积计算公式可得VM﹣BDE=VB﹣DEM=.‎ ‎【解答】(I)证明:取ED的中点N,连接MN.‎ 又∵点M是EC中点.‎ ‎∴MN∥DC,MN=.‎ 而AB∥DC,AB=DC.‎ ‎∴,‎ ‎∴四边形ABMN是平行四边形.‎ ‎∴BM∥AN.‎ 而BM⊄平面ADEF,AN⊂平面ADEF,‎ ‎∴BM∥平面ADEF.‎ ‎(Ⅱ)取CD的中点O,过点O作OP⊥DM,连接BP.‎ ‎∵AB∥CD,AB=CD=2,‎ ‎∴四边形ABOD是平行四边形,‎ ‎∵AD⊥DC,‎ ‎∴四边形ABOD是矩形.‎ ‎∴BO⊥CD.‎ ‎∵正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,ED⊥AD,‎ ‎∴ED⊥平面ADCB.‎ ‎∴平面CDE⊥平面ADCB.‎ ‎∴BO⊥平面CDE.‎ ‎∴BP⊥DM.‎ ‎∴∠OPB是平面BDM与平面ABF(即平面ABF)所成锐二面角.‎ ‎∵cos∠OPB=,∴sin∠OPB=.‎ ‎∴=,解得BP=.‎ ‎∴OP=BPcos∠OPB=.‎ ‎∴sin∠MDC==.‎ 而sin∠ECD==.‎ ‎∴DM=MC,同理DM=EM.‎ ‎∴M为EC的中点,‎ ‎∴,‎ ‎∵AD⊥CD,AD⊥DE,且DE与CD相交于D ‎∴AD⊥平面CDE.‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴三棱锥B﹣DME的高=AD=2,‎ ‎∴VM﹣BDE=VB﹣DEM==.‎ ‎【点评】本题考查了三角形的中位线定理、梯形的定义、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、线面面面垂直的判定与性质定理、二面角的作法与应用、三棱锥的体积计算公式,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2016•河南模拟)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.‎ ‎(1)求椭圆的方程.‎ ‎(2)设P为椭圆上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T,且满足(O为坐标原点),求实数t的取值范围.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎【分析】(1)写出满足条件的圆的方程,再由直线与圆相切得到d=a,再由等腰直角三角形得到b=c,解方程即可得到a,b的值;‎ ‎(2)设P(x0,y0),设出直线l:y=k(x﹣2),联立椭圆方程消去y,得到x的方程,运用韦达定理和判别式大于0,再由向量加法运算得到x0,y0的关系,代入椭圆方程,结合判别式大于0,即可得到t的范围.‎ ‎【解答】解:(1)由题意得,以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径 的圆的方程为(x﹣c)2+y2=a2,‎ ‎∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=*,‎ ‎∵椭圆C: +=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,‎ 则b=c,,代入*式得b=c=1即a=b=,‎ 故所求椭圆方程为+y2=1;‎ ‎(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l方程为y=k(x﹣2),设P(x0,y0),‎ 将直线方程代入椭圆方程得:(1+2k2)x2﹣8k2x+8k2﹣2=0,‎ ‎∴△=64k4﹣4(1+2k2)(8k2﹣2)=﹣16k2+8>0‎ ‎∴,‎ 设S(x1,y1),T(x2,y2)则,‎ 当k=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,成立,故t=0符合题意.‎ 当t≠0时 得tx0=x1+x2=,ty0=y1+y2=k(x1+x2)﹣4k=,‎ ‎∴,,‎ 将上式代入椭圆方程得:,‎ 整理得:‎ 由知0<t2<4,‎ 所以t∈(﹣2,2).‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和性质,以及直线与圆相切的条件,考查联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数,运用韦达定理,注意判别式大于0的条件,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2017春•普宁市校级月考)已知函数f(x)=ex,g(x)=ax+b,(a,b∈R)‎ ‎(1)讨论函数y=f(x)+g(x)的单调区间;‎ ‎(2)如果,求证:当x≥0时,.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.‎ ‎【分析】(1)先求导,再分类讨论,利用导数和函数单调性关系即可求出,‎ ‎(2)原不等式等价于(e﹣x﹣1)(αx+1)+x≥0,再构造函数,利用函数和最值得关系即可证明 ‎【解答】解:(l)y=f(x)+g(x)=ex+ax+b,x∈R,y'=ex+a,‎ 若a≥0,则y'>0所以函数y=f(x)+g(x)的单调增区间为(﹣∞,+∞),‎ 若a<0,令y'>0,得x>ln(﹣a),令y'<0,得x<ln(﹣a),‎ 所以函数y=f(x)+g(x)的单调增区间为(ln(﹣a),+∞),单调减区间为(﹣∞,ln(﹣a))‎ ‎(2)当,x≥0时,‎ 要证,‎ 即证,‎ 即证e﹣x(ax+1)+x≥ax+1,‎ 即证(e﹣x﹣1)(αx+1)+x≥0,‎ 设h(x)=(e﹣x﹣1)(ax+1)+x,则h(0)=0,h'(x)=e﹣x(a﹣1﹣ax)+1﹣a,‎ 下证ex≥x+1,令ϕ(x)=ex﹣x﹣1,则ϕ'(x)=ex﹣1,‎ 当x∈(﹣∞,0)时,ϕ'(x)<0;‎ 当x∈(0,+∞)时,ϕ'(x)>0,‎ 所以[ϕ(x)]min=ϕ(0)=0,‎ 所以ex≥x+1,即﹣x≥1﹣ex,‎ 所以h'(x)=e﹣x(a﹣1﹣ax)+1﹣a≥e﹣x[a﹣1+a(1﹣ex)]+1﹣a=e﹣x(2a﹣1)+1﹣2a=(e﹣x﹣1)(2a﹣1)≥0,‎ 所以h(x)在[0+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(0)=0,‎ 所以当x≥0时,.‎ ‎【点评】本题是一道导数的综合题,考查了函数单调性和导数之间的关系以及,利用导数求函数的单调区间,等价转化思想,不等式的证明.综合性较强,难度较大.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)(2017•武侯区校级模拟)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),l与C分别交于M,N.‎ ‎(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;‎ ‎(2)若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列,求a的值.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.‎ ‎【分析】(1)利用极坐标与普通方程的关系式,可得C为抛物线方程,消去参数t,可得直线l的方程;‎ ‎(2)由|PM|=|t1|,|MN|=|t1﹣t2|,|PN|=|t2|成等比数列,可转化为关于a的等量关系求解.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)曲线C:ρsin2θ=2acosθ,可得ρ2sin2θ=2aρcosθ,它的直角坐标方程为y2=2ax(a>0);‎ ‎,消去t,可得x﹣y﹣2=0,‎ 直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0. 4分 ‎(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得 t2﹣2(4+a)t+8(4+a)=0 (*)‎ ‎△=8a(4+a)>0.‎ 设点M,N分别对应参数t1,t2,恰为上述方程的根.‎ 则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|.‎ 由题设得(t1﹣t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2﹣4t1t2=|t1t2|.‎ 由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,则有 ‎(4+a)2﹣5(4+a)=0,得a=1,或a=﹣4.‎ 因为a>0,所以a=1. 10分 ‎【点评】本题考查参数方程与极坐标的应用,基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.(2017春•普宁市校级月考)设函数f(x)=|x﹣|+|x+m|(m>0)‎ ‎(1)证明:f(x)≥4;‎ ‎(2)若f(2)>5,求m的取值范围.‎ ‎【考点】带绝对值的函数.‎ ‎【分析】(1)运用绝对值不等式的性质:绝对值的和不小于差的绝对值,利用基本不等式即可证得结论.‎ ‎(2)若f(2)>5,即|2﹣|+|2+m|>5,即有|2﹣|>3﹣m,即2﹣>3﹣m或2﹣<m﹣3.转化为二次不等式,解出即可,注意m>0.‎ ‎【解答】(1)证明:∵f(x)=|x﹣|+|x+m|≥|(x﹣)﹣(x+m)|‎ ‎=|﹣﹣m|=+m(m>0)‎ 又m>0,则+m≥4,当且仅当m=2取最小值4.‎ ‎∴f(x)≥4;‎ ‎(2)解:若f(2)>5,即|2﹣|+|2+m|>5,‎ 即有|2﹣|>3﹣m,‎ 即2﹣>3﹣m或2﹣<m﹣3.‎ 由于m>0,则m2﹣m﹣4>0或m2﹣5m+4>0,‎ 解得m>或m>4或0<m<1.‎ 故m的取值范围是(,+∞)∪(0,1).‎ ‎【点评】本题考查绝对值函数的最值,注意去绝对值的方法,考查基本不等式的运用,以及绝对值不等式的解法和二次不等式的解法,属于中档题.‎

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