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- 2021-06-12 发布
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必修四 2.5.1平面几何中的向量方法
一、选择题
1、已知点O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,·=PB·=·,则点O,N,P依次是△ABC的( )
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
2、已知非零向量与满足·=0且·=,则△ABC的形状是( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰(非等边)三角形 D.等边三角形
3、已知点A(,1),B(0,0),C(,0),设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有=λ,其中λ等于( )
A.2 B. C.-3 D.-
4、若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
5、已知直线l1:3x+4y-12=0,l2:7x+y-28=0,则直线l1与l2的夹角是( )
A.30° B.45°
C.135° D.150°
6、点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC的( )
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
7、在△ABC中,已知A(4,1)、B(7,5)、C(-4,7),则BC边的中线AD的长是( )
A.2 B. C.3 D.
二、填空题
8、在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则=__________________.
9、设平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC的形状一定是__________.
10、已知平面上三点A、B、C满足||=3,||=4,||=5.则·+·+·=________________.
11、如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两
点M、N,若=m,=n,则m+n的值为__________________.
三、解答题
12、求证:△ABC的三条高线交于一点.
13、P是正方形ABCD对角线BD上一点,PFCE为矩形.求证:PA=EF且PA⊥EF.
14、在△ABC中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求∠A的平分线的方程.
以下是答案
一、选择题
1、C
[如图,∵++=0,
∴+=-.依向量加法的平行四边形法则,知|N|=2||,故点N为△ABC的重心.
∵·=·,
∴(-)·=·=0.
同理·=0,·=0,
∴点P为△ABC的垂心.
由||=||=||,知点O为△ABC的外心.]
2、D [由·=0,得角A的平分线垂直于BC.∴AB=AC.
而·=cos〈,〉=,又〈,〉∈[0°,180°],∴∠BAC=60°.
故△ABC为正三角形,选D.]
3、C
[如图所示,由题知∠ABC=30°,∠AEC=60°,CE=,∴=3,∴=-3.]
4、B [∵|-|=||=|-|,
|+-2|=|+|,
∴|-|=|+|,
∴四边形ABDC是矩形,且∠BAC=90°.
∴△ABC是直角三角形.]
5、B [设l1、l2的方向向量为v1,v2,则
v1=(4,-3),v2=(1,-7),
∴|cos〈v1,v2〉|===.
∴l1与l2的夹角为45°.]
6、D [∵·=·,
∴(-)·=0.
∴·=0.
∴OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB,
∴O为垂心.]
7、B [BC中点为D,=,
∴||=.]
二、填空题
8、
解析
已知A(0,1),B(-3,4),
设E(0,5),D(-3,9),
∴四边形OBDE为菱形.
∴∠AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.
设C(x1,y1),||=3,
∴=.
∴(x1,y1)=×(-3,9)=,
即=.
9、等腰三角形
解析 ∵(+-2)·(-)
=[(-)+(-)]·(-)
=(+)·(-)=2-2
=||2-||2=0,
∴||=||,∴△ABC是等腰三角形.
10、-25
解析 △ABC中,B=90°,cos A=,cos C=,
∴·=0,·=4×5×=-16,
·=5×3×=-9.
∴·+·+·=-25.
11、2
解析 ∵O是BC的中点,
∴=(+)=+,
∴=-=(-1)+.
又∵=-,∥,
∴存在实数λ,使得=λ,即
化简得m+n=2.
三、解答题
12、证明
如图所示,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高.
设BE,CF交于H点,
令=b,=c,=h,
则=h-b,=h-c,=c-b.
∵⊥,⊥,
∴(h-b)·c=0,(h-c)·b=0,
即(h-b)·c=(h-c)·b
整理得h·(c-b)=0,∴·=0
∴AH⊥BC,∴与共线.
AD、BE、CF相交于一点H.
13、证明 以D为坐标原点,DC所在直线为x轴,DA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,设正方形边长为1,||=λ,则A(0,1),
P,E,F,
于是=,=.
∴||==,
同理||=,
∴||=||,∴PA=EF.
∴·=+=0,
∴⊥.∴PA⊥EF.
14、解 =(3,4),=(-8,6),
∠A的平分线的一个方向向量为:
+=+=.
∵∠A的平分线过点A.
∴所求直线方程为-(x-4)-(y-1)=0.
整理得:7x+y-29=0.