2018届二轮复习（文）专题六　解析几何专题六第3讲课件（全国通用） 65页

第 3 讲　圆锥曲线的综合问题 专题六 　 解析几何 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　范围、最值问题 圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题 ( 以所求式子或参数为函数值 ) ，或者利用式子的几何意义求解 . 解答 (2) 设与圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 相切 的直 线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点，求 △ OAB 面积 的 最大值及取得最大值时直线 l 的方程 . 解答 思维升华 ② 当 k 存在时，设直线方程为 y ＝ kx ＋ m ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 思维升华　 解决范围问题的常用方法 (1) 数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解 . (2) 构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解 . (3) 构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域 . (1) 求椭圆 C 的方程； 解答 所以 a 2 ＝ 4 ， b 2 ＝ 2. 解答 (2) 动直线 l ： y ＝ kx ＋ m ( m ≠ 0) 交椭圆 C 于 A ， B 两点，交 y 轴于点 M . 点 N 是 M 关于 O 的对称点， ⊙ N 的半径为 | NO |. 设 D 为 AB 的中点， DE ， DF 与 ⊙ N 分别相切于点 E ， F ，求 ∠ EDF 的最小值 . 解　 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). 得 (2 k 2 ＋ 1) x 2 ＋ 4 kmx ＋ 2 m 2 － 4 ＝ 0. 由 Δ >0 ，得 m 2 <4 k 2 ＋ 2 ， (*) 令 t ＝ 8 k 2 ＋ 3 ， t ≥ 3 ， 当 t ≥ 3 时， y ′ >0 ， 当且仅当 t ＝ 3 时等号成立，此时 k ＝ 0 ， 此时直线 l 的斜率是 0. 热点二　定点、定值问题 1. 由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式： y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) ，则直线必过定点 ( x 0 ， y 0 ) ；若得到了直线方程的斜截式： y ＝ kx ＋ m ，则直线必过定点 (0 ， m ). 2. 解析几何中的定值问题是指某些几何量 ( 线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等 ) 的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值 . 例 2 　 (2017· 长沙市长郡中学模拟 ) 已知抛物线 E ： y 2 ＝ 4 x 的准线为 l ，焦点为 F ， O 为坐标原点 . (1) 求过点 O ， F ，且与 l 相切的圆的方程； 解答 思维升华 解　 抛物线 E ： y 2 ＝ 4 x 的准线 l 的方程为 x ＝－ 1 ， 焦点坐标为 F (1,0) ，设所求圆的圆心 C 为 ( a ， b ) ，半径为 r, ∵ 圆 C 与直线 l ： x ＝－ 1 相切， 思维升华　 动线过定点问题的两大类型及解法 ① 动直线 l 过定点问题，解法：设动直线方程 ( 斜率存在 ) 为 y ＝ kx ＋ t ，由题设条件将 t 用 k 表示 为 t ＝ mk ，得 y ＝ k ( x ＋ m ) ，故动直线过定点 ( － m, 0). ② 动曲线 C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 . (2) 过 F 的直线交抛物线 E 于 A ， B 两点， A 关于 x 轴的对称点为 A ′ ，求证：直线 A ′ B 过定点 . 证明 思维升华 证明　 方法一 　依题意知，直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 方程为 y ＝ k ( x － 1) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 )( x 1 ≠ x 2 ) ， A ′ ( x 1 ，－ y 1 ) ， 消去 y ，得 k 2 x 2 － (2 k 2 ＋ 4) x ＋ k 2 ＝ 0 ， ∴ 直线 BA ′ 过定点 ( － 1 ， 0). 方法二 　设直线 AB 的方程为 x ＝ my ＋ 1, A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 A ′ ( x 1 ，－ y 1 ). ∴ y 1 ＋ y 2 ＝ 4 m, y 1 y 2 ＝－ 4. ∴ 直线 BA ′ 过定点 ( － 1,0). 思维升华　 求解定值问题的两大途径 ① 由特例得出一个值 ( 此值一般就是定 值 ) → 证明定值：将问题转化为证明待证式与参数 ( 某些变量 ) 无关 ② 先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值 . 跟踪演练 2 　 (2017 届江西省重点中学协作体联考 ) 已知 ⊙ F 1 ： ( x ＋ 3) 2 ＋ y 2 ＝ 27 与 ⊙ F 2 ： ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 3 ，以 F 1 ， F 2 分别为左、右焦点的椭圆 C ： ( a > b >0) 经过两圆的交点 . (1) 求椭圆 C 的方程； 解答 解　 设两圆的交点为 Q ， ∵ F 1 ， F 2 分别为椭圆 C 的左、右焦点， ∴ a 2 － b 2 ＝ 9 ，解得 b 2 ＝ 3 ， (2) M ， N 是椭圆 C 上的两点，若直线 OM 与 ON 的斜率之积 为 ， 试问 △ OMN 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 . 解答 解　 ① 当直线 MN 的斜率不存在时， 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 1 ，－ y 1 ). ② 当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， 得 (4 k 2 ＋ 1) x 2 ＋ 8 kmx ＋ 4 m 2 － 12 ＝ 0 ， 由 Δ ＝ 64 k 2 m 2 － 4(4 k 2 ＋ 1)(4 m 2 － 12)>0 ， 得 12 k 2 － m 2 ＋ 3>0 ， (*) ∴ y 1 y 2 ＝ ( kx 1 ＋ m )( kx 2 ＋ m ) 整理得 2 m 2 ＝ 12 k 2 ＋ 3, 代入 (*) 得 m ≠ 0. 综上所述， △ OMN 的面积为定值 3. 热点三　探索性问题 1. 解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用 “ 肯定顺推法 ” ，将不确定性问题明确化 . 其步骤为：假设满足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在；否则，元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 . 2. 反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法 . 例 3 　 已知抛物线 E 的顶点为原点 O ，焦点为圆 F ： x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 3 ＝ 0 的圆心 F . 经过点 F 的直线 l 交抛物线 E 于 A ， D 两点，交圆 F 于 B ， C 两点， A ， B 在第一象限， C ， D 在第四象限 . (1) 求抛物线 E 的方程； 解答 解　 根据已知，设抛物线 E 的方程为 y 2 ＝ 2 px ( p >0). ∵ 圆 F 的方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 1 ， ∴ 圆心 F 的坐标为 F (2,0) ，半径 r ＝ 1. ∴ 抛物线 E 的方程为 y 2 ＝ 8 x . 解答 思维升华 (2) 是否存在直线 l ，使 2| BC | 是 | AB | 与 | CD | 的等差中项？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 . 解　 ∵ 2| BC | 是 | AB | 与 | CD | 的等差中项， ∴ | AB | ＋ | CD | ＝ 4| BC | ＝ 4 × 2 r ＝ 8 ， ∴ | AD | ＝ | AB | ＋ | BC | ＋ | CD | ＝ 10. 若 l 垂直于 x 轴，则 l 的方程为 x ＝ 2 ， 代入 y 2 ＝ 8 x ，得 y ＝ ±4. 此时 | AD | ＝ | y 1 － y 2 | ＝ 8 ≠ 10 ， 即直线 x ＝ 2 不满足题意； 若 l 不垂直于 x 轴，设 l 的斜率为 k ， 由已知得 k ≠ 0 ， l 的方程为 y ＝ k ( x － 2). 得 k 2 x 2 － (4 k 2 ＋ 8) x ＋ 4 k 2 ＝ 0 ， ∵ 抛物线 E 的准线为 x ＝－ 2 ， ∴ | AD | ＝ | AF | ＋ | DF | ＝ ( x 1 ＋ 2) ＋ ( x 2 ＋ 2) ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ 4 ， ∴ 存在满足要求的直线 l ，它的方程为 2 x － y － 4 ＝ 0 或 2 x ＋ y － 4 ＝ 0. 思维升华　 解决探索性问题的注意事项 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在 . (1) 当条件和结论不唯一时，要分类讨论 . (2) 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件 . (3) 当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径 . (1) 求椭圆 C 的方程； 解答 解　 由题意可得 2 a ＝ 6 ，所以 a ＝ 3. (2) 过点 P (0,2) 作斜率为 k ( k ≠ 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A ， B ，试判断在 x 轴上是否存在点 D ，使得 △ ADB 为以 AB 为底边的等腰三角形 . 若存在，求出点 D 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由 . 解答 解　 直线 l 的解析式为 y ＝ kx ＋ 2 ， 假设存在点 D ( m ， 0) ，使得 △ ADB 为以 AB 为底边的等腰三角形，则 DE ⊥ AB . Ⅱ 真题押题精练 真题体验 答案 解析 1 2 1.(2017· 全国 Ⅰ 改编 ) 已知 F 为抛物线 C ： y 2 ＝ 4 x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l 1 ， l 2 ，直线 l 1 与 C 交于 A ， B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ， E 两点，则 | AB | ＋ | DE | 的最小值为 ______. 16 解析 　 因为 F 为 y 2 ＝ 4 x 的焦点，所以 F (1,0). 由题意知，直线 l 1 ， l 2 的斜率均存在且不为 0 ，设 l 1 的斜率为 k ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 1 2 1 2 同理可得 | DE | ＝ 4(1 ＋ k 2 ). 1 2 (1) 求椭圆 E 的方程； 解答 1 2 解答 1 2 解　 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 由题意知， Δ ＞ 0 ， 1 2 由题意可知，圆 M 的半径 r 为 1 2 1 2 1 2 1 2 押题预测 解答 押题依据　 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查 . 关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色 . (1) 求 C 1 ， C 2 的方程； 押题依据 解　 因为 C 1 ， C 2 的焦点重合， 所以 a 2 ＝ 4. 又 a >0 ，所以 a ＝ 2. 抛物线 C 2 的方程为 y 2 ＝ 4 x . 解答 则可设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ， P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， M ( x 3 ， y 3 ) ， N ( x 4 ， y 4 ). 且 Δ ＝ 144 k 2 ＋ 144>0 ，