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- 2021-06-12 发布
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华二附中高三月考数学试卷
一、填空题
1.函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由被开方数不小于0,得出关于的对数不等式,求出的范围,即是定义域.
【详解】由,
所以函数的定义域是.
故答案为:.
【点睛】本题考查函数的定义域,解题的关键是对函数成立的限制条件要熟悉,属于基础题.
2.函数的反函数______.
【答案】
【解析】
【分析】
令,把用表示,然后对换,即可求得.
【详解】令,则,
的反函数是,
即.
故答案为:.
【点睛】本题求函数的反函数,对于反函数与原函数之间关系要清楚,属于基础题.
3.设全集,若集合,,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
化简集合,求出,然后再求.
【详解】由,得,
由或,
,
.
故答案为:
【点睛】本题考查集合间的运算关系,以及解不等式,属于基础题.
4.已知复数(是虚数单位),且,则当为钝角时,______.
【答案】
【解析】
【分析】
由模长公式,得到关于关系,化弦为切,即可求得结果.
【详解】,
,
为钝角,
故答案为:
【点睛】本题考查复数的模长公式,考查三角函数的求值,注意的变换,属于基础题.
5.在甲、乙等8名班干部中选3人参加一个座谈会,则甲被选中的概率为______(结果用最简分数表示)
【答案】
【解析】
【分析】
求出8名班干部中选3人所有选法总数,再求甲被选中的个数,即可求出结果.
【详解】8名班干部中选3人所有选法由种,
甲被选中的个数为,
甲被选中的概率,
故答案为:
【点睛】本题考查古典概型,正确求出所有基本事件总数和所求事件的个数是关键,属于基础题.
6.设数列前项的和为,若,且,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据前项的和与通项的关系,即可求出.
【详解】,
,
是以4为首项,公比为4的等比数列, .
故答案为:
【点睛】本题考查数列递推关系求前项的和,要灵活应用与的关系,属于基础题.
7.若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式-1,则实数的取值集合为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据元素的代数余子式的公式,得到关于的三角关系式,即可求得的取值集合.
【详解】行第2列的元素1的代数余子式为
,
,
实数的取值集合为.
故答案为:
【点睛】本题考查行列式元素代数余子式的计算,以及三角函数中的给值求角问题,属于基础题.
8.若直线与直线所成角的余弦值为,则实数______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求两直线的斜率,求出两直线的所成角的正切,把所成角的余弦值转为正切值,得到关于的关系式,即可求出的值.
【详解】设直线与直线所成角为,
则,
若两直线垂直不合题意,所以,
两直线的斜率存在且分别为,
,解得.
故答案为:
【点睛】本题考查两直线的夹角公式,注意判断直线的斜率是否存在,考查计算能力,属于基础题.
9.设二元一次不等式组所表示的平面区域为,若函数(,且)的图像经过区域,则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出平面区域,利用函数(,且)的图像特征,即可解决问题.
【详解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域,
如下图所示:
求得,由图可知,
要满足条件必有,且图现在过两
点的图像之间,当图像过点时, ,
当图像过点时, ,
的取值范围是.
故答案为:
【点睛】本题考查了用平面区域表示二元一次不等式组、指数函数的图像与性质,以及简单的转化思想和数形结合思想,属于中档题.
10.如图, 是半径为1的球的球心, 点A、B、C在球面上、、两两垂直,E、F分别为圆弧的中点.则点E、F在该球面上的球面距离为______.
【答案】
【解析】
【详解】由已知得面面,
如图,在平面内过点E作,垂足为M,联结MF.
易知,.
则,且,
从而,, .
因此,为正三角形,,
故点E、F在该球面上的球面距离为.
11.设函数的定义域为,满足,且当时,,若对任意,都有,则的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
时,最小值为,根据,从往轴负方向每移动一个单位,最小值都是相邻的倍,同理从往
轴正方向每移动一个单位,最小值都是相邻区间的倍,的最值为,的最值为,所以对任意,时,的最大值为图像与直线左交点的横坐标.
【详解】时,,
最小值为,,
时,,
最小值为,同理最小值为
的最小值为,的最值为,
所以对任意,都有,
的最大值为图像与直线
左交点的横坐标.
时,,
令,
解得或
所以时,恒成立,
即对任意,都有,
则的最大值是
故答案为:
【点睛】本题考查分段函数解析式和最值特征,考查函数的图像,以及一元二次不等式的解法,可借助函数图像直观性找到解题思路,属于难题
12.设,且,则代数式的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由结构特征,构造向量,,
设的夹角为,不共线,,
=,转化为求的最小值, 由,可得,转化求的最小值,即为与点连线的斜率最小值,即可得结果.
【详解】设,,
设的夹角为,不共线,,
=,
①
设,(),,①式表示点与单位圆(轴右侧)的点连线斜率,当与单位圆相切的时斜率最小为.
故答案为:
【点睛】本题考查向量的灵活应用,困难在于如何引进向量,以及利用条件把问题转化为有关三角函数的最值,考查利用数形结合思想求最值,是一道技巧性强的难题.
二、选择题
13.设、是两个平面,则的充要条件是( )
A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行
C. 、平行于同一条直线 D. 、垂直于同一个平面
【答案】B
【解析】
【分析】
根据面面平行的判定可得出正确答案.
【详解】选项A: 内有无数条直线与平行,可能相交,
只要内直线与交线平行,这样内有无数条直线
与平行,故错误;
选项B:为面面平行的判定定理,故正确;
选项C:两相交平面外存在无数条直线与两平面的交线平行,
故满足选项C条件两平面可能相交,故错误;
选项D:若直线,过直线所有平面均垂直平面,
这些平面显然是相交,故错误.
故选:B
【点睛】本题考查面面平行的判定,对于有关的结论要熟记,属于基础题.
14.已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解,则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出图象及直线,借助图象分析。
【详解】如图,当直线位于点及其上方且位于点及其下方,
或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求。
即,即,
或者,得,,即,得,
所以的取值范围是。
故选D。
【点睛】根据方程实根个数确定参数范围,常把其转化为曲线交点个数,特别是其中一条为直线时常用此法。
15.设函数,已知在有且仅有5个零点,对于下述4个结论:①在有且仅有3个最大值点;②在有且仅有2个最小值点;③在单调递增;④的取值范围是.其中所有正确结论的编号为( )
A. ①②③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】
利用整体思想,结合正弦函数图像特征,可分析出①正确,②不正确,求出范围,判断③④正确.
【详解】,,
在有且仅有5个零点,转化为
在有且仅有5个零点,
,故①④正确,
②不正确.
,
故③正确.
故选:C
【点睛】本题考查正弦函数的零点、最值、单调性,应用整体思想转化为的图像和性质,属于基础题.
16.已知、是关于的方程的两个不同实数根,则经过两点、的直线与双曲线的交点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 根据的值来确定
【答案】B
【解析】
【分析】
由关于的方程的两个不同实数根,求出的取值范围,再由根与系数关系,求出直线斜率,与双曲线的渐近线的斜率相等,直线与双曲线的渐近线平行或重合,即可答案.
【详解】关于的方程的两个不同
实数根所以,
双曲线渐近线方程曲线,
直线与双曲线的渐近线平行或重合,
若或在直线
得,的值为0或2,此时,
,不合题意,直线不与双曲线重合,
直线与双曲线一定平行,所以有一个交点.
故选:B
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系,直线斜率,双曲线简单几何性质,
要注意验证是否重合,数形结合是解题的关键,属于中档题,
三、解答题
17.如图,在所有棱长都等于2的正三棱柱中,点是的中点,求:
(1)异面直线与所成角的大小;
(2)直线与平面所成角的大小.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)建立空间直角坐标系,确定坐标,即可求出所成角的余弦,转化为与所成角,即可求出结果;
(2)确定坐标,求出平面的法向量,利用线面角公式,即可求出直线与平面所成角
【详解】取中点,连接,则,
正三棱柱所有棱长都等于2,
,平面平面,
以为坐标原点,所在的直线分别为
轴建立空间直角坐标系,则,
.
(1)
异面直线与所成角的余弦为.
异面直线与所成角是.
(2),
设平面的法向量,
,,令,则,
平面的一个法向量
设直线与平面所成角,
,
直线与平面所成角.
【点睛】本题考查用空间向量求异面直线、直线与平面所成的角,考查计算能力,属于基础题.
18.已知函数在区间上的最大值为5,最小值为1.
(1)求、的值及的解析式;
(2)设,若不等式在上有解,求实数的取值范围.
【答案】(1),,;(2).
【解析】
【分析】
(1)对称轴为直线,判断最小值点和最大值点坐标代入函数解析式,即可求得、的值及的解析式;
(2)在上有解,分离出参数,转化求函数的最值,即可求出的范围.
【详解】对称轴方程为,
因为在区间上的最大值为5,,
故时,取得最小值为1,即顶点为,
或,取得最大值5.
,解得,
.
(2),
,
即上有解,
令
时,不等式在上有解.
实数的取值范围.
【点睛】本题考查通过二次函数最值,求函数的解析式,考查存在成立问题,以及换元思想,是一道中档题.
19.如图所示,某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路,现要修一条地铁L,在OA,OB上各设一站A,B,地铁在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为
,设地铁在AB部分的总长度为.
按下列要求建立关系式:
设,将y表示成的函数;
设,用m,n表示y.
把A,B两站分别设在公路上离中心O多远处,才能使AB最短?并求出最短距离.
【答案】y=,;(2)
【解析】
【分析】
先过O作于H,结合题意用表示出和,进而可求出结果;
根据等面积原理得到,进而可得出结果;
(2)分别求出两种方案下的AB的值,比较大小即可得出结果.
【详解】过O作于H
由题意得,
且
即即
;
由等面积原理得即
选择方案一:当时,
此时,而
所以
选择方案二:因为,
由余弦定理得
,即当且仅当时取等号
【点睛】本题主要考查解三角形的应用,熟记余弦定理和正弦定理等即可,属于常考题型.
20.已知椭圆的方程为,圆与轴相切于点,与轴正半轴相交于、两点,且,如图1.
(1)求圆的方程;
(2)如图1,过点的直线与椭圆相交于、两点,求证:射线平分;
(3)如图2所示,点、是椭圆的两个顶点,且第三象限的动点在椭圆上,若直线与轴交于点,直线与轴交于点,试问:四边形的面积是否为定值?若是,请求出这个定值,若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)是,.
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件设出圆心坐标,半径为圆心纵坐标,利用弦长公式,可求出圆的方程;
(2)先求出点坐标,设出直线方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理,即可求得,命题得证;
(3)设,求出直线、直线方程,进而求出点与点的坐标,然后四边形的面积用点与点的坐标表示,计算可得定值.
【详解】(1)依题意,设圆心,
,解得
所求的方程为;
(2)代入圆方程,得或
若过点的直线斜率不存在,此时在轴上,
,射线平分,
若过点的直线斜率存在,设其方程为
联立,消去得,
设,,
,
,
射线平分,
(3)设,
直线方程为,令
得,即,
直线方程为,令
得,即,,
,
四边形的面积为定值.
【点睛】本题考查了圆的标准方程求法,直线与圆锥曲线相交问题韦达定理的应用,以及定值问题,是综合类题目,考虑到证两条直线的斜率互为相反数是解决问题的关键,属于难题.
21.对于数列,若对任意的,也是数列中的项,则称数列为“数列”,已知数列满足:对任意的,均有,其中表示数列的前项和.
(1)求证:数列为等差数列;
(2)若数列为“数列”,,且,求的所有可能值;
(3)若对任意的,也是数列中的项,求证:数列为“数列”.
【答案】(1)证明见解析;(2)、10、12、16;(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)已知与关系,结合等差数列的定义,即可证明;
(2)根据“数列”的定义,可推出公差的所有可能值,即可求出的所有可能值;
(3)由已知任意的,也是数列中的项,得到与公差的关系,从而求得的通项,即可得到证明.
【详解】(1)由,得,
,
即,,
两式相减得,
数列为等差数列;
(2)设的公差为,
,
由于数列为“数列”,是的项
,
,
的可能值为,
的所有可能值;
(3)设,
,也是数列中的项,
设是中的第项,则
,
是中的第项,
数列为“数列”.
【点睛】本题考查数列的前项和求通项,考查了利用等差中项的概念判定等差数列以及等差数列的通项公式,考查对新定义的理解,属于难题