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- 2021-06-12 发布
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2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二(文科实验班)上学期第二次月考
数学(试题卷)
注意事项:
1.本卷为衡阳八中高二年级文科实验班第二次月考试卷,分两卷。其中共22题,满分150分,考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后,应检查试卷是否有缺页漏页,重影模糊等妨碍答题现象,如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后,考生禁止入场,监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上,选择题部分请用2B铅笔填涂,非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后,试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷 选择题(每题5分,共60分)
本卷共12题,每题5分,共60分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的。
1.下列说法正确的是( )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题是“若x2=1,则x≠1”
B.命题“x∈R,x2﹣x>0”的否定是“x∈R,x2﹣x<0”
C.命题“若函数f(x)=x2﹣ax+1有零点,则a≥2或a≤﹣2”的逆否命题为真命题
D.“x=﹣1”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分条件
2.设命题p:函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y轴对称;命题q:函数y=|2x﹣1|在[﹣1,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是( )
A.p为假 B.¬q为真 C.p∨q为真 D.p∧q为假
3.已知函数f(x)=(2+x)2﹣3x,则f′(1)为( )
A.6 B.0 C.3 D.7
4.已知倾斜角为45°的直线l过椭圆+y2=1的右焦点,则l被椭圆所截的弦长是( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴负半轴上,抛物线上的点P(m,﹣2)到焦点的距离为4,则m的值为( )
A.4 B.﹣2 C.4或﹣4 D.12或﹣2
6.已知函数f(x)=x3﹣ax2+1在区间(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.a≥3 B.a=3 C.a≤3 D.0<a<3
7.过抛物线y2=4x的焦点F作直线l交抛物线于A,B两点,若=,则直线l的倾斜角θ(0<θ<)等于( )
A. B. C. D.
8.已知点F是双曲线的右焦点,点E是该双曲线的左顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若∠AEB是钝角,则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A. B.
C.(2,+∞) D.
9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A、B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=60°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为( )
A. B. C.1 D.2
10.已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)
C.(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)
11.设奇函数f(x)在R上存在导数f′(x),且在(0,+∞)上f′(x)<x2,若f(1﹣m)﹣f(m)≥,则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
12.已知F是椭圆C: +=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,且线段PF与圆(其中c2=a2﹣b2)相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于( )
A. B. C. D.
第II卷 非选择题(共90分)
二.填空题(每题5分,共20分)
13.已知命题p:∃x∈R,ax2+2x+1≤0是假命题,则实数a的取值范围是 .
14.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于 .
15.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出售1mL饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm,则瓶子半径为 cm时,每瓶饮料的利润最小.
16.若椭圆内有一点,又椭圆的左准线的方程为x=-8,左焦点为F,离心率为e,P是椭圆上的动点,则的最小值为 .
三.解答题(共6题,共70分)
17.(本题满分10分)
已知命题p:∀x∈R,ax2+ax+1>0及命题q:∃x0∈R,x02﹣x0+a=0,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
18.(本题满分12分)
已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数y=f(x)的单调性并求出单调区间.
19.(本题满分12分)
已知椭圆C: +=1过点A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.
20.(本题满分12分)
已知函数f(x)=4lnx﹣2x2+3ax
(1)当a=1时,求f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣3ax+m在[,e]上有两个零点,求实数m的取值范围.
21.(本题满分12分)
已知椭圆C:,离心率为.
(I)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设椭圆C的下顶点为A,直线l过定点,与椭圆交于两个不同的点M、N,且满足|AM|=|AN|.求直线l的方程.
22.(本题满分12分)
如图,已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线l1:x=﹣和右准线l2:x=分别与x轴相交于A、B两点,且F1、F2恰好为线段AB的三等分点.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)过点D(﹣,0)作直线l与椭圆相交于P、Q两点,且满足=2,当△OPQ的面积最大时(O为坐标原点),求椭圆C的标准方程.
衡阳八中2017年下期高二年级文科实验班第二次月考数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
C
D
C
A
B
C
C
B
B
A
13.a>1
14.9
15.1
16.7
17.命题p:∀x∈R,ax2+ax+1>0,当a=0时,1>0成立,因此a=0满足题意;当a≠0时,可得,解得0<a<4.
综上可得:0≤a<4.(3分)
命题q:∃x0∈R,x02﹣x0+a=0,∴△1=1﹣4a≥0,解得.(5分)
∵p∨q为真命题,p∧q为假命题,
∴命题p与q必然一真一假.
∴或,
解得a<0或.(8分)
∴实数a的取值范围是a<0或.(10分)
18.
(1)因为函数f(x)=ax2+blnx,
所以.
又函数f(x)在x=1处有极值,
所以即
可得,b=﹣1.(6分)
(2)由(1)可知,其定义域是(0,+∞),
且(8分)
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
﹣
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以函数y=f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+∞)(12分)
19.
(1)解:∵椭圆C: +=1过点A(2,0),B(0,1)两点,
∴a=2,b=1,则,
∴椭圆C的方程为,离心率为e=;(4分)
(2)证明:如图,
设P(x0,y0),则,PA所在直线方程为y=,
取x=0,得;(5分)
,PB所在直线方程为,
取y=0,得.(6分)
∴|AN|=,(7分)
|BM|=1﹣.(8分)
∴=
=﹣==
=.(11分)
∴四边形ABNM的面积为定值2.(12分)
20.
(1)当a=1时,f(x)=4lnx﹣2x2+3x,
则f′(x)=﹣4x+3,切点坐标为(1,1),
切线斜率k=f′(1)=3,
则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y﹣1=3(x﹣1),
即y=3x﹣2;(4分)
(2)g(x)=f(x)﹣3ax+m=4lnx﹣2x2+m,
则g′(x)=,
∵x∈[,e],
∴由g′(x)=0,得x=1,
当<x<1时,g′(x)>0,此时函数单调递增,
当1<x<e时,g′(x)<0,此时函数单调递减,(6分)
故当x=1时,函数g(x)取得极大值g(1)=m﹣2,
g()=m﹣4﹣,g(e)=m+4﹣2e2,
g(e)﹣g()=8﹣2e2+<0,
则g(e)<g(),
∴g(x)=f(x)﹣3ax+m在[,e]上最小值为g(e),(9分)
要使g(x)=f(x)﹣3ax+m在[,e]上有两个零点,
则满足,
解得2<m≤4+,
故实数m的取值范围是(2,4+].(12分)
21.(I)由题意可得e==,
+=1,且a2﹣b2=c2,
解得a=,b=1,
即有椭圆的方程为+y2=1;(4分)
(Ⅱ)若直线的斜率不存在,M,N为椭圆的上下顶点,
即有|AM|=2,|AN|=1,不满足题设条件;(6分)
设直线l:y=kx+(k≠0),与椭圆方程+y2=1联立,
消去y,可得(1+3k2)x2+9kx+=0,
判别式为81k2﹣4(1+3k2)•>0,化简可得k2>,①
设M(x1,y1),N(x2,y2),可得x1+x2=﹣,
y1+y2=k(x1+x2)+3=3﹣=,(7分)
由|AM|=|AN|,A(0,﹣1),可得
=,
整理可得,x1+x2+(y1+y2+2)()=0,(y1≠y2)
即为﹣+(+2)•k=0,(9分)
可得k2=,即k=±,(10分)
代入①成立.
故直线l的方程为y=±x+.(12分)
22.(1)焦点F2(c,0),右准线l2:,由题知|AB|=3|F1F2|,
即,即a2=3c2,解得.(5分)
(2)由(1)知,得a2=3c2,b2=2c2,可设椭圆方程为2x2+3y2=6c2.
设直线l的方程为,代入椭圆的方程有,,
因为直线与椭圆相交,所以△=48m2﹣4(2m2+3)(6﹣6c2)>0,
由韦达定理得,,又,所以y1=﹣2y2,
得到,,,得到,
所以,
当且仅当时,等号成立,此时c2=5,代入△满足△>0,
所以所求椭圆方程为.(12分)