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  • 2021-06-12 发布

高中数学必修4同步练习:平面几何中的向量方法

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必修四 2.5.1平面几何中的向量方法 一、选择题 ‎1、已知点O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,·=PB·=·,则点O,N,P依次是△ABC的(  )‎ A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 ‎2、已知非零向量与满足·=0且·=,则△ABC的形状是(  )‎ A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰(非等边)三角形 D.等边三角形 ‎3、已知点A(,1),B(0,0),C(,0),设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有=λ,其中λ等于(  )‎ A.2 B. C.-3 D.- ‎4、若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状是(  )‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 ‎5、已知直线l1:3x+4y-12=0,l2:7x+y-28=0,则直线l1与l2的夹角是(  )‎ A.30° B.45°‎ C.135° D.150°‎ ‎6、点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC的(  )‎ A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 ‎7、在△ABC中,已知A(4,1)、B(7,5)、C(-4,7),则BC边的中线AD的长是(  )‎ A.2 B. C.3 D. 二、填空题 ‎8、在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则=__________________.‎ ‎9、设平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC的形状一定是__________.‎ ‎10、已知平面上三点A、B、C满足||=3,||=4,||=5.则·+·+·=________________.‎ ‎11、如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两 点M、N,若=m,=n,则m+n的值为__________________.‎ 三、解答题 ‎12、求证:△ABC的三条高线交于一点.‎ ‎13、P是正方形ABCD对角线BD上一点,PFCE为矩形.求证:PA=EF且PA⊥EF.‎ ‎14、在△ABC中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求∠A的平分线的方程.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C ‎ [如图,∵++=0,‎ ‎∴+=-.依向量加法的平行四边形法则,知|N|=2||,故点N为△ABC的重心.‎ ‎∵·=·,‎ ‎∴(-)·=·=0.‎ 同理·=0,·=0,‎ ‎∴点P为△ABC的垂心.‎ 由||=||=||,知点O为△ABC的外心.]‎ ‎2、D [由·=0,得角A的平分线垂直于BC.∴AB=AC.‎ 而·=cos〈,〉=,又〈,〉∈[0°,180°],∴∠BAC=60°.‎ 故△ABC为正三角形,选D.]‎ ‎3、C ‎[如图所示,由题知∠ABC=30°,∠AEC=60°,CE=,∴=3,∴=-3.]‎ ‎4、B [∵|-|=||=|-|,‎ ‎|+-2|=|+|,‎ ‎∴|-|=|+|,‎ ‎∴四边形ABDC是矩形,且∠BAC=90°.‎ ‎∴△ABC是直角三角形.]‎ ‎5、B [设l1、l2的方向向量为v1,v2,则 v1=(4,-3),v2=(1,-7),‎ ‎∴|cos〈v1,v2〉|===.‎ ‎∴l1与l2的夹角为45°.]‎ ‎6、D [∵·=·,‎ ‎∴(-)·=0.‎ ‎∴·=0.‎ ‎∴OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB,‎ ‎∴O为垂心.]‎ ‎7、B [BC中点为D,=,‎ ‎∴||=.]‎ 二、填空题 ‎8、 解析 ‎ 已知A(0,1),B(-3,4),‎ 设E(0,5),D(-3,9),‎ ‎∴四边形OBDE为菱形.‎ ‎∴∠AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.‎ 设C(x1,y1),||=3,‎ ‎∴=.‎ ‎∴(x1,y1)=×(-3,9)=,‎ 即=.‎ ‎9、等腰三角形 解析 ∵(+-2)·(-)‎ ‎=[(-)+(-)]·(-)‎ ‎=(+)·(-)=2-2‎ ‎=||2-||2=0,‎ ‎∴||=||,∴△ABC是等腰三角形.‎ ‎10、-25‎ 解析 △ABC中,B=90°,cos A=,cos C=,‎ ‎∴·=0,·=4×5×=-16,‎ ‎·=5×3×=-9.‎ ‎∴·+·+·=-25.‎ ‎11、2‎ 解析 ∵O是BC的中点,‎ ‎∴=(+)=+,‎ ‎∴=-=(-1)+.‎ 又∵=-,∥,‎ ‎∴存在实数λ,使得=λ,即 化简得m+n=2.‎ 三、解答题 ‎12、证明 ‎ 如图所示,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高.‎ 设BE,CF交于H点,‎ 令=b,=c,=h,‎ 则=h-b,=h-c,=c-b.‎ ‎∵⊥,⊥,‎ ‎∴(h-b)·c=0,(h-c)·b=0,‎ 即(h-b)·c=(h-c)·b 整理得h·(c-b)=0,∴·=0‎ ‎∴AH⊥BC,∴与共线.‎ AD、BE、CF相交于一点H.‎ ‎13、证明 以D为坐标原点,DC所在直线为x轴,DA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,设正方形边长为1,||=λ,则A(0,1),‎ P,E,F,‎ 于是=,=.‎ ‎∴||==,‎ 同理||=,‎ ‎∴||=||,∴PA=EF.‎ ‎∴·=+=0,‎ ‎∴⊥.∴PA⊥EF.‎ ‎14、解 =(3,4),=(-8,6),‎ ‎∠A的平分线的一个方向向量为:‎ ‎+=+=.‎ ‎∵∠A的平分线过点A.‎ ‎∴所求直线方程为-(x-4)-(y-1)=0.‎ 整理得:7x+y-29=0.‎

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