数学文·辽宁省师大附中2017届高三上学期期中考试数学文试卷 Word版含解析 20页

2016-2017 学年辽宁省师大附中高三（上）期中数学试卷（文科） 　 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合 A={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则 A∩B=（　　） A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{2，3} 2．复数 i（1﹣2i）=（　　） A．﹣2+i B．2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i 3．设 a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．在△ABC 中，设 = ， = ，且| |=2，| |=1， • =﹣1，则| |=（　　） A．1 B． C． D．2 5．已知实数 x，y 满足 ，则 z=（x﹣1）2+y2 的最大值是（　　） A．1 B．9 C．2 D．11 6．设 f（x）为定义在 R 上的奇函数，且是周期为 4 的周期函数，f（1）=1，则 f（﹣1）+f （8）=（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 7．已知△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2=b2+c2﹣bc，a=3，则△ABC 的周长的最大值为（　　） A．2 B．6 C． D．9 8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（　　） A． B． C． D． 9．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3=9，S6=36，则 a7+a8+a9=（　　） A．81 B．54 C．45 D．18 10．已知三棱锥 S﹣ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2， 则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是（　　） A． B．1 C． D． 11．已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲线过原点，且在 x=±1 处的切线斜 率均为﹣1，给出以下结论： ①f（x）的解析式为 f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]； a b a b a b ②f（x）的极值点有且仅有一个； ③f（x）的最大值与最小值之和等于 0． 其中正确的结论有（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 12．如图，已知双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q，若∠PAQ=60°且 =3 ，则双曲线 C 的离心率为（　　） A． B． C． D． 　 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．函数 f（x）=lnx 的图象在点 x=1 处的切线方程是　　． 14．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3+a4+a5=12，则 S7 的值为　　． 15．已知 x＞0，y＞0， + +1=2，则 2x+y 的最小值为　　． 16．已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率 e= ，A，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭 圆上不同于 A，B 的一点，直线 PA，PB 斜倾角分别为 α，β，则|tanα﹣tanβ|的最小值 为　　． 　 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12 分）已知函数 f（x）=cosx（2 sinx﹣cosx）+asin2x 的一个零点是 ． （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）令 x∈[﹣ ， ]，求此时 f（x）的最大值和最小值． 18．（12 分）如图，正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD，AE⊥平面 CDE，且 AE=1，AB=2． （Ⅰ）求证：AB⊥平面 ADE； （Ⅱ）求凸多面体 ABCDE 的体积． 19．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=p（Sn﹣an）+ （p 为大于 0 的常数），且 a1 是 6a3 与 a2 的等差中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若 an•bn=2n+1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 20．（12 分）已知抛物线 C：x2=4y，过点 P（t，0）（其中 t＞0）作互相垂直的两直线 l1， l2，直线 l1 与抛物线 C 相切于点 Q（在第一象限内），直线 l2 与抛物线 C 相交于 A，B 两 点． （Ⅰ）当 t=1 时，求直线 l1 的方程； （Ⅱ）求证：直线 l2 恒过定点． 21．（12 分）设函数，f（x）=lnx+ ，k∈R． （1）若曲线 y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线 x﹣2=0 垂直，求 f（x）的单调递减 区间和极小值（其中 e 为自然对数的底数）； （2）若对任意 x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2 恒成立，求 k 的取值范围． 　 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清 题号．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1： + =1，以 O 为极点，x 轴的 正半轴极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线 l 的方程为：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6． （1）试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C1 的参数方程； （2）在曲线 C1 上求一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最大，并求出最大值． 　 [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 a 和 b 是任意非零实数． （1）求 的最小值． （2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数 x 的取值范围． 　 2016-2017 学年辽宁省师大附中高三（上）期中数学试卷 （文科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．（2016•江西校级三模）已知集合 A={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则 A∩B=（　　） A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{2，3} 【考点】交集及其运算． 【专题】集合． 【分析】求出 A 中 x 的范围，确定出整数解得到 A，求出 B 中不等式的解集确定出 B，找 出 A 与 B 的交集即可． 【解答】解：由 A 中不等式解得：0≤x≤3，x∈Z，即 A={0，1，2，3}， 由 B 中不等式变形得：lnx＜lne， 解得：0＜x＜e，即 B=（0，e）， 则 A∩B={1，2}． 故选：C． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（2015•甘肃校级模拟）复数 i（1﹣2i）=（　　） A．﹣2+i B．2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题． 【分析】利用两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位 i 的幂运算性质，求得结果． 【解答】解：∵复数 i（1﹣2i）=i﹣2i2=2+i， 故选 B． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基础 题． 　 3．（2016•上海）设 a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑． 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由 a2＞1 得 a＞1 或 a＜﹣1， 即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要 条件的定义是解决本题的关键，比较基础． 　 4．（2016•江西校级三模）在△ABC 中，设 = ， = ，且| |=2，| |=1， • =﹣1，则| |=（　　） A．1 B． C． D．2 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】根据向量的数量积的运算，先求出 与 的夹角为 θ，再根据余弦定理即可求出 答案． 【解答】解：设 = ， = ，设 与 的夹角为 θ， ∵| |=2，| |=1， • =﹣1， ∴ • =| |•| |cosθ=2×1×cosθ=﹣1， ∴cosθ= ， ∴θ=120°， ∴∠ACB=60°， 由余弦定理可得| |2=| |2+| |2﹣2| |•| |cos60°=4+1﹣2×2×1× =3， ∴| |= ， 故选：C． 【点评】本题考查了向量的数量积的运算和余弦定理，考查运算能力，属于中档题 　 5．（2016 秋•沙河口区校级期中）已知实数 x，y 满足 ，则 z=（x﹣1）2+y2 的 最大值是（　　） A．1 B．9 C．2 D．11 【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式． 【分析】画出平面区域，利用 z=（x﹣1）2+y2 的几何意义表示为区域内的点与（1，0）的 距离的平方最大值求得． 【解答】解：x，y 满足的平面区域如图：z=（x﹣1）2+y2 的几何意义表示为区域内的点与（1，0）的距离的平方最大值，显然到 D 的距离最大，所 以 z=（x﹣1）2+y2 的最大值 z=（1﹣1）2+32=9； 故选 B． a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b 【点评】本题考查了简单线性规划问题；一般的，正确画出平面区域，利用目标函数的几何 意义求最值是常用方法． 　 6．（2015•滨州二模）设 f（x）为定义在 R 上的奇函数，且是周期为 4 的周期函数，f（1） =1，则 f（﹣1）+f（8）=（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数的周期性得出 f（x+4）=f（x）．奇偶性得出 f（﹣x）=﹣f（x），化简得出 f（﹣1）+f（8）=﹣f（1）+f（0），即可求解． 【解答】解：∵f（x）为定义在 R 上的奇函数， ∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x） ∵f（x）是周期为 4 的周期函数， ∴f（x+4）=f（x）． ∵f（1）=1， ∴f（﹣1）+f（8）=﹣f（1）+f（0）=﹣1 故选：B 【点评】本题考查了函数的性质，运用求解函数值，难度不大，属于容易题，关键是掌握好 性质的定义式． 　 7．（2016 秋•沙河口区校级期中）已知△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 若 a2=b2+c2﹣bc，a=3，则△ABC 的周长的最大值为（　　） A．2 B．6 C． D．9 【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形． 【分析】由已知利用余弦定理可求 A，利用 a=3 和 sinA 的值，根据正弦定理表示出 b 和 c， 代入三角形的周长 a+b+c 中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一 个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值． 【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，可得：bc=b2+c2﹣a2， ∴cosA= = ， ∵A∈（0，π）， ∴A= ， ∴由 a=3，结合正弦定理得： = =2 ， ∴b=2 sinB，c=2 sinC， 则 a+b+c=3+2 sinB+2 sinC =3+2 sinB+2 sin（ ﹣B） =3+3 sinB+3cosB =3+6sin（B+ ）， 可知周长的最大值为 9． 故选：D． 【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数 公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题． 　 8．（2016•福安市校级模拟）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 m），则该棱锥的全 面积是（单位：m2）．（　　） A． B． C． D． 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题；图表型． 【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面 是一个高为 2，底连长也为 2 的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的 面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底 边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角 形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可 【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧 面全等的三棱锥 由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为 2，底面连长为 2，故它们的面积皆为 =2， 由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相 等，为 ， 将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为 2 ，同理 可求出侧面底边长为 ， 可求得此两侧面的面积皆为 = ， 故此三棱锥的全面积为 2+2+ + = ， 故选 A． 【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考 查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公 式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四 个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等． 　 9．（2016 秋•沙河口区校级期中）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3=9，S6=36，则 a7+a8+a9=（　　） A．81 B．54 C．45 D．18 【考点】等比数列的前 n 项和． 【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】由等比数列的性质可得 S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…成等比数列，由已知数据易得答 案． 【解答】解：由等比数列的性质可得 S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…成等比数列，并设其公比为 q， 又由题意可得 S3=9，S6﹣S3=36﹣9=27， ∴q= =3， ∴a7+a8+a9=S9﹣S6=27×3=81． 故选：A． 【点评】本题考查等比数列的求和公式和性质，属基础题． 　 10．（2016 秋•沙河口区校级期中）已知三棱锥 S﹣ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角 三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是（　　） A． B．1 C． D． 【考点】球内接多面体． 【专题】综合题；空间位置关系与距离． 【分析】据三棱锥 S﹣ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，可得 S 在面 ABC 上的射影为 AB 中点 H，SH⊥平面 ABC，在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO 与 SH 交于 O，则 O 为 SABC 的外接球球心，OH 为 O 与平面 ABC 的距离，由此可得结 论． 【解答】解：∵三棱锥 S﹣ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC， ∴S 在面 ABC 上的射影为 AB 中点 H，∴SH⊥平面 ABC． ∴SH 上任意一点到 A、B、C 的距离相等． ∵SH= ，CH=1，在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO 与 SH 交于 O，则 O 为 SABC 的 外接球球心． ∵SC=2， ∴SM=1，∠OSM=30°， ∴SO= ，∴OH= ，即为 O 与平面 ABC 的距离． 故选：A． 【点评】本题考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定 OHO 与平面 ABC 的距离是关键． 　 11．（2014•北京校级模拟）已知函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲线过原点， 且在 x=±1 处的切线斜率均为﹣1，给出以下结论： ①f（x）的解析式为 f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]； ②f（x）的极值点有且仅有一个； ③f（x）的最大值与最小值之和等于 0． 其中正确的结论有（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值． 【专题】导数的概念及应用． 【分析】首先利用导数的几何意义及函数 f（x）过原点，列方程组求出 f（x）的解析式； 则命题①可得出判断；最后令 f′（x）=0，求出 f（x）的极值点，进而求得 f（x）的单调区 间与最值，则命题②③得出判断． 【解答】解：函数 f（x）=x3+ax2+bx+c 的图象过原点，可得 c=0； 又 f′（x）=3x2+2ax+b，且 f（x）在 x=±1 处的切线斜率均为﹣1， 则有 ，解得 a=0，b=﹣4． 所以 f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4． ①可见 f（x）=x3﹣4x，因此①正确； ②令 f′（x）=0，得 x=± ．因此②不正确； 所以 f（x）在[﹣ ， ]内递减， 且 f（x）的极大值为 f（﹣ ）= ，极小值为 f（ ）=﹣ ，两端点处 f （﹣2）=f（2）=0， 所以 f（x）的最大值为 M= ，最小值为 m=﹣ ，则 M+m=0，因此③正确． 所以正确的结论为①③， 故选 C． 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，应用导数求函数的极值点，最大值 与最小值等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 　 12．（2016•日照二模）如图，已知双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q，若∠PAQ=60°且 =3 ，则双曲线 C 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】确定△QAP 为等边三角形，设 AQ=2R，则 OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理， 即可得出结论． 【解答】解：因为∠PAQ=60°且 =3 ， 所以△QAP 为等边三角形， 设 AQ=2R，则 OP=R， 渐近线方程为 y= x，A（a，0），取 PQ 的中点 M，则 AM= 由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（ ）2， 所以（ab）2=3R2（a2+b2）① 在△OQA 中， = ，所以 7R2=a2② ①②结合 c2=a2+b2，可得 = ． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中 档题． 　 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．（2012 秋•增城市期末）函数 f（x）=lnx 的图象在点 x=1 处的切线方程是　y=x﹣1　． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用． 【分析】先 x=1 代入解析式求出切点的坐标，再求出函数的导数后代入求出 f′（1），即为所 求的切线斜率，再代入点斜式进行整理即可． 【解答】解：把 x=1 代入 f（x）=lnx 得，f（1）=ln1=0， ∴切点的坐标为：（1，0）， 由 f′（x）=（lnx）′= ，得在点 x=1 处的切线斜率 k=f′（1）=1， ∴在点 x=1 处的切线方程为：y=x﹣1， 故答案为：y=x﹣1． 【点评】本题考查了导数的几何意义和直线点斜式方程，关键求出某点处切线的斜率即该点 处的导数值，还有切点的坐标，利用切点在曲线上和切线上． 　 14．（2012 秋•广州期末）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3+a4+a5=12，则 S7 的值为　 28　． 【考点】等差数列的前 n 项和． 【专题】计算题． 【分析】利用等差数列的性质可求得 a4，而 S7=7a4，从而可求得 S7 的值，． 【解答】解：∵{an}为等差数列，a3+a4+a5=12， ∴3a4=12， ∴a4=4， 又 S7=7a4=28． 故答案为：28． 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和，着重考查利用等差数列的性质，属于中档题． 　 15．（2013•新余二模）已知 x＞0，y＞0， + +1=2，则 2x+y 的最小值为　8　． 【考点】基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵x＞0，y＞0， + +1=2， ∴2x+y=（2x+y） =4+ =8，当且仅当 y=2x=4 时取等号． ∴2x+y 的最小值为 8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质，属于基础题． 　 16．（2016•江西校级三模）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率 e= ，A，B 是椭圆 的左、右顶点，P 是椭圆上不同于 A，B 的一点，直线 PA，PB 斜倾角分别为 α，β，则|tanα﹣tanβ| 的最小值为　1　． 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】方程思想；转化思想；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用椭圆的标准方程及其性质可得：kPA•kPB=﹣ ，即 tanαtanβ=﹣ =﹣ ， 由|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|，再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵离心率 e= = = ， ∴ = ． 设 P（x0，y0），椭圆顶点 A（﹣a，0），B（a，0），kPA= ， kPA•kPB= ， 又 =1，∴ ， ∴kPA•kPB=﹣ ， 即 tanαtanβ=﹣ =﹣ ， ∴|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|≥2 =1．当且仅当|tanα|=|tanβ|=1 时取 等号． ∴|tanα﹣tanβ|的最小值为 1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、斜率计算公式，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题． 　 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12 分）（2016•日照二模）已知函数 f（x）=cosx（2 sinx﹣cosx）+asin2x 的一个零点 是 ． （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）令 x∈[﹣ ， ]，求此时 f（x）的最大值和最小值． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】（1）将 f（x）化简，将（ ，0）代入求得 a=1，将其化简为 f（x）=2sin （2x﹣ ），求周期， （2）x∈[﹣ ， ]，2x﹣ ∈[ ， ]，由正弦函数图象求得 f（x）的最大值和 最小值． 【解答】解：（1）f（x）=cosx（2 sinx﹣cosx）+asin2x=2 sinxcosx﹣cos2x+asin2x， = sin2x﹣cos2x+asin2x，一个零点是 ， 代入求得 a=1， ∴f（x）=2sin（2x﹣ ）， f（x）的最小正周期为 π， （2）x∈[﹣ ， ]，2x﹣ ∈[ ， ]， ∴f（x）的最大值为 ，最小值﹣2． 【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性的应用，属于 中档题． 　 18．（12 分）（2016 秋•沙河口区校级期中）如图，正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所 在平面相交于 CD，AE⊥平面 CDE，且 AE=1，AB=2． （Ⅰ）求证：AB⊥平面 ADE； （Ⅱ）求凸多面体 ABCDE 的体积． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【专题】证明题；数形结合；等体积法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）推导出 AE⊥CD，CD⊥AD，从而 CD⊥平面 ADE，再由 AB∥CD，能证明 AB ⊥平面 ADE． （Ⅱ）凸多面体 ABCDE 的体积 V=VB﹣CDE+VB﹣ADE，由此能求出结果． 【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面 CDE，CD⊂平面 CDE， ∴AE⊥CD， 又在正方形 ABCD 中，CD⊥AD，AE∩AD=A， ∴CD⊥平面 ADE， 又在正方形 ABCD 中，AB∥CD， ∴AB⊥平面 ADE．…（6 分） 解：（Ⅱ）连接 BD，设 B 到平面 CDE 的距离为 h， ∵AB∥CD，CD⊂平面 CDE， ∴AB∥平面 CDE，又 AE⊥平面 CDE， ∴h=AE=1，又 = ， ∴ = ， 又 = = ， ∴凸多面体 ABCDE 的体积 V=VB﹣CDE+VB﹣ADE= ．…（12 分） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，注意空间思维能 力的培养． 　 19．（12 分）（2014•锦州一模）已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=p（Sn﹣an）+ （p 为 大于 0 的常数），且 a1 是 6a3 与 a2 的等差中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若 an•bn=2n+1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 【考点】数列递推式；数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（I）当 n≥2 时，利用 an=Sn﹣Sn﹣1 即可得出 an，n=1 时单独考虑，再利用等比数 列的通项公式即可得出； （II）由（I）得 ，利用“错位相减法”即可得出其前 n 项和． 【解答】解：（I）当 n=1 时， ，得 ． 当 n≥2 时， ， ， 两式相减得 an=pan﹣1，即 ． 故{an}是首项为 ，公比为 p 的等比数列， ∴ ． 由题意可得：2a1=6a3+a2， ， 化为 6p2+p﹣2=0． 解得 p= 或 （舍去）． ∴ = ． （II）由（I）得 ， 则 ， +（2n﹣1）×2n+（2n+1）×2n+1， 两式相减得﹣Tn=3×2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n+1）×2n+1 = =﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1， ∴ ． 【点评】熟练掌握：当 n≥2 时，利用 an=Sn﹣Sn﹣1，a1=S1；等比数列的通项公式，“错位相 减法”是解题的关键． 　 20．（12 分）（2016•江西校级三模）已知抛物线 C：x2=4y，过点 P（t，0）（其中 t＞0）作 互相垂直的两直线 l1，l2，直线 l1 与抛物线 C 相切于点 Q（在第一象限内），直线 l2 与抛物 线 C 相交于 A，B 两点． （Ⅰ）当 t=1 时，求直线 l1 的方程； （Ⅱ）求证：直线 l2 恒过定点． 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）当 t=1 时，设直线 l1 的斜率为 k，则直线 l1 的方程为 y=k（x﹣1），代入抛物 线的方程，运用直线和抛物线相切的条件：判别式为 0，即可得到所求直线的方程； （Ⅱ）设直线 l1 的斜率为 k，则 l1 直线的方程为 y=k（x﹣t），代入抛物线的方程，运用直线 和抛物线相切的条件：判别式为 0，可得 t=k，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求 得直线 l2 的斜率及方程，进而得到定点． 【解答】解：（Ⅰ）当 t=1 时，设直线 l1 的斜率为 k， 则直线 l1 的方程为 y=k（x﹣1）， 与抛物线方程联立 可得：x2﹣4kx+4k=0， 由于直线 l1 与抛物线 C 相切，所以△=16k2﹣16k=0， 求得：k=0 或 k=1，根据点 Q 在第一象限内，所以 k=1， 从而直线 l1 的方程为 x﹣y﹣1=0； 证明：（Ⅱ）设直线 l1 的斜率为 k，则 l1 直线的方程为 y=k（x﹣t）， 与抛物线方程联立 可得：x2﹣4kx+4kt=0， 由于直线 l1 与抛物线 C 相切，所以△=16k2﹣16kt=0，解得：t=k， 故 Q 点坐标为（2t，t2），所以直线 l1 的斜率为 ， 又 l1⊥l2，故设 l2 的方程为： ，即 ， 则直线 l2 恒过定点（0，1）． 【点评】本题考查抛物线和直线相切的条件，注意联立方程运用判别式为 0，考查两直线垂 直的条件：斜率之积为﹣1，以及直线方程运用，考查运算能力，属于中档题． 　 21．（12 分）（2015•山西三模）设函数，f（x）=lnx+ ，k∈R． （1）若曲线 y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线 x﹣2=0 垂直，求 f（x）的单调递减 区间和极小值（其中 e 为自然对数的底数）； （2）若对任意 x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2 恒成立，求 k 的取值范围． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用． 【分析】（1）先利用导数的几何意义求出 k 的值，然后利用导数求该函数单调区间及其极值； （2）由题意可知，函数 f（x）﹣x 在（0，+∞）上递增，即该函数的导数大于等于零在 （0，+∞）恒成立，然后转化为导函数的最值问题来解． 【解答】解：（1）由已知得 ． ∵曲线 y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线 x﹣2=0 垂直，∴此切线的斜率为 0． 即 f′（e）=0，有 ，解得 k=e． ∴ ，由 f′（x）＜0 得 0＜x＜e，由 f′（x）＞0 得 x＞e． ∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，当 x=e 时 f（x）取得极小值 ． 故 f（x）的单调递减区间为（0，e），极小值为 2． （2）条件等价于对任意 x1＞x2＞0，f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2（*）恒成立． 设 h（x）=f（x）﹣x=lnx+ ． ∴（*）等价于 h（x）在（0，+∞）上单调递减． 由 在（0，+∞）上恒成立， 得 恒成立． 所以 （ 对 k= ，h′（x）=0 仅在 x= 时成立）， 故 k 的取值范围是[ ，+∞）． 【点评】本题考查了导数的几何意义（切线问题）以及利用导数如何研究函数单调性、极值 的基本思路，属于基础题型． 　 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清 题号．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）（2014•安阳一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1： + =1，以 O 为极点，x 轴的正半轴极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线 l 的方程为：ρ （2cosθ﹣sinθ）=6． （1）试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C1 的参数方程； （2）在曲线 C1 上求一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最大，并求出最大值． 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【专题】坐标系和参数方程． 【分析】（1）根据 x=ρcosθ，y=ρsinθ 把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用同角三 角函数的基本关系把曲线 C1 的直角坐标方程化为参数方程． （2）设点 P（ cosθ，2sinθ），求得点 P 到直线 l 的距离为 d= ， 利用正弦函数的值域求得 d 的最大值． 【解答】解：（1）直线 l 的方程为：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6，即 2x﹣y﹣6=0． 曲线 C1： + =1 的参数方程为 （θ 为参数）． （2）设点 P（ cosθ，2sinθ），则点 P 到直线 l 的距离为 d= = ， 故当 sin（ ﹣θ）=﹣1 时，d 取得最大值为 =2 ． 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用， 两角和的正弦公式、正弦函数的值域，属于基础题． 　 [选修 4-5：不等式选讲] 23．（2015•大连二模）已知 a 和 b 是任意非零实数． （1）求 的最小值． （2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数 x 的取值范围． 【考点】绝对值三角不等式． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可得 ≥ = =4． （2）由题意可得|2+x|+|2﹣x|≤ 恒成立，由于 的最 小值为 4，故有 x 的 范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4 的解集，解绝对值不等式求得实数 x 的取值范围． 【解答】解：（1）∵ ≥ = =4， 故 的最小值为 4． （2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立， 即|2+x|+|2﹣x|≤ 恒成立，故|2+x|+|2﹣x|不大于 的最小值．（4 分） 由（1）可知， 的最小值为 4，当且仅当（2a+b）（2a﹣b）≥0 时取等号， ∴ 的最小值等于 4．（8 分） ∴x 的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4 的解集． 解不等式得﹣2≤x≤2，故实数 x 的取值范围为[﹣2，2]． （10 分） 【点评】本题考查查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想．