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  • 2021-06-12 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量的基本定理及坐标表示教案

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第二节 平面向量的基本定理及坐标表示 ———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐 标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共 线的条件. 1.平面向量基本定理 (1)定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向 量 a,有且只有一对实数λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. (2)基底:不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底, 该平面内的任一向量 a 可表示成 a=xi+yj,由于 a 与数对(x,y)是一一对应的,把有序数 对(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a=(x,y),其中 a 在 x 轴上的坐标是 x,a 在 y 轴上的 坐标是 y. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2), λa=(λx1,λy1),|a|= x2 1+y2 1. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB→=(x2-x1,y2-y1), |AB→|= x2-x1 2+ y2-y1 2. 4.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.a,b 共线⇔x1y2-x2y1=0. 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)在△ABC 中,设AB→=a,BC→=b,则向量 a 与 b 的夹角为∠ABC.( ) (3)若 a,b 不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( ) (4)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件可以表示成x1 x2 =y1 y2 .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.已知平面向量 a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于 ( ) A.5 B. 13 C. 17 D.13 B [因为 a+b=(2,-1)+(1,3)=(3,2),所以|a+b|= 32+22= 13.] 3.(2015·全国卷Ⅰ)已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC→=(-4,-3),则向量BC→=( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) A [AB→=(3,2)-(0,1)=(3,1), BC→=AC→-AB→=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 故选 A.] 4.(2016·全国卷Ⅱ)已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 a∥b,则 m=________. -6 [∵a=(m,4),b=(3,-2),a∥b, ∴-2m-4×3=0,∴m=-6.] 5.(教材改编)已知▱ ABCD 的顶点 A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点 D 的坐标 为________. (1,5) [设 D(x,y),则由AB→=DC→,得(4,1)=(5-x,6-y), 即 4=5-x, 1=6-y, 解得 x=1, y=5. ] 平面向量基本定理及其应用 (1)如果 e1,e2 是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作 为平面内所有向量的一组基底的是 ( ) A.e1 与 e1+e2 B.e1-2e2 与 e1+2e2 C.e1+e2 与 e1-e2 D.e1+3e2 与 6e2+2e1 (2)(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, 若AC→=λAE→+μAF→,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________. (1)D (2)4 3 [(1)选项 A 中,设 e1+e2=λe1,则 1=λ, 1=0 无解; 选项 B 中,设 e1-2e2=λ(e1+2e2),则 λ=1, -2=2λ 无解; 选项 C 中,设 e1+e2=λ(e1-e2),则 λ=1, 1=-λ 无解; 选项 D 中,e1+3e2=1 2 (6e2+2e1),所以两向量是共线向量. (2)选择AB→,AD→作为平面向量的一组基底,则AC→=AB→+AD→,AE→=1 2 AB→+AD→,AF→=AB→+1 2 AD→, 又AC→=λAE→+μAF→= 1 2 λ+μ AB→+ λ+1 2 μ AD→, 于是得 1 2 λ+μ=1, λ+1 2 μ=1, 解得 λ=2 3 , μ=2 3 , 所以λ+μ=4 3 .] [规律方法] 1.利用平面向量基本定理表示向量时,要选择一组恰当的基底来表示其他 向量,即用特殊向量表示一般向量. 2.利用已知向量表示未知向量,实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算,在解 题时,注意方程思想的运用.如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ, μ的方程组. [变式训练 1] 如图 421,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD=1 3 BC,E,F 分别为线段 AD 与 BC 的中点.设BA→=a,BC→=b,则EF→=________,DF→=________,CD→=________(用向 量 a,b 表示). 图 421 1 3 b-a 1 6 b-a a-2 3 b [EF→=EA→+AB→+BF→=-1 6 b-a+1 2 b=1 3 b-a,DF→=DE→+EF→=-1 6 b + 1 3 b-a =1 6 b-a,CD→=CF→+FD→=-1 2 b- 1 6 b-a =a-2 3 b.] 平面向量的坐标运算 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB→=a,BC→=b,CA→=c,且CM→= 3c,CN→=-2b, (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (3)求 M,N 的坐标及向量MN→的坐标. [解] 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).2 分 (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).5 分 (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), ∴ -6m+n=5, -3m+8n=-5, 解得 m=-1, n=-1. 8 分 (3)设 O 为坐标原点.∵CM→=OM→-OC→=3c, ∴OM→=3c+OC→=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20).10 分 又∵CN→=ON→-OC→=-2b, ∴ON→=-2b+OC→=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N(9,2),∴MN→=(9,-18).12 分 [规律方法] 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解 的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.常利用向量相等则其坐标相同列 方程(组)求解. 2.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”,实质是“形” 化为“数”.向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完 全代数化,将数与形紧密结合起来. [变式训练 2] (2017·合肥三次质检)已知 a=(1,t),b=(t,-6),则|2a+b|的最 小值为________. 2 5 [由条件得 2a+b=(2+t,2t-6),所以|2a+b|= 2+t 2+ 2t-6 2= 5 t-2 2+20,当 t=2 时,|2a+b|的最小值为 2 5.] 平面向量共线的坐标表示 (1)已知向量 a=(-1,1),b=(3,m),若 a∥(a+b),则 m=( ) A.-2 B.2 C.-3 D.3 (2)已知梯形 ABCD,其中 AB∥CD,且 DC=2AB,三个顶点 A(1,2),B(2,1),C(4,2),则 点 D 的坐标为________. (1)C (2)(2,4) [(1)由题意可知 a+b=(2,1+m), ∵a∥(a+b), ∴2+(m+1)=0⇒m=-3. (2)∵在梯形 ABCD 中,DC=2AB, ∴DC→=2AB→.设点 D 的坐标为(x,y), 则DC→=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y). AB→=(2,1)-(1,2)=(1,-1), ∴(4-x,2-y)=2(1,-1), 即(4-x,2-y)=(2,-2), ∴ 4-x=2, 2-y=-2, 解得 x=2, y=4, 故点 D 的坐标为(2,4).] [规律方法] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式:(1)若 a=(x1,y1),b=(x2, y2),则 a∥b 的充要条件是 x1y2-x2y1=0;(2)若 a∥b(a≠0),则 b=λa. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐 标均非零时,也可以利用坐标对应成比例求解. [变式训练 3] (1)(2017·郑州模拟)已知向量 a=(1-sin θ,1),b= 1 2 ,1+sin θ , 若 a∥b,则锐角θ=________. (2)已知向量OA→=(1,-3),OB→=(2,-1),OC→=(k+1,k-2),若 A,B,C 三点能构 成三角形,则实数 k 应满足的条件是________. 【导学号:31222146】 (1)π 4 (2)k≠1 [(1)由 a∥b,得(1-sin θ)(1+sin θ)=1 2 , 所以 cos2θ=1 2 , 所以 cos θ= 2 2 或- 2 2 ,又θ为锐角,所以θ=π 4 . (2)若点 A,B,C 能构成三角形,则向量AB→,AC→不共线. 因为AB→=OB→-OA→=(2,-1)-(1,-3)=(1,2), AC→=OC→-OA→=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1), 所以 1×(k+1)-2k≠0,解得 k≠1.] [思想与方法] 1.平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理,是平面向量正交分解、坐标表示 的理论基础,用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如 a=λ1e1+λ2e2 的形式. 2.利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线,也可以由平行求点的 坐标或参数值. 3.若 a 与 b 不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0. [易错与防范] 1.在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA→=a,点 A 的位置被向量 a 唯一确定, 此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x,y).但表示形式与意义不同,如点 A(x,y),向量 a =OA→=(x,y),向量坐标中既有大小信息又有方向信息. 2.若 a,b 为非零向量,当 a∥b 时,a,b 的夹角为 0°或 180°,求解时容易忽视其 中一种情形致误. 3.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成x1 x2 =y1 y2 ,因为 x2,y2 有 可能等于 0,应表示为 x1y2-x2y1=0. 课时分层训练(二十五) 平面向量的基本定理及坐标表示 A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.如图 422,设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点,给出下列向量组: 图 422 ①AD→与AB→;②DA→与BC→;③CA→与DC→;④OD→与OB→.其中可作为该平面内其他向量的基底的是 ( ) 【导学号:31222147】 A.①② B.①③ C.①④ D.③④ B [①中AD→,AB→不共线;③中CA→,DC→不共线.] 2.已知 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于( ) A.-1 2 a+3 2 b B.1 2 a-3 2 b C.-3 2 a-1 2 b D.-3 2 a+1 2 b B [设 c=λa+μb,∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1), ∴ -1=λ+μ, 2=λ-μ, ∴ λ=1 2 , μ=-3 2 , ∴c=1 2 a-3 2 b.] 3.已知向量 a,b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果 c∥d,那么( ) 【导学号:31222148】 A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 D [由题意可得 c 与 d 共线,则存在实数λ,使得 c=λd,即 k=λ, 1=-λ, 解得 k= -1.c=-a+b=-(a-b)=-d,故 c 与 d 反向.] 4.如图 423,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP→=xOA→+yOB→,且BP→=2PA→,则 ( ) 图 423 A.x=2 3 ,y=1 3 B.x=1 3 ,y=2 3 C.x=1 4 ,y=3 4 D.x=3 4 ,y=1 4 A [由题意知OP→=OB→+BP→,又BP→=2PA→,所以OP→=OB→+2 3 BA→=OB→+2 3 (OA→-OB→)=2 3 OA→+1 3 OB→, 所以 x=2 3 ,y=1 3 .] 5.(2015·广东茂名二模)已知向量 a=(3,-2),b=(x,y-1),且 a∥b,若 x,y 均为正数,则3 x +2 y 的最小值是( ) A.24 B.8 C.8 3 D.5 3 B [∵a∥b,∴-2x-3(y-1)=0, 化简得 2x+3y=3.又∵x,y 均为正数, ∴3 x +2 y = 3 x +2 y ×1 3 (2x+3y) =1 3 6+9y x +4x y +6 ≥1 3 × 12+2 9y x ·4x y =8, 当且仅当9y x =4x y 时,等号成立, ∴3 x +2 y 的最小值是 8,故选 B.] 二、填空题 6.(2017·陕西质检(二))若向量 a=(3,1),b=(7,-2),则 a-b 的单位向量的坐标 是________. -4 5 ,3 5 [由题意得 a-b=(-4,3),则|a-b|= -4 2+32=5,则 a-b 的单位 向量的坐标为 -4 5 ,3 5 .] 7.(2017·广州综合测评(二))已知平面向量 a 与 b 的夹角为π 3 ,a=(1, 3),|a-2b| =2 3,则|b|=________. 2 [由题意得|a|= 12+ 3 2=2,则|a-2b|2=|a|2-4|a||b|cos〈a,b〉+4|b|2 =22-4×2cos π 3 |b|+4|b|2=12,解得|b|=2(负舍).] 8.已知向量OA→=(3,-4),OB→=(0,-3),OC→=(5-m,-3-m),若点 A,B,C 能构 成三角形,则实数 m 满足的条件是________. 【导学号:31222149】 m≠5 4 [由题意得AB→=(-3,1),AC→=(2-m,1-m),若 A,B,C 能构成三角形,则AB→,AC→ 不共线,则-3×(1-m)≠1×(2-m),解得 m≠5 4 .] 三、解答题 9.已知 A(1,1),B(3,-1),C(a,b). (1)若 A,B,C 三点共线,求 a,b 的关系式; (2)若AC→=2AB→,求点 C 的坐标. [解] (1)由已知得AB→=(2,-2),AC→=(a-1,b-1).2 分 ∵A,B,C 三点共线,∴AB→∥AC→. ∵2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2.5 分 (2)∵AC→=2AB→,∴(a-1,b-1)=2(2,-2).7 分 ∴ a-1=4, b-1=-4, 解得 a=5, b=-3, ∴点 C 的坐标为(5,-3).12 分 10.平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k. [解] (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),2 分 所以 -m+4n=3, 2m+n=2, 解得 m=5 9 , n=8 9 . 5 分 (2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),7 分 由题意得 2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得 k=-16 13 .12 分 B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.(2016·四川高考)已知正三角形 ABC 的边长为 2 3,平面 ABC 内的动点 P,M 满足|AP→| =1,PM→=MC→,则|BM→|2 的最大值是( ) A.43 4 B.49 4 C.37+6 3 4 D.37+2 33 4 B [设 BC 的中点为 O,以点 O 为原点建立如图所示的平面直角 坐标系,则 B(- 3,0),C( 3,0),A(0,3).又|AP→|=1,∴点 P 的轨迹方程为 x2+(y-3)2=1.由PM→=MC→知点 M 为 PC 的中点,设 M 点的坐标为(x,y),相应点 P 的坐标为(x0,y0),则 x0+ 3 2 =x, y0+0 2 =y, ∴ x0=2x- 3, y0=2y, ∴(2x- 3)2+(2y-3)2=1, 即 x- 3 2 2+ y-3 2 2=1 4 ,∴点 M 的轨迹是以 H 3 2 ,3 2 为圆心,r=1 2 为半径的圆,∴ |BH|= 3 2 + 3 2+ 3 2 2=3,∴|BM→|的最大值为 3+r=3+1 2 =7 2 ,∴|BM→|2 的最大值为49 4 .] 2.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图 424 所示,若 c=λa+μb(λ,μ∈R), 则λ μ =________. 【导学号:31222150】 图 424 4 [以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长 为 1), 则 A(1,-1),B(6,2),C(5,-1), ∴a=AO→=(-1,1),b=OB→=(6,2),c=BC→=(-1,-3). ∵c=λa+μb, ∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2), 即-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3, 解得λ=-2,μ=-1 2 ,∴λ μ =4.] 3.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM→=t1OA→+t2AB→. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点共线. [解] (1)OM→=t1OA→+t2AB→=t1(0,2)+t2(4,4) =(4t2,2t1+4t2).2 分 当点 M 在第二或第三象限时,有 4t2<0, 2t1+4t2≠0, 故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0.5 分 (2)证明:当 t1=1 时,由(1)知OM→=(4t2,4t2+2).7 分 ∵AB→=OB→-OA→=(4,4), AM→=OM→-OA→=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2AB→,10 分 ∴AM→与AB→共线,又有公共点 A,∴A,B,M 三点共线.12 分

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