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- 2021-06-12 发布
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2016-2017学年广东省揭阳市普宁一中高三(下)摸底数学试卷(理科)
一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.
1.设集合A={x|(x﹣3)(x﹣1)>0},B={x|y=lg(2x﹣3)},则A∩B=( )
A. B.(3,+∞) C. D.(,3)
2.已知命题p:∀x≥0,2x≥1;命题q:若x>y,则x2>y2.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧¬q D.¬p∨q
3.已知直线a,b,平面α,β,且a⊥α,b⊂β,则“a⊥b”是“α∥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(﹣2),f(π),f(﹣3)的大小关系是( )
A.f(﹣2)<f(π)<f(﹣3) B.f(π)<f(﹣2)<f(﹣3) C.f(﹣2)<f(﹣3)<f(π) D.f(﹣3)<f(﹣2)<f(π)
5.将函数y=sin(x+)的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍(纵坐标不变),所得函数在下面哪个区间单调递增( )
A.(﹣,)p B.(﹣,)p C.(﹣,)pp D.(﹣,)p
6.已知函数f(x)=ex﹣(x+1)2(e为自然对数的底数),则f(x)的大致图象是( )
A. B.
C. D.
7.设a>0,b>0,若是4a与2b的等比中项,则的最小值为( )
A.2 B.8 C.9 D.10
8.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是( )
A.36π B.30π C.24π D.15π
9.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2﹣2x﹣3)f′(x)>0的解集为( )
A.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(1,2)
C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,1)∪(3,+∞)
10.设a=(),b=(),c=log2,则a,b,c的大小顺序是( )
A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a
11.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线截圆M:(x﹣1)2+y2=1所得弦长为,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
12.定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,其中f′(x)为f(x)的导数,则( )
A.8<<16 B.4<<8 C.3<<4 D.2<<3
二、填空题(共4题,每题5分)
13.f(x)=x3+x﹣8在(1,﹣6)处的切线方程为 .
14.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
15.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少分配一名员工,且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为 .
16.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2﹣a2=bc,,,则b+c的取值范围是 .
三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和.
18.(12分)雾霾影响人们的身体健康,越来越多的人开始关心如何少产生雾霾,春节前夕,某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度,随机采访了50人,将凋查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
12
7
3
3
(1)以赞同人数的频率为概率,若再随机采访3人,求至少有1人持赞同态度的概率;
(2)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
19.(12分)正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=CD=2,点M在线段EC上且不与E,C重合.
(Ⅰ)当点M是EC中点时,求证:BM∥平面ADEF;
(Ⅱ)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥M﹣BDE的体积.
20.(12分)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程.
(2)设P为椭圆上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T,且满足(O为坐标原点),求实数t的取值范围.
21.(12分)已知函数f(x)=ex,g(x)=ax+b,(a,b∈R)
(1)讨论函数y=f(x)+g(x)的单调区间;
(2)如果,求证:当x≥0时,.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),l与C分别交于M,N.
(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;
(2)若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列,求a的值.
[选修4-5:不等式选讲]
23.设函数f(x)=|x﹣|+|x+m|(m>0)
(1)证明:f(x)≥4;
(2)若f(2)>5,求m的取值范围.
2016-2017学年广东省揭阳市普宁一中高三(下)摸底数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.
1.设集合A={x|(x﹣3)(x﹣1)>0},B={x|y=lg(2x﹣3)},则A∩B=( )
A. B.(3,+∞) C. D.(,3)
【考点】交集及其运算.
【分析】先分别求出集合A,B,由此利用交集定义能求出A∩B.
【解答】解:∵集合A={x|(x﹣3)(x﹣1)>0}={x|x<1或x>3},
B={x|y=lg(2x﹣3)}={x|x>},
∴A∩B={x|x>3}=(3,+∞).
故选:B.
【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用.
2.已知命题p:∀x≥0,2x≥1;命题q:若x>y,则x2>y2.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧¬q D.¬p∨q
【考点】复合命题的真假.
【分析】分别判断命题p,q的真假,结合复合命题之间的关系进行判断即可.
【解答】解:命题p::∀x≥0,2x≥1为真命题,
命题q:若x>y,则x2>y2为假命题,(如x=0,y=﹣3),
故¬q为真命题,
则p∧¬q为真命题.
故选:B.
【点评】本题主要考查命题真假的判断,根据复合命题之间的关系是解决本题的关键.
3.已知直线a,b,平面α,β,且a⊥α,b⊂β,则“a⊥b”是“α∥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据题意,分两步来判断:①分析当α∥β时,a⊥b是否成立,有线面垂直的性质,可得其是真命题,
②分析当a⊥b时,α∥β是否成立,举出反例可得其是假命题,综合①②可得答案.
【解答】解:根据题意,分两步来判断:
①当α∥β时,
∵a⊥α,且α∥β,
∴a⊥β,又∵b⊂β,
∴a⊥b,
则a⊥b是α∥β的必要条件,
②若a⊥b,不一定α∥β,
当α∩β=a时,又由a⊥α,则a⊥b,但此时α∥β不成立,
即a⊥b不是α∥β的充分条件,
则a⊥b是α∥β的必要不充分条件,
故选B.
【点评】本题考查充分必要条件的判断,涉及线面垂直的性质的运用,解题的关键要掌握线面垂直的性质.
4.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(﹣2),f(π),f(﹣3)的大小关系是( )
A.f(﹣2)<f(π)<f(﹣3) B.f(π)<f(﹣2)<f(﹣3) C.f(﹣2)<f(﹣3)<f(π) D.f(﹣3)<f(﹣2)<f(π)
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】先利用偶函数的性质,将函数值转化到单调区间[0,+∞)上,然后利用函数的单调性比较大小关系.
【解答】解:∵f(x)是定义域为R的偶函数,
∴f(﹣3)=f(3),f(﹣2)=f(2).
∵函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,
∴f(π)>f(3)>f(2),
即f(π)>f(﹣3)>f(﹣2),
故选C.
【点评】本题考查了偶函数的性质,以及函数的单调性的应用,一般将函数值转化到同一单调区间上再比较大小.
5.将函数y=sin(x+)的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍(纵坐标不变),所得函数在下面哪个区间单调递增( )
A.(﹣,)p B.(﹣,)p C.(﹣,)pp D.(﹣,)p
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,再利用正弦函数的增区间,求得y=g(x)的单调递增区间.
【解答】解:将函数y=sin(x+)图象上每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图象;
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,
可得函数g(x)的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈z,
当k=0时,可得函数在区间(﹣,)单调递增.
故选:A.
【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的增区间,属于基础题.
6.已知函数f(x)=ex﹣(x+1)2(e为自然对数的底数),则f(x)的大致图象是( )
A. B. C. D.
【考点】函数的图象.
【分析】求出导函数,利用导函数判断函数的单调性.根据数形结合,画出函数的图象,得出交点的横坐标的范围,根据范围判断函数的单调性得出选项.
【解答】解:f'(x)=ex﹣2(x+1)=0,
相当于函数y=ex和函数y=2(x+1)交点的横坐标,画出函数图象如图
由图可知﹣1<x1<0,x2>1,且x>x2时,f'(x)>0,递增,
故选C
【点评】考查了导函数的应用和利用数形结合的方法判断极值点位置.
7.设a>0,b>0,若是4a与2b的等比中项,则的最小值为( )
A.2 B.8 C.9 D.10
【考点】基本不等式;等比数列的性质.
【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1,代入中,将其变为5+,利用基本不等式就可得出其最小值.
【解答】解:因为4a•2b=2,所以2a+b=1,
,
当且仅当即时“=”成立,
故选C.
【点评】此题是基础题.本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力和计算能力.
8.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是( )
A.36π B.30π C.24π D.15π
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个圆锥,代入圆锥的表面积公式,可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个圆锥,
底面半径r=4,母线长l=5,
故圆锥的表面积S=πr(r+l)=36π,
故选:A
【点评】本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积,空间几何体的三视图,难度中档.
9.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2﹣2x﹣3)f′(x)>0的解集为( )
A.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(1,2)
C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,1)∪(3,+∞)
【考点】函数的单调性与导数的关系.
【分析】根据题意结合图象求出f′(x)>0的解集与f′(x)<0的解集,因此对原不等式进行化简与转化,进而得到原不等式的答案.
【解答】解:由图象可得:当f′(x)>0时,函数f(x)是增函数,所以f′(x)>0的解集为(﹣∞,﹣1),(1,+∞),
当f′(x)<0时,函数f(x)是减函数,所以f′(x)<0的解集为(﹣1,1).
所以不等式f′(x)<0即与不等式(x﹣1)(x+1)<0的解集相等.
由题意可得:不等式(x2﹣2x﹣3)f′(x)>0等价于不等式(x﹣3)(x+1)(x+1)(x﹣1)>0,
所以原不等式的解集为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,1)∪(3,+∞),
故选D.
【点评】解决此类问题的关键是熟悉函数的单调性与导数的关系,以及掌握读图与识图的技巧再结合不等式的解法即可得到答案.
10.设a=(),b=(),c=log2,则a,b,c的大小顺序是( )
A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a
【考点】对数值大小的比较.
【分析】利用指数函数的单调性即可得出.
【解答】解:∵a=()=>b=()>1,c=log2<0,
∴a>b>c.
故选:B.
【点评】本题考查了指数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
11.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线截圆M:(x﹣1)2+y2=1所得弦长为,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求得圆的圆心和半径,双曲线的渐近线方程,可得圆心到渐近线的距离,运用弦长公式可得c=2b,由a,b,c的关系和离心率公式计算即可得到所求值.
【解答】解:圆M:(x﹣1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1,
双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,
即有圆心到渐近线的距离d==,
由弦长公式可得2=,
化为c=2b,由c2=a2+b2,
可得c=a,即e==.
故选:B.
【点评】本题考查双曲线的连线的求法,注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式,考查圆的弦长公式的运用,以及运算能力,属于中档题.
12.定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,其中f′(x)为f(x)的导数,则( )
A.8<<16 B.4<<8 C.3<<4 D.2<<3
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】令g(x)=g(x)=,h(x)=,求出g(x),h(x)的导数,得到函数g(x),h(x)的单调性,可得g(2)<g(1),h(2)>h(1),由f(1)>0,即可得到4<<8.
【解答】解:令g(x)=,
则g′(x)==,
∵xf′(x)<3f(x),即xf′(x)﹣3f(x)<0,
∴g′(x)<0在(0,+∞)恒成立,
即有g(x)在(0,+∞)递减,可得
g(2)<g(1),即<,
由2f(x)<3f(x),可得f(x)>0,则<8;
令h(x)=,h′(x)==,
∵xf′(x)>2f(x),即xf′(x)﹣2f(x)>0,
∴h′(x)>0在(0,+∞)恒成立,
即有h(x)在(0,+∞)递增,可得
h(2)>h(1),即>f(1),则>4.
即有4<<8.
故选:B.
【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,构造g(x)=,h(x)=,求出g(x)和h(x)的导数,得到函数g(x)和h(x)的单调性是解题的关键,本题是一道中档题.
二、填空题(共4题,每题5分)
13.f(x)=x3+x﹣8在(1,﹣6)处的切线方程为 4x﹣y﹣10=0 .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出函数的导数,可得切线的斜率,再由点斜式方程可得切线的方程.
【解答】解:f(x)=x3+x﹣8的导数为f′(x)=3x2+1,
可得切线的斜率为k=3+1=4,
即有切线的方程为y+6=4(x﹣1),
化为4x﹣y﹣10=0.
故答案为:4x﹣y﹣10=0.
【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,考查导数的几何意义,正确求出导数和运用点斜式方程是解题的关键,属于基础题.
14.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图知该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去了一个半圆锥所得的组合体,由三视图求出几何元素的长度,由锥体的体积公式求出几何体的体积.
【解答】解:由三视图知该几何体的直观图为:
即从四棱锥P﹣ABCD中挖去了一个半圆锥所得的组合体,
∵四棱锥P﹣ABCD底面是边长为2的正方形、高为2,圆锥底面圆的半径是1、高为2,顶点是P,
∴所求的体积V=
=,
故答案为:.
【点评】本题考查三视图求几何体的体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.
15.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少分配一名员工,且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为 36 .
【考点】排列、组合及简单计数问题.
【分析】把甲、乙两名员工看做一个整体,再把这4个人分成3部分,每部分至少一人,共有种方法,再把这3部分人分到3个为车间,有种方法,根据分步计数原理,求得不同分法的种数
【解答】
解:把甲、乙两名员工看做一个整体,5个人变成了4个,再把这4个人分成3部分,每部分至少一人,共有种方法,
再把这3部分人分到3个为车间,有种方法,
根据分步计数原理,不同分法的种数为•=36,
故答案为 36.
【点评】本题考查的是分类计数问题问题,把计数问题包含在实际问题中,解题的关键是看清题目的实质,把实际问题转化为数学问题,解出结果以后再还原为实际问题.
16.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2﹣a2=bc,,,则b+c的取值范围是 (,) .
【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算.
【分析】利用b2+c2﹣a2=bc,代入到余弦定理中求得cosA的值,进而求得A,再利用正弦定理求得b、c,利用两角和差的正弦公式化简b+c的解析式,结合正弦函数的定义域和值域,求得b+c 的范围.
【解答】解:△ABC中,∵b2+c2﹣a2=bc,∴cosA==,∴A=,B+C=.
∵,∴∠B为钝角.
∵,由正弦定理可得=1==,
∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin(﹣B)=sinB+cosB+sinB
=sinB+cosB=sin(B+),
∵B∈(,),∴B+∈(,),∴sin(B+)∈(,),
∴b+c 的范围为,
故答案为:(,).
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用.注意余弦定理的变形式的应用,考查计算能力,属于中档题.
三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)(2016春•苏州期末)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比,即可求数列的通项公式;
(2)利用分组求和的方法求解数列的和,由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和.
【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得
d===3.
∴an=a1+(n﹣1)d=3n(n=1,2,…).
∴数列{an}的通项公式为:an=3n;
设等比数列{bn﹣an}的公比为q,由题意得:
q3===8,解得q=2.
∴bn﹣an=(b1﹣a1)qn﹣1=2n﹣1.
从而bn=3n+2n﹣1(n=1,2,…).
∴数列{bn}的通项公式为:bn=3n+2n﹣1;
(2)由(1)知bn=3n+2n﹣1(n=1,2,…).
数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1.
∴数列{bn}的前n项和为n(n+1)+2n﹣1.
【点评】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式,考查了利用分组求和的方法求解数列的前n项和,是中档题.
18.(12分)(2016•河北模拟)雾霾影响人们的身体健康,越来越多的人开始关心如何少产生雾霾,春节前夕,某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度,随机采访了50人,将凋查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
12
7
3
3
(1)以赞同人数的频率为概率,若再随机采访3人,求至少有1人持赞同态度的概率;
(2)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(1)先求出赞同人数的概率,由此能求出至少有1人持赞同态度的概率.
(2)依题意得X=0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和X的数学期望EX.
【解答】解:(1)随机采访的50人中,赞成人数有:4+6+12+7+3+3=35人,
∵以赞同人数的频率为概率,∴赞同人数的概率p1==,
∴至少有1人持赞同态度的概率p=1﹣(1﹣)3=0.973.
(2)从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,
记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X,
依题意得X=0,1,2,3,
P(X=0)==,
P(X=1)=+=,
P(X=2)=•=,
P(X=3)=•=,
∴X的分布列是:
X
0
1
2
3
P
∴X的数学期望EX=+3×=.
【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.
19.(12分)(2016•白银模拟)正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=CD=2,点M在线段EC上且不与E,C重合.
(Ⅰ)当点M是EC中点时,求证:BM∥平面ADEF;
(Ⅱ)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥M﹣BDE的体积.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
【分析】(I)三角形的中位线定理可得MN∥DC,MN=.再利用已知可得
,即可证明四边形ABMN是平行四边形.再利用线面平行的判定定理即可证明.
(II)取CD的中点O,过点O作OP⊥DM,连接BP.可得四边形ABOD是平行四边形,由于AD⊥DC,可得四边形ABOD是矩形.由于BO⊥CD,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,ED⊥AD,可得ED⊥平面ADCB,平面CDE⊥平面ADCB.BO⊥平面CDE.于是BP⊥DM.即可得出∠OPB是平面BDM与平面ABF(即平面ABF)所成锐二面角.由于cos∠OPB=,可得BP=.可得sin∠MDC==.而sin∠ECD==.而DM=MC,同理DM=EM.M为EC的中点,利用三棱锥的体积计算公式可得VM﹣BDE=VB﹣DEM=.
【解答】(I)证明:取ED的中点N,连接MN.
又∵点M是EC中点.
∴MN∥DC,MN=.
而AB∥DC,AB=DC.
∴,
∴四边形ABMN是平行四边形.
∴BM∥AN.
而BM⊄平面ADEF,AN⊂平面ADEF,
∴BM∥平面ADEF.
(Ⅱ)取CD的中点O,过点O作OP⊥DM,连接BP.
∵AB∥CD,AB=CD=2,
∴四边形ABOD是平行四边形,
∵AD⊥DC,
∴四边形ABOD是矩形.
∴BO⊥CD.
∵正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,ED⊥AD,
∴ED⊥平面ADCB.
∴平面CDE⊥平面ADCB.
∴BO⊥平面CDE.
∴BP⊥DM.
∴∠OPB是平面BDM与平面ABF(即平面ABF)所成锐二面角.
∵cos∠OPB=,∴sin∠OPB=.
∴=,解得BP=.
∴OP=BPcos∠OPB=.
∴sin∠MDC==.
而sin∠ECD==.
∴DM=MC,同理DM=EM.
∴M为EC的中点,
∴,
∵AD⊥CD,AD⊥DE,且DE与CD相交于D
∴AD⊥平面CDE.
∵AB∥CD,
∴三棱锥B﹣DME的高=AD=2,
∴VM﹣BDE=VB﹣DEM==.
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、梯形的定义、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、线面面面垂直的判定与性质定理、二面角的作法与应用、三棱锥的体积计算公式,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
20.(12分)(2016•河南模拟)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程.
(2)设P为椭圆上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T,且满足(O为坐标原点),求实数t的取值范围.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【分析】(1)写出满足条件的圆的方程,再由直线与圆相切得到d=a,再由等腰直角三角形得到b=c,解方程即可得到a,b的值;
(2)设P(x0,y0),设出直线l:y=k(x﹣2),联立椭圆方程消去y,得到x的方程,运用韦达定理和判别式大于0,再由向量加法运算得到x0,y0的关系,代入椭圆方程,结合判别式大于0,即可得到t的范围.
【解答】解:(1)由题意得,以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径
的圆的方程为(x﹣c)2+y2=a2,
∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=*,
∵椭圆C: +=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
则b=c,,代入*式得b=c=1即a=b=,
故所求椭圆方程为+y2=1;
(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l方程为y=k(x﹣2),设P(x0,y0),
将直线方程代入椭圆方程得:(1+2k2)x2﹣8k2x+8k2﹣2=0,
∴△=64k4﹣4(1+2k2)(8k2﹣2)=﹣16k2+8>0
∴,
设S(x1,y1),T(x2,y2)则,
当k=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,成立,故t=0符合题意.
当t≠0时
得tx0=x1+x2=,ty0=y1+y2=k(x1+x2)﹣4k=,
∴,,
将上式代入椭圆方程得:,
整理得:
由知0<t2<4,
所以t∈(﹣2,2).
【点评】本题考查椭圆的方程和性质,以及直线与圆相切的条件,考查联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数,运用韦达定理,注意判别式大于0的条件,考查运算能力,属于中档题.
21.(12分)(2017春•普宁市校级月考)已知函数f(x)=ex,g(x)=ax+b,(a,b∈R)
(1)讨论函数y=f(x)+g(x)的单调区间;
(2)如果,求证:当x≥0时,.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(1)先求导,再分类讨论,利用导数和函数单调性关系即可求出,
(2)原不等式等价于(e﹣x﹣1)(αx+1)+x≥0,再构造函数,利用函数和最值得关系即可证明
【解答】解:(l)y=f(x)+g(x)=ex+ax+b,x∈R,y'=ex+a,
若a≥0,则y'>0所以函数y=f(x)+g(x)的单调增区间为(﹣∞,+∞),
若a<0,令y'>0,得x>ln(﹣a),令y'<0,得x<ln(﹣a),
所以函数y=f(x)+g(x)的单调增区间为(ln(﹣a),+∞),单调减区间为(﹣∞,ln(﹣a))
(2)当,x≥0时,
要证,
即证,
即证e﹣x(ax+1)+x≥ax+1,
即证(e﹣x﹣1)(αx+1)+x≥0,
设h(x)=(e﹣x﹣1)(ax+1)+x,则h(0)=0,h'(x)=e﹣x(a﹣1﹣ax)+1﹣a,
下证ex≥x+1,令ϕ(x)=ex﹣x﹣1,则ϕ'(x)=ex﹣1,
当x∈(﹣∞,0)时,ϕ'(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,ϕ'(x)>0,
所以[ϕ(x)]min=ϕ(0)=0,
所以ex≥x+1,即﹣x≥1﹣ex,
所以h'(x)=e﹣x(a﹣1﹣ax)+1﹣a≥e﹣x[a﹣1+a(1﹣ex)]+1﹣a=e﹣x(2a﹣1)+1﹣2a=(e﹣x﹣1)(2a﹣1)≥0,
所以h(x)在[0+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(0)=0,
所以当x≥0时,.
【点评】本题是一道导数的综合题,考查了函数单调性和导数之间的关系以及,利用导数求函数的单调区间,等价转化思想,不等式的证明.综合性较强,难度较大.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)(2017•武侯区校级模拟)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),l与C分别交于M,N.
(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;
(2)若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列,求a的值.
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(1)利用极坐标与普通方程的关系式,可得C为抛物线方程,消去参数t,可得直线l的方程;
(2)由|PM|=|t1|,|MN|=|t1﹣t2|,|PN|=|t2|成等比数列,可转化为关于a的等量关系求解.
【解答】解:(Ⅰ)曲线C:ρsin2θ=2acosθ,可得ρ2sin2θ=2aρcosθ,它的直角坐标方程为y2=2ax(a>0);
,消去t,可得x﹣y﹣2=0,
直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0. 4分
(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得
t2﹣2(4+a)t+8(4+a)=0 (*)
△=8a(4+a)>0.
设点M,N分别对应参数t1,t2,恰为上述方程的根.
则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|.
由题设得(t1﹣t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2﹣4t1t2=|t1t2|.
由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,则有
(4+a)2﹣5(4+a)=0,得a=1,或a=﹣4.
因为a>0,所以a=1. 10分
【点评】本题考查参数方程与极坐标的应用,基本知识的考查.
[选修4-5:不等式选讲]
23.(2017春•普宁市校级月考)设函数f(x)=|x﹣|+|x+m|(m>0)
(1)证明:f(x)≥4;
(2)若f(2)>5,求m的取值范围.
【考点】带绝对值的函数.
【分析】(1)运用绝对值不等式的性质:绝对值的和不小于差的绝对值,利用基本不等式即可证得结论.
(2)若f(2)>5,即|2﹣|+|2+m|>5,即有|2﹣|>3﹣m,即2﹣>3﹣m或2﹣<m﹣3.转化为二次不等式,解出即可,注意m>0.
【解答】(1)证明:∵f(x)=|x﹣|+|x+m|≥|(x﹣)﹣(x+m)|
=|﹣﹣m|=+m(m>0)
又m>0,则+m≥4,当且仅当m=2取最小值4.
∴f(x)≥4;
(2)解:若f(2)>5,即|2﹣|+|2+m|>5,
即有|2﹣|>3﹣m,
即2﹣>3﹣m或2﹣<m﹣3.
由于m>0,则m2﹣m﹣4>0或m2﹣5m+4>0,
解得m>或m>4或0<m<1.
故m的取值范围是(,+∞)∪(0,1).
【点评】本题考查绝对值函数的最值,注意去绝对值的方法,考查基本不等式的运用,以及绝对值不等式的解法和二次不等式的解法,属于中档题.